مشتق ایدهٔ اصلی حساب دیفرانسیل، بخش اول آنالیز ریاضی است که نرخ لحظه‌ای (یا نقطه‌ای) تغییرات تابع را نشان می‌دهد. مشتق نیز، نظیر انتگرال، از مسئله‌ای در هندسه، یعنی یافتن خط مماس در یک نقطه از منحنی ناشی شده‌است.
مفهوم مشتق تا اوائل قرن ۱۷ میلادی، یعنی تا قبل از آنکه ریاضی‌دان فرانسوی، پییر دو فرما به تعیین اکسترمم‌های چند تابع خاص دست بزند، تنظیم نشده بود. فرما دریافت که خطوط مماس، در نقاطی که منحنی ماکزیمم یا مینیمم دارد، باید افقی باشد. از اینرو به نظرش رسید که مسئلهٔ تعیین نقاط اکسترمم تابع، به حل مسئلهٔ دیگر، یعنی یافتن مماس‌های افقی مربوط میشود ، تلاش برای حل این مسئلهٔ کلی‌تر بود که فرما را به کشف برخی از ایده‌های مقدماتی مفهوم مشتق هدایت کرد.
در نگاه نخست اینطور به نظر می‌رسید که بین مسئله ی یافتن مساحت سطح زیر یک نمودار و موضوع تعیین خط مماس بر منحنی در یک نقطه رابطه‌ای وجود ندارد، اما اولین کسی که دریافت این دو مفهومِ به ظاهر دور از هم، در واقع ارتباط نسبتاً نزدیکی با هم دارند آیزاک بارو معلم آیزاک نیوتون بوده‌است.
اما مفهوم مشتق به شکل امروزی آن، