برهان صدیقین

برهان صدیقین از برهان‌های اثبات وجود خدا و جزو برهان‌های وجودی است که با بهره‌گیری از مفهوم اصالت وجود، وجود خدا را اثبات می‌کند و به‌گفته علامه طباطبایی معتبرترین و قوی‌ترین برهان برای رسیدن به خداست.[۱][۲]

در فلسفه اسلامی، این تقریرها مشهور هستند به این که تنها براهین از میان برهان‌های اثبات وجود خدایند که وجود خدا را با خود خدا و بدون واسطه اثبات می‌کنند.مفسرین برخی آیات قرآن را اشاره به این برهان می‌دانند: «آیا پروردگار تو که بر هر چیز گواه است خودش بس نیست؟»[۳]

ملاصدرا واضع اصلی مفهوم اصالت وجود است، و به استناد آن درباره برهان صدیقین می گوید:

    اگر حکمای الهی وجود عالم محسوس را هم مشاهده نکرده بودند، اعتقاد آنان در مورد وجود خدا و صفات و کلیات افعال او غیر از این اعتقادی که اکنون دارند نبود.[۴]

محتویات

    ۱ برهان وجودی سهروردی
    ۲ برهان وجودی ملاصدرا
    ۳ تقریر محمدحسین طباطبایی
        ۳.۱ نقدی بر تقریر محمدحسین طباطبایی از برهان صدّیقین
    ۴ تقریر عبدالرسول عبودیت
    ۵ در آیات
    ۶ پانویس

برهان وجودی سهروردی
شهاب الدین سهروردی

در تقریر سهروردی سخن از مراتب نور است.نور مراتبی دارد.به گونه ای که انوار عارض، محتاج به نور قائم بالذات هستند.تقریر سهروردی در حقیقت پلی میان براهین وجودی بر مبنای امکان وجود و براهین وجودی بر مبنای اصالت وجود است.


برهان وجودی ملاصدرا

‎‎;مقدمات:

۱ اصالت وجود؛ یعنی آن چه که تحقق و اصالت دارد، حقیقت وجود است، نه ماهیت. ماهیات موجودات بالعرض و مجازی هستند.[۵]

۲ وحدت وجود؛ به این معنا که حقیقتِ وجود کثرت بردار نیست و وجود یک واقعیت است، امّا دارای مراتبی مثل نور است که شدت و ضعف دارد، اما همه‌اش نور است.

۳ حقیقت وجود عدم بردار نیست. موجود از آن جهت که موجود است، دیگر معدوم نیست و معدوم نمی‌شود.

۴ حقیقت وجود مساوی با کمال است و هیچ نقصی در حقیقت وجود نیست و اگر در مواردی نقصی پندارمی شود، از عدم ناشی می‌شود، مثلاً بیماری در انسان ناشی از عدم است و این نقص مربوط به وجود از آن جهت که وجود است، نیست. انسان چون سالم نیست، بیمار و نقص است و سالم نبودن عدمی است.

نتیجه

حقیقت هستی موجود و عدم بر آن محال است و این حقیقت وجود مشروط به هیچ شرطی نیست، چون که هستی است، موجود است و هیچ علت و ملاکی نمی‌خواهد. خدا که مصداق تمام هستی و عین وجود است، موجود است و هیچ دلیل و علتی بر وجودش نمی‌خواهد. بنابراین احتیاج به علت یا عللی نیست و دور و تسلسل لازم نمی‌آید. یعنی حقیقت هستی در ذات خود مساوی است با ذات خدا.
تقریر محمدحسین طباطبایی
محمدحسین طباطبایی

علامه طباطبایی در نهایةالحکمة چند تقریر از این برهان اقامه می‌کند.

تقریر بر اساس «اصالت وجود» ((به عربی: أصالة الوجود)):

    واقعیت هستی که در ثبوت وی هیچ شک نداریم،هرگز نفی نمی‌پذیرد و نابودی بر نمی‌دارد.به عبارت دیگر:

    واقعیت هستی بی هیچ قید و شرط واقعیت هستی است و با هیچ قید و شرطی لاواقعیت نمی‌شود و چون جهان گذران و هر جزء از اجزاء جهان نفی را می پذیرد،پس عین همان واقعیت نفی ناپذیر نیست. بلکه با آن واقعیت،واقعیت دار و بی آن از هستی بهره‌ای نداشته و منفی است.البته نه به این معنی که واقعیت با اشیاء یکی شود و یا در آن ها نفوذ یا حلول کند و یا پاره هایی از واقعیت جدا شده و به اشیاء بپیوندد،بلکه مانند نور که اجسام تاریک با وی روشن و بی وی تاریک می باشند.و در عین حال همین مثال نور در بیان مقصود خالی از قصور نیست.

    و به عبارت دیگر:او خودش عین واقعیت است و جهان و اجزاء جهان با او واقعیت دار و بی او هیچ و پوچ می باشد.

    نتیجه:جهان و اجزاء جهان در استقلال وجودی خود و واقعیت دار بودن خود تکیه به یک واقعیتی دارند که عین واقعیت و به خودی خود واقعیت است.[۶]

نقدی بر تقریر محمدحسین طباطبایی از برهان صدّیقین

نقدی که بر تقریر محمدحسین طباطبایی می‌توان وارد ساخت، از دو راه قابل طرح می‌باشد: نخست از طریق شناخت شناسانه به انضمام جنبه علم النفسی معرفت؛ و دوم جنبه منطقی و اکتشافی محض.

'نقد از طریق شناخت شناسانه به انضمام جنبه علم النفسی معرفت:' توضیح این نقد آن است که اگر این برهان بیانگر رابطه بین موجود درّاک و اذعان به واقعیت باشد، بیان ذات واقع و نفس الامر خودی خود نیست. با این توضیح، تقریر برهان این گونه خواهد بود که ما وقتی در مقابل واقع قرار گرفتیم، به آن اذعان می‌کنیم. عقل ما به نفس الامریّت واقع اعتراف دارد. از سوی دیگر، «واقع»، اعم از «وجود و عدم» می‌باشد. پس اگر «وجود» در برابر ادراک قرار گیرد، اذغان به تحقق این «وجود»، واقعاً حاصل می‌گردد. این «واقعاً» عبارت است از: شناخت ما نسبت به آن؛ به این معنا که شناخت ما تصدیق کند که وجود، واقعی است و به عنوان «وجود» تحقق دارد و به عنوان «نقیض عدم» نیز وجود دارد؛ چنان که اگر «عدم» در مقابل ادراک قرار گیرد، باز اذعان به «واقعیت عدم» حاصل می‌شود. این، واقعیت حاکی از وجود برای عدم نیست، وگرنه منجر به تناقض می‌شود، بلکه حاکی از آن است که عدم به عنوان «نقیض وجود» واقعیت دارد. ولی واقعیت هرچیز به حسب همان چیز است؛ واقعیت بطلان، همان بطلان است. واقعیت عدم، همان تقرّر عدم است؛ چنان که واقعیت وجود، تقرّر وجود است. این برهان بیش از این را ثابت نمی‌کند. پس تصدیق به واقعیت عبارت است از: رابطه «شناخت» با «واقعیات وجودی و عدمی» که کاشف از حکم این واقعیت «فی نفسه» می‌باشد. پس از بیان برهان، روشن می‌شود که «واقعیت» مورد بحث به نحو اعم از هستی و نیستی، ضرورت دارد.

'نقد از طریق جنبه منطقی و اکتشافاتی محض:' سلب واقعیت به طور مطلق، امکان ندارد. این قضیه، صحیح است؛ چرا که فرض انتفای مطلق واقعیت، بر تناقض اشتمال دارد؛ چون انتفای واقعیت خود یک واقعیت است و مصداق بالذات، ، بلکه فرد بالذات واقعیت است. اما واقعیت ملحوظ در قضیه مذکور، اعم از وجود و عدم می‌باشد. از این رو، منظور از «ضرورت منطقی مطلق واقعیت»، تنها ضرورت واقعیت به معنای اعم از انتفا و ثبوت می‌باشد؛ چون همان گونه که وجود یک واقعیت است. عدم نیز یک واقعیت است. واقعیت «عدم» عبارت است از: تقرّر عدم به عنوان نقیض واقعیت وجود؛ به گونه‌ای که عدم منطقا در حیّزی از وجود تقرّر می‌یابد که اگر عدم نبود، وجود در آن حیّز تحقق می‌داشت. از این رو، هر یک از دو نقیض مورد فرض قرار گیرند. واقعیت ضروری، در حیّز اعم خود باقی است و از ضرورت داشتن آن به معنای اعم، تحقق سنخ وجودی، که نقیض عدم است، لازم نمی‌آید؛ چون وجود به عنوان نقیض عدم، اخص از مطلق واقعیت است که اعم از وجود و عدم است، و از ضرورت اعم، ضرورت اخص استنتاج نمی‌شود. حاصل اینکه برهانِ «از طریق واقعیت» به دلیل اعمیّت آن از وجود و عدم، تمام نیست و اگر تمام بود، واجب از طریق ضرورت منطقی محض اثبات می‌شد.[۷]
تقریر عبدالرسول عبودیت

توضیح این تقریر،مستلزم تبیین دقیق تشکیک وجود است که بحثی به نسبت دقیق و طولانی است و توصیف دقیق این برهان به درازا می کشد.بنابراین در اینجا فقط شکل تحلیلی مختصر برهان را می آوریم.

۱-در خارج واقعیتی هست (بدیهی)؛

۲-واقعیت خارجی متکثر است (بدیهی)؛

۳-در خارج واقعیت هایی هست (از ۱ و ۲)؛

۴-هر واقعیت خارجی،وجود است و جز وجود چیزی در خارج نیست (اصالت وجود)؛

۵-در خارج جز وجود های متکثر چیزی نیست (از ۳ و ۴)؛

۶-همه وجود ها از یک سنخ حقیقت اند؛به بیان دیگر،همه وجودها حقیقت یگانه ای دارند (تشکیک وجود)؛

۷-در خارج از حقیقت یگانه وجود؛کثرتی حاصل شده است (از ۵ و ۶)؛

۸-ممکن نیست از حقیقت یگانه وجود،کثرتی حاصل شود،مگر این که ما به الاشتراک و ما به الامتیاز همه وجودها از سنخ همان حقیقت یگانه وجود باشند (بدیهی)؛

۹-ممکن نیست ما به الامتیاز و ما به الاشتراک وجودهای متکثر همه از سنخ حقیقت یگانه وجود باشند،مگر این که برای این حقیقت بتوان درجه های متکثری از کمال و نقص فرض کرد (با تحلیل معنای کمال و نقص نسبی)؛

۱۰-ممکن نیست درجات متکثری از نقص و کمال را در حقیقت یگانه وجود،مگر با فرض سلسله علی-معلولی مترتبی از وجودها که در آن،هر وجود ناقص تری را تنها وجود کامل تر پیشین تصویر می کند.به چنین سلسله ای «سلسله تشکیکی» می گوییم؛

۱۱-ممکن نیست از حقیقت یگانه وجود کثرتی حاصل شود،مگر با فرض سلسله تشکیکی وجود (از ۸ و ۹ و ۱۰)؛

۱۲-سلسله تشکیکی وجود بدون حلقه ای نخستین که شامل وجود بی نهایت است قابل فرض نیست؛

۱۳-ممکن نیست از حقیقت یگانه وجود،کثرتی حاصل شود،مگر این که وجود بی نهایت موجود فرض شود (از ۱۱ و ۱۲)؛

۱۴-وجود بی نهایت موجود است (از ۷ و ۱۳)؛

نتیجه:خداوند موجود است.

در این برهان،گزاره های ۴ و ۶ و ۱۰ و ۱۲ باید اثبات شود.[۸]
در آیات

منقولاتی که برهان‌های اقامه شده برپایه آن‌ها بوده است:

    «ما آیات و نشانه‌های خود را در آفاق جهان و نفوس بندگان روشن می‌کنیم تا برآن‌ها آشکار شود که او حق است، آیا پروردگارت، خود دلیل و گواه کامل و کافی بر هر چیزی نیست؟»[۹]
    «شهد الله انه لا اله الا هو»: «خداوند [که حقیقةالوجود است، خودش] به یکتایی خود گواهی می‌دهد.»[۱۰]
    «هو الاول والآخر والظاهر والباطن»: «اول و آخر هستی و پیدا و نهان وجود خدا است.»

براهین وجودی

براهین وجودی دسته‌ای از براهین اثبات وجود خدا هستند.[۱] اقامه این برهان از تلاش‌هایی است که گفته می‌شود نخستین بار ابوعلی سینا، فیلسوف مسلمان ایرانی در جهت مسئلهٔ اثبات وجود خدا به عمل آورده‌است٬. این برهان در میان فلاسفه اسلامی بیش از سایر براهین مورد توجه قرار گرفته‌است؛ به طوری که برای نمونه محقق طوسی در کتاب «تجرید العقاید» در اثبات وجود خداوند، تنها به صورتی از آن بسنده مینماید:

    اگر موجود (که در تحقق آن شک نیست) واجب‌الوجود بالذات باشد، مطلوب ما ثابت است، و اگر چنین نباشد، مستلزم وجود واجب بالذات است، تا دور و تسلسل لازم نیاید.[۲]

تقریرهای بسیار گوناگونی در گروه براهین وجودی قرار می گیرند.این براهین را در نگاه کلی می توان به چهار گروه تقسیم نمود:

    بر مبنای تعریف خدا

نوشتار اصلی: برهان آنسلمی

    بر مبنای امکان وجود(امکان ماهوی)

نوشتار اصلی: برهان سینوی

    بر مبنای امکان وجود(امکان فقری)

نوشتار اصلی: برهان امکان فقری

    بر مبنای اصالت وجود

نوشتار اصلی: برهان صدیقین

    برهان وجودی پراس

تندیس شانکارا

اخیراً تقریر بسیار متفاوتی از برهان، توسط الکساندر پراس، استاد دانشگاه بایلور، بیان شده‌است. او این تقریر را بر مبنای نظرات شانکارا فیلسوف قدیم هند، پایه‌ریزی کرده‌است.

کورت گودل

کورت گودل (به آلمانی: Kurt Gödel) (زادهٔ ۲۸ آوریل ۱۹۰۶ در شهر برنو در پادشاهی اتریش-مجارستان[۱]، درگذشتهٔ ۱۴ ژانویه ۱۹۷۸ در شهر پرینستون، ایالت نیوجرسی آمریکا) ریاضی‌دان، منطق‌دان و فیلسوف اتریشی بود.

گودل در سن دوازده سالگی و زمانی که امپراتوری اتریش-مجارستان از هم پاشید، خودبخود تابعیت چک اسلواکی یافت‌ام در ۲۳ سالگی خود تابعیت اتریش را پذیرفت. او را در خانه به خاطر کنجکاوی سیری ناپیرش به نام «آقای چرا» می‌شناختند. گودل در ۱۸ سالگی وارد دانشگاه وین شد. تا آن زمان او بر ریاضیات دانشگاهی مسلط شده بود. گرچه در ابتدا قصد داشت فیزیک نظری بخواند، در کلاسهای ریاضی و فلسفه هم حاضر می‌شد. او که در این زمان به واقعیت گرایی در ریاضیات تمایل داشت، «اصول مابعدالطیعی علوم طبیعی» کانت را خوانده بود و در جلست حلق وین با حضور شلیک، کارنپ و هانس هان شرکت می‌کرد. او در جلساتی که در حضور شلیک کتاب «مقدمه‌ای بر فلسفه ریاضی» راسل را می‌خواندند به منطق ریاضی علاقه‌مند شد. او منطق ریاضی را علمی مقدم برعلوم دیگر می‌دانست که شامل اصولی بود که بنای علوم دیگر بر آن استوار بود.


حضور گودل در سخنرانی هیلبرت درباره تمامیت و سازگاری نظام‌های ریاضی زندگی او را تفییر داد. در سال ۱۹۲۸، هیلبرت و آکرمن اصول منطق ریاضی را منتشر کردند که مقدمه‌ای بر منطق مرتبه اول بود و مسئله تمامیت به عنوان پرسشی در آن مطرح شده بود: آیا اصول موضوعه یک نظام برای استنتاج همه جملات درست در هر مدل از آن نظام کافی هستند؟ این موضوعی بود که گودل برای تحقیقات دکتری‌اش انتخاب کرد. در ۱۹۲۹، در سن ۲۳ سالگی، تز دکتری‌اش را با راهنمای هانس هان تمام کرد. در تز دکتری‌اش، گودل تمامیت حساب محمولات مرتبه اول را اثبات کرده بود. در سال ۱۹۳۱ و زمانی که هنوز در وین بود قضایای ناتمامیت را منتشر کرد. او اثبات کرده بود که برای هر نظام اصل موضوعی محابه پذیر، چنانکه بتوان اصول موصوعه پئانو را در آن بیان کرد:
۱) اگر این نظام سازگار باشد، نمی‌تواند تمام باشد.

۲) سازگاری این نظام را نمی‌توان در خود آن اثبات کرد.
این قضیای به نیم قرن تلاش برای بنای تمام ریاضیات بر مجموعه‌ای از اصول موضوعه که با فرگه آغاز شده بود و با اصول ریاضی راسل و فرمالیسم هلیبرت به اوج خود رسیده بود پایان داد.[۲]
آرامگاه گودل در نیوجرسی آمریکا

گودل با دو قضایای ناتمامیت شهرت دارد که درست یک سال بعد از اخذ مدرک دکترا از دانشگاه وین در سال ۱۹۳۱ (یعنی در سن ۲۵ سالگی وی) به چاپ رسید.

او همینطور نشان داد که فرضیه پیوستار را نمی‌توان به وسیلهٔ اصول پذیرفته شده در تئوری مجموعه‌ها، به فرض پایداری آن اصول، باطل کرد. او سهم عمده‌ای برای اثبات تئوری به وسیلهٔ تبیین ارتباط بین منطق کلاسیک، منطق شهودگرا و منطق وجهی داشت.

گودل در ۳۳ سالگی برای گریز از مشکلات جنگ جهانی دوم به کشور آمریکا مهاجرت کرد و تا پایان عمر در آن کشور باقی‌ماند. او در سال ۱۹۴۶ به عضویت دائم مرکز تحقیقات پیشرفته پرینستون درآمد. در این زمان از انتشار مقاله دست کشید ولی به تحقیقاتش ادامه داد تا اینکه در سال۱۹۷۶ بازنشسته شد. او رفته رفته به فیزیک و فلسفه علاقه‌مند شد و به مطالعه لایب نیتز روی آورد و بر این عقیده بود که توطئه ای باعث شده است که برخی کارهای لایب نیتز ناشناخته بماند. او همچنین به میزان کمتری آثار کانت و هوسرل را به مطالعه گرفت. در اوایل دهد ۱۹۷۰ نسخه ای از برهان وجودی آنسلم را میان دوستانش توزیع کرد که به برهان وجودی گودل معروف است. در اواخر زندگیش، گودل دچار بی ثباتی روانی شد و بخصوص ترس شدید و بیمارگونه ای شد از اینکه به او سم خورانده شود. به همین دلیل تنها از غذاهایی که همسرش، آدله، برایش تهیه می کرد می خورد، آنهم به این شرط که خود او اول غذا را امتحان می کرد. در سال ۱۹۷۷ آدله بیمار و شش ماه در بیمارستان بستری شد و بنابراین دیگر قادر نبود غذایش را تهیه کند. در این مدت گودل از خوردن دست کشید تا آنکه از گرسنگی تلف شددر حالی که وزنش به ۳۰ کیلوگرم رسیده بود. گواهی فوت او در بیمارستان پرینستون علت مرگش را سوء تغذیه ناشی از اختلال شخصیت ذکر می کند.

محتویات

    ۱ دیدگاه های مذهبی
    ۲ پانویس
    ۳ منابع
    ۴ پیوند به بیرون

دیدگاه های مذهبی

کورت گودل موحد بود. دیدگاه های مذهبی او با نظرات دوستش آلبرت اینیشتین تفاوت داشت. او به طور جد به زندگی پس از مرگ اعتقاد داشت و بیان کرده بود : من به این که زندگی پس از مرگ وجود دارد، مستقل از هر الهیاتی، اعتقاد دارم. اگر که دنیا بر پایه عقلانیت ساخته شده و معنادار است پس حتماً باید یک چنین چیزی [زندگی پس از مرگ] وجود داشته باشد.کورت گودل (به آلمانی: Kurt Gödel) (زادهٔ ۲۸ آوریل ۱۹۰۶ در شهر برنو در پادشاهی اتریش-مجارستان[۱]، درگذشتهٔ ۱۴ ژانویه ۱۹۷۸ در شهر پرینستون، ایالت نیوجرسی آمریکا) ریاضی‌دان، منطق‌دان و فیلسوف اتریشی بود.

گودل در سن دوازده سالگی و زمانی که امپراتوری اتریش-مجارستان از هم پاشید، خودبخود تابعیت چک اسلواکی یافت‌ام در ۲۳ سالگی خود تابعیت اتریش را پذیرفت. او را در خانه به خاطر کنجکاوی سیری ناپیرش به نام «آقای چرا» می‌شناختند. گودل در ۱۸ سالگی وارد دانشگاه وین شد. تا آن زمان او بر ریاضیات دانشگاهی مسلط شده بود. گرچه در ابتدا قصد داشت فیزیک نظری بخواند، در کلاسهای ریاضی و فلسفه هم حاضر می‌شد. او که در این زمان به واقعیت گرایی در ریاضیات تمایل داشت، «اصول مابعدالطیعی علوم طبیعی» کانت را خوانده بود و در جلست حلق وین با حضور شلیک، کارنپ و هانس هان شرکت می‌کرد. او در جلساتی که در حضور شلیک کتاب «مقدمه‌ای بر فلسفه ریاضی» راسل را می‌خواندند به منطق ریاضی علاقه‌مند شد. او منطق ریاضی را علمی مقدم برعلوم دیگر می‌دانست که شامل اصولی بود که بنای علوم دیگر بر آن استوار بود.


حضور گودل در سخنرانی هیلبرت درباره تمامیت و سازگاری نظام‌های ریاضی زندگی او را تفییر داد. در سال ۱۹۲۸، هیلبرت و آکرمن اصول منطق ریاضی را منتشر کردند که مقدمه‌ای بر منطق مرتبه اول بود و مسئله تمامیت به عنوان پرسشی در آن مطرح شده بود: آیا اصول موضوعه یک نظام برای استنتاج همه جملات درست در هر مدل از آن نظام کافی هستند؟ این موضوعی بود که گودل برای تحقیقات دکتری‌اش انتخاب کرد. در ۱۹۲۹، در سن ۲۳ سالگی، تز دکتری‌اش را با راهنمای هانس هان تمام کرد. در تز دکتری‌اش، گودل تمامیت حساب محمولات مرتبه اول را اثبات کرده بود. در سال ۱۹۳۱ و زمانی که هنوز در وین بود قضایای ناتمامیت را منتشر کرد. او اثبات کرده بود که برای هر نظام اصل موضوعی محابه پذیر، چنانکه بتوان اصول موصوعه پئانو را در آن بیان کرد:
۱) اگر این نظام سازگار باشد، نمی‌تواند تمام باشد.

۲) سازگاری این نظام را نمی‌توان در خود آن اثبات کرد.
این قضیای به نیم قرن تلاش برای بنای تمام ریاضیات بر مجموعه‌ای از اصول موضوعه که با فرگه آغاز شده بود و با اصول ریاضی راسل و فرمالیسم هلیبرت به اوج خود رسیده بود پایان داد.[۲]
آرامگاه گودل در نیوجرسی آمریکا

گودل با دو قضایای ناتمامیت شهرت دارد که درست یک سال بعد از اخذ مدرک دکترا از دانشگاه وین در سال ۱۹۳۱ (یعنی در سن ۲۵ سالگی وی) به چاپ رسید.

او همینطور نشان داد که فرضیه پیوستار را نمی‌توان به وسیلهٔ اصول پذیرفته شده در تئوری مجموعه‌ها، به فرض پایداری آن اصول، باطل کرد. او سهم عمده‌ای برای اثبات تئوری به وسیلهٔ تبیین ارتباط بین منطق کلاسیک، منطق شهودگرا و منطق وجهی داشت.

گودل در ۳۳ سالگی برای گریز از مشکلات جنگ جهانی دوم به کشور آمریکا مهاجرت کرد و تا پایان عمر در آن کشور باقی‌ماند. او در سال ۱۹۴۶ به عضویت دائم مرکز تحقیقات پیشرفته پرینستون درآمد. در این زمان از انتشار مقاله دست کشید ولی به تحقیقاتش ادامه داد تا اینکه در سال۱۹۷۶ بازنشسته شد. او رفته رفته به فیزیک و فلسفه علاقه‌مند شد و به مطالعه لایب نیتز روی آورد و بر این عقیده بود که توطئه ای باعث شده است که برخی کارهای لایب نیتز ناشناخته بماند. او همچنین به میزان کمتری آثار کانت و هوسرل را به مطالعه گرفت. در اوایل دهد ۱۹۷۰ نسخه ای از برهان وجودی آنسلم را میان دوستانش توزیع کرد که به برهان وجودی گودل معروف است. در اواخر زندگیش، گودل دچار بی ثباتی روانی شد و بخصوص ترس شدید و بیمارگونه ای شد از اینکه به او سم خورانده شود. به همین دلیل تنها از غذاهایی که همسرش، آدله، برایش تهیه می کرد می خورد، آنهم به این شرط که خود او اول غذا را امتحان می کرد. در سال ۱۹۷۷ آدله بیمار و شش ماه در بیمارستان بستری شد و بنابراین دیگر قادر نبود غذایش را تهیه کند. در این مدت گودل از خوردن دست کشید تا آنکه از گرسنگی تلف شددر حالی که وزنش به ۳۰ کیلوگرم رسیده بود. گواهی فوت او در بیمارستان پرینستون علت مرگش را سوء تغذیه ناشی از اختلال شخصیت ذکر می کند.

محتویات

    ۱ دیدگاه های مذهبی
    ۲ پانویس
    ۳ منابع
    ۴ پیوند به بیرون

دیدگاه های مذهبی

کورت گودل موحد بود. دیدگاه های مذهبی او با نظرات دوستش آلبرت اینیشتین تفاوت داشت. او به طور جد به زندگی پس از مرگ اعتقاد داشت و بیان کرده بود : من به این که زندگی پس از مرگ وجود دارد، مستقل از هر الهیاتی، اعتقاد دارم. اگر که دنیا بر پایه عقلانیت ساخته شده و معنادار است پس حتماً باید یک چنین چیزی [زندگی پس از مرگ] وجود داشته باشد.

وزن

در زبان علمی و مهندسی، به نیرویی که در اثر گرانش به یک جسم وارد می‌شود، وزن می‌گویند.[۱][۲] ولی امروزه همهٔ مردم و حتی در بسیاری از متن‌های رسمی و قانونی در جایی از واژهٔ وزن استفاده می‌کنند که منظور جرم جسم است.

بزرگی نیرو را با W (به صورت ایرانیک) نمایش می‌دهند. بزرگی نیرو عبارت است از جرم جسم یا m ضرب در بزرگی شتاب محلی گرانش زمین[۳] یا g پس می‌توان گفت: W = mg. در فضای بردای وزن را با نماد W (به صورت پُررنگ) نمایش می‌دهیم. یکای اندازه‌گیری وزن در سامانهٔ استاندارد بین‌المللی یکاها یا SI نیوتن در نظر گرفته شده‌است. برای نمونه جسمی با جرم ۱ کیلوگرم وزنی برابر با ۹٫۸ نیوتن، در سطح زمین دارد و در سطح ماه وزنی برابر با حدود یک-ششم (۱/۶) وزن خود در زمین دارد و در فضایی دور از جرم‌های آسمانی به گونه‌ای که اثر نیروی گرانش آن‌ها بر جسم نزدیک صفر باشد، می‌توان گفت که جسم تقریبا بی‌وزن است.

محتویات

    ۱ پیشینه
    ۲ نسبت وزن روی زمین با سایر سیاره‌ها و ماه
    ۳ یادداشت و منبع
    ۴ پیوند به بیرون

پیشینه

گذشتهٔ مفهوم سنگینی و سبکی به تاریخ فلسفهٔ یونان باستان باز می‌گردد. مفهوم‌های سبکی و سنگینی در دید آن‌ها به عنوان ویژگی‌های ذاتی ماده در نظر گرفته می‌شد. افلاطون وزن را به صورت تمایل طبیعی ماده به بازگشت به خویش توصیف کرده بود. در دید ارسطو، سبکی و سنگینی نشان دهندهٔ تمایل به حفظ نظم طبیعی چهار عنصر پایه‌ای جهان: هوا، خاک، آب و آتش است. او سنگینی مطلق را به خاک و سبکی مطلق را به آتش نسبت داد. ارشمیدوس وزن را به عنوان ویژگیی در برابر شناوری دانست و آن را در کشمکش میان غرق شدن یا شناور ماندن یک جسم بر روی سیال موثر دانست. اولین تعریف ریاضی وزن از سوی اقلیدوس گفته شد؛ وی تعریف کرد که: «وزن، سنگینی یا سبکی یک جسم نسبت به دیگری است که با ترازو اندازه‌گیری می‌شود.»[۲]
نسبت وزن روی زمین با سایر سیاره‌ها و ماه
تیر     ۰٫۳۷۸
ناهید     ۰٫۹۰۷
زمین     ۱
ماه     ۰٫۱۶۵
بهرام     ۰٫۳۷۷
مشتری     ۲٫۳۶۴
کیوان     ۰٫۹۱۰
اورانوس     ۰٫۸۸۹
نپتون     ۱٫۱۲۵

کمیت نرده‌ای

کمیت نرده‌ای یا اسکالر (به انگلیسی: Scalar) به کمیتی گفته می‌شود که تنها با یک عدد نمایش داده می‌شود، برخلاف کمیتهای برداری که دارای مقدار و جهت هستند. در واقع کمیتهای نرده‌ای یک تانسور درجه صفر هستند.
چند نمونه

اگر بخواهیم چند کمیت نرده‌ای را نام ببریم، می‌توانیم به موارد زیر اشاره کنیم:

    فاصله دو نقطه
    جرم
    انرژی
    دما
    بار الکتریکی
    چگالی
    پتانسیل الکتریکی

کمیت‌هایی مانند میدان الکتریکی و شتاب نرده‌ای نیستند. نیروی گرانشی نرده‌ای نیست اما اندازه آن هست.

فضای برداری

در ریاضیات، فضای برداری یا فضای خطی به مجموعه‌ای از اشیاء ریاضی (به نام بردارها) گفته می‌شود که در مورد آن‌ها دو عمل جمع برداری و ضرب نرده‌ای به نحوی تعریف شده باشد که اصول موضوع چندی اقناع شود.

از جملهٔ معمول‌ترین فضاهای برداری در ریاضیات، و کاربردهای آن، فضاهای برداری حقیقی و فضاهای برداری مختلط هستند، که به ترتیب بر روی میدان‌های اعداد مختلط و اعداد حقیقی تعریف می‌شوند.

محتویات

    ۱ تعریف
    ۲ جستارهای وابسته
    ۳ پانویس
    ۴ منابع

تعریف

یک فضای برداری یا فضای خطی از موارد زیر تشکیل شده است:[۱]

    میدان F متشکل از کمیت‌های نرده‌ای
    مجموعه V از اشیاء با نام بردار
    عمل جمع با این تعریف که برای هر \alpha و \beta در V، \alpha + \beta در V با این شرایط:
        \alpha + \beta = \beta + \alpha \,
        \alpha + (\beta + \gamma) = (\alpha + \beta) + \gamma
        بردار یکتای 0 وجود دارد به طوریکه به ازای هر \alpha عضو V، \alpha + 0 = \alpha
        به ازای هر بردار \alpha عضو V، بردار یکتای -\alpha وجود دارد به طوریکه \alpha + (-\alpha) = 0
    عمل ضرب با این تعریف برای هر بردار \alpha در V و اسکالر c در میدان F، با این شرایط:
        به ازای هر \alpha در V، 1\alpha = \alpha
        (c_1 c_2)\alpha = c_1(c_2\alpha)
        c(\alpha + \beta) = c\alpha + c\beta
        ‎(c_1 + c_2)\alpha = c_1\alpha + c_2\alpha

جبر

جَبر شاخه‌ای از علم ریاضیات است که به مطالعه ساختار و کمیت می‌پردازد. در جبر از نشانه‌ها و معادلات برای نشان دادن ارتباط بین مفاهیم جبری استفاده می‌کنند. متغیرها و ثابت‌های مختلفی در روابط جبری وارد می‌شود و طبق اصول خاصی که برای هر کدام از انواع این معادلات مقرر شده مقادیر متغیرها به دست می‌آید. می‌توان جبر را تعمیم و تجریدی از حساب دانست که در آن بر خلاف حساب عملیاتی مانند جمع و ضرب نه بر اعداد بلکه بر نمادها انجام می‌گیرد. جبر در کنار آنالیز و هندسه یکی از سه شاخه اصلی ریاضیات است. علم جبر نخستین بار از مشرق‌زمین شروع شد و دانشمندانی چون خوارزمی و غیاث‌الدین جمشید کاشانی در این علم تاثیرگذار بودند.
دسته‌بندی

    جبر مقدماتی: جبر مقدماتی عملیات پایه‌ای بر روی چهار عمل اصلی را در بر می‌گیرد. در این شاخه پیش از تعریف علائمی که اعداد ثابت و متغیرها به وسیلهٔ آن‌ها از هم تفکیک می‌شوند، روش‌هایی برای حل معادلات به کار می‌رود.[۱]
    جبر مجرد: جبر مجرد به مطالعه ساختار جبری پیشرفته‌تر مثل گروه و حلقه و میدان می‌پردازد و خود به شاخه‌های گوناگونی تقسیم می‌شود[۱]:
        جبر جابجایی
        جبر ناجابجایی
    جبر خطی: بررسی نگاشت‌های خطی میان فضاهای بُرداری و فضاهای برداری در حیطهٔ این جبر است که کاربردهای بسیاری در شاخه‌اهی گوناگون دارد.

جبر مقدماتی

جبر مقدماتی عملیات پایه‌ای بر روی چهار عمل اصلی را در بر می‌گیرد. پس از تعریف علائمی که بوسیله آن اعداد ثابت و متغیرها از هم تفکیک می‌شوند، روش‌هایی برای حل معادلات مورد استفاده قرار می‌گیرد.

جبر مقدماتی گونهٔ بنیادی و نسبتاً پایه‌ای جبر است که به دانش‌آموزانی که احتمالاً آگاهی کمی دارند و یا هیچ آگاهی قانونمندی فراتر از حساب در ریاضیات ندارند، آموخته می‌شود. در حالی که در حساب تنها اعداد و اعمال حسابی آن‌ها (مانند +, −, ×, ÷) انجام می‌پذیرد، در جبر همچنین از نشانه‌هایی (چون x و y یا a و b) برای نشان دادن اعداد استفاده می‌شود، که متغیر نامیده می‌شوند.

جمع (ریاضی)

جَمع یا فلنج(در پارسی) یکی از چهار عمل اصلی در حساب و جبر مقدماتی است، که به فرآیند تعیین نتیجهٔ کل حاصل از روی هم گذاشتن دو یا چند عدد اطلاق می‌شود.

به هر کدام از اعدادی که عمل جمع برروی آن‌ها انجام می‌گیرد، جَمع‌وَند (در انگلیسی: addend یا summand) گفته‌شده و نتیجهٔ نهایی حاصل از انجام عمل جمع را مجموع یا حاصل جمع (Sum) می‌نامیم.

محتویات

    ۱ جمع
    ۲ جمع کسرها
        ۲.۱ کسرهای با مخرج مشترک
        ۲.۲ کسرهای با مخرج متفاوت
    ۳ منابع

جمع
+      0      1      2      3      4      5      6      7      8      9
 0      0      1      2      3      4      5      6      7      8      9
 1      1      2      3      4      5      6      7      8      9     ۱۰
 2      2      3      4      5      6      7      8      9     ۱۰     ۱۱
 3      3      4      5      6      7      8      9     ۱۰     ۱۱     ۱۲
 4      4      5      6      7      8      9     ۱۰     ۱۱     ۱۲     ۱۳
 5      5      6      7      8      9     ۱۰     ۱۱     ۱۲     ۱۳     ۱۴
 6      6      7      8      9     ۱۰     ۱۱     ۱۲     ۱۳     ۱۴     ۱۵
 7      7      8      9     ۱۰     ۱۱     ۱۲     ۱۳     ۱۴     ۱۵     ۱۶
 8      8      9     ۱۰     ۱۱     ۱۲     ۱۳     ۱۴     ۱۵     ۱۶     ۱۷
 9      9     ۱۰     ۱۱     ۱۲     ۱۳     ۱۴     ۱۵     ۱۶     ۱۷     ۱۸
جمع کسرها
کسرهای با مخرج مشترک

چنانچه کسرهای مورد نظر دارای مخرجی مشترک باشند، عمل جمع با سادگی و سهولت زیاد انجام می‌پذیرد. تنها کافی است، که صورت‌های کسرها را با یکدیگر جمع کرده و حاصل جمع به‌دست آمده را بر روی مخرج مشترک آن‌ها قرار دهیم، تا نتیجهٔ نهایی حاصل گردد.

مثال:

\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7} \!
کسرهای با مخرج متفاوت

در صورتی که کسرهای مورد نظر مخرج‌های متفاوتی داشته باشند، عمل جمع قدری طولانی‌تر و مشکل‌تر از حالت اول انجام می‌گیرد.

سری همگرا

در ریاضیات، یک سری، مجموع گزاره‌های یک دنباله از اعداد است.

با داشتن دنبالهٔ ‎\left \{ a_1,\ a_2,\ a_3,\dots \right \}‎، دنبالهٔ مجموع جزیی nامین جملهٔ دنباله، S_n، مجموع اولین n جملهٔ دنباله است، به عبارت دیگر:

    S_n = \sum_{k=1}^n a_k.

یک سری همگراست، اگر دنبالهٔ مجموع‌های جزیی ‎\left \{ S_1,\ S_2,\ S_3,\dots \right \}‎ همگرا باشد. به صورت دقیق، یک سری همگراست اگر برای هر عدد مثبت دل‌خواه و کوچک \varepsilon> 0، وجود داشته باشد عدد صحیح بزرگ N که برای هر n \ge \ N،

    \left | S_n - \ell \right \vert \le \ \varepsilon.

به یک سری که همگرا نباشد ناهمگرا گفته می‌شود.

حد (ریاضی)

وقتی که مقادیر متوالی به یک متغیر نسبت داده می‌شود، و آن متغیر بی‌نهایت به عدد ثابتی نزدیک شود، به طوری که اختلاف آنها از مقدار ثابت به هر اندازه کوچک قابل انتخاب باشد، این مقدار ثابت را حد همه مقادیر متغیر می‌گویند.

کاربرد مفهوم حد در ریاضی در توصیف مقداری است که یک تابع یا دنباله به آن نزدیک می‌شود، هنگامی که ورودی آن تابع یا شمارندهٔ آن دنباله به یک مقدار مشخص نزدیک می‌شود.[۱] حد یک مفهوم اساسی در حساب دیفرانسیل و انتگرال و در حالت کلی در آنالیز ریاضی است و در تعریف پیوستگی، مشتق و انتگرال کاربرد دارد. موضوع حد، به منظور بیان رفتار یک تابع می‌پردازد و می‌تواند رفتار آن را در نقاط روی صفحه و یا در بی نهایت هم ارزیابی کند.

مفهوم حد یک دنباله به حالت کلی تر حد شبکهٔ مکان‌شناسی گسترش می‌یابد و ارتباط نزدیکی با حد و حد مستقیم در نظریهٔ رده‌ها دارد.

ریاضی‌دانان پیش از آنکه مفهوم دقیق تر حد را ارائه کنند، در مورد آن مجادله‌های بسیار کرده‌اند. یونانی‌ها در عصر باستان درکی از مفهوم حد داشته‌اند. برای نمونه ارشمیدس مقدار تقریبی را با استفاده از پیرامون چند ضلعی‌های منتظم محاط در دایره به شعاع یک، وقتی که تعداد اضلاع بدون کران افزایش می‌یابد به دست می‌آورد. در قرون وسطی نیز تا دورهٔ رنسانس مفهوم حد برای بدست آوردن مساحت شکل‌های گوناگون بکار گرفته می‌شد.[۲]

در نوشتار ریاضی حد را گاهی به صورت lim نمایش می‌دهند مانند lim(an) = a، گاهی با یک پیکان رو به راست (→) نمایش می‌دهند مانند: an → a و گاهی هم به فارسی حد می‌نویسند.

محتویات

    ۱ حد تابع
    ۲ اثبات
        ۲.۱ مثال
    ۳ حد یک دنباله
    ۴ جستارهای وابسته
    ۵ منابع
    ۶ پانویس

حد تابع
نوشتار اصلی: حد تابع‎
       
هرگاه نقطه‌ای مانند x در فاصلهٔ δ از c باشد f(x) در فاصلهٔ ε از L قرار می‌گیرد.
       
برای تمامی x> S، مقدار f(x) در بازهٔ ε از L قرار می‌گیرد.

فرض کنید f(x)‎ تابعی حقیقی و c عددی حقیقی باشد. عبارت

    \lim_{x \to c}f(x) = L

بدین معنا است که اگر x به‌اندازهٔ کافی به c نزدیک شود مقدار f(x)‎ به‌اندازهٔ دلخواه به L نزدیک خواهد شد. رابطهٔ ریاضی بالا را چنین می‌خوانیم: «حد f از x هنگامی که x به c نزدیک می‌شود برابر L است.»

کوشی در ۱۸۲۱[۳] و به دنبال او کارل وایراشتراس تعریفی که در بالا برای حد داده شد را ریاضی وار بیان کردند، این تعریف در سدهٔ ۱۹ میلادی با نام «تعریف (ε, δ) حد» شناخته شد. آن‌ها در این تعریف از اپسیلون، ε، برای نشان دادن یک مقدار مثبت بسیار کوچک بهره بردند. هنگامی که «f(x) به‌اندازهٔ دلخواه به L نزدیک می‌شود» به این معنی است که مقدار f(x) کم کم در بازهٔ (L - ε, L + ε) جای می‌گیرد. با کمک قدر مطلق[۳] چنین می‌نویسیم: |f(x) - L| <ε.
عبارت «هنگامی که x به‌اندازهٔ کافی به c نزدیک می‌شود» به این معنی است که مقدارهای حقیقی از x را در نظر داریم که فاصلهٔ آن‌ها از c کمتر از عدد مثبت دلتا، δ باشد. یعنی x عضو یکی از دو بازهٔ (c - δ, c) یا (c, c + δ) است، نوشتار ریاضی این عبارت چنین است: ۰ <|x - c| <δ. نامساوی نخست یعنی فاصلهٔ میان c و x بیشتر از صفر است و x ≠ c است در حالی که نامساوی دوم می‌گوید فاصلهٔ x از c کمتر از δ است.[۳]

توجه داشته باشید که تعریف بالا برای حد می‌تواند درست باشد حتی اگر f(c) \neq L باشد. در حقیقت حتی نیازی نیست که f(x) در c تعریف شده باشد.

برای نمونه اگر داشته باشیم:

    f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}

آنگاه f(1) تعریف نشده‌است (بخش بر صفر) حال هر چه x به ۱ نزدیک می‌شود، f(x) متناسب با آن نیز به ۲ نزدیک می‌شود:
f(۰٫۹)     f(۰٫۹۹)     f(۰٫۹۹۹)     f(۱٫۰)     f(۱٫۰۰۱)     f(۱٫۰۱)     f(۱.۱)
۱٫۹۰۰     ۱٫۹۹۰     ۱٫۹۹۹     ⇒ تعریف نشده ⇐     ۲٫۰۰۱     ۲٫۰۱۰     ۲٫۱۰۰

بنابراین، مقدار f(x) به ۲ نزدیک می‌شود هرگاه بتوانیم x را به‌اندازهٔ کافی به ۱ نزدیک کنیم.

به عبارت دیگر \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = 2

یک تابع علاوه برداشتن حد در مقدارهای معین، می‌تواند در بی نهایت هم دارای حد باشد. برای نمونه:

    f(x) = {2x-1 \over x}

    f(۱۰۰) = ۱٫۹۹۰۰
    f(۱۰۰۰) = ۱٫۹۹۹۰
    f(۱۰۰۰۰) = ۱٫۹۹۹۹۰

هرگاه x مقدارهای بی نهایت بزرگ به خود گیرد، مقدار f(x) به سوی ۲ کشیده می‌شود. در این حالت می‌گوییم حد f(x) به ازای xهای رو به بی نهایت، برابر ۲ است. بیان ریاضی این گفته چنین است:

    \lim_{x \to \infty} \frac{2x-1}{x} = 2.

اثبات

روش اثبات اپسیلون و دلتا مشهور است که بار اول توسط ریاضیدان آلمانی کارل ویستراس عنوان شد[نیازمند منبع]. با استفاده از آن حد را چنین تعریف می‌کنیم:
Epsilondelta.jpg

گوییم f(x) در نقطه‌ای مانند x_0 دارای حد L است اگر به ازای هر عدد مثبت \epsilon عدد مثبتی مثل \delta موجود باشد به طوری که اگر 0 <|x-x_0| <\delta، آنگاه|f(x)-L| <\epsilon.

به عبارت دیگر برای هر \varepsilon\ >0 یک \delta\ >0 وجود داشته باشد، که برای هر x_0 با خاصیت |x-x_0|< \delta\ ، داشته باشیم |f(x)-L|< \varepsilon.

برای تعریف غیرصوری باید گفت حد تابع f(x) ،L است اگر وقتی x \to a، f(x) به حد L نزدیک بشود، یا f(x) در a دارای حد L است، اگر هنگامی که x به a میل می‌کند، f(x) به L نزدیک شود.
مثال

اثبات \lim_{x \to 0}\sqrt{x} = 0  :

برای هر \varepsilon\ >0 یک \delta\ >0 وجود دارد به شکلی که:

|\sqrt{x}-0|< \varepsilon\ اگر 0<x<\delta

یا \sqrt{x}< \varepsilon\ اگر 0<x<\delta

با گرفتن جذر هر دو سمت می‌توانیم عبارت قبلی را به شکل زیر بنوسیم:

\sqrt{x}< \epsilon^2 اگر 0<x<\delta

بنا بر این \delta \le \epsilon^2

و این \lim_{x \to 0}\sqrt{x} = 0 را اثبات می‌کند.
حد یک دنباله
نوشتار اصلی: حد یک دنباله‎

دنبالهٔ روبرو را در نظر بگیرید: ۱٫۷۹, ۱٫۷۹۹, ۱٫۷۹۹۹,... می‌توان دریافت که اعداد این دنباله به عدد ۱٫۸ نزدیک می‌شوند. ۱٫۸ حد این دنباله‌است.

فرض کنید a۱, a۲,... دنباله‌ای از عددهای حقیقی است. آنگاه می‌توان گفت عدد حقیقی L حد این دنباله‌است هرگاه:

    \lim_{n \to \infty} a_n = L

یعنی:

به ازای هر عدد حقیقی ε> ۰ می‌توان یک عدد طبیعی n۰ پیدا کرد به گونه‌ای که برای تمام n> n۰ آنگاه .

عبارت بالا بدان معنا است که همهٔ عضوهای دنباله به حد دنباله نزدیک می‌شوند چون عبارت قدر مطلقی برابر است با فاصلهٔ میان an و L. همهٔ دنباله‌ها دارای حد نیستند، اگر دنباله‌های حد داشت به آن همگرا و اگر نداشت واگرا می‌گوییم. می‌توان نشان داد که دنباله‌های همگرا، حد یکتا دارند.

حد یک دنباله و حد یک تابع رابطهٔ نزدیکی با هم دارند.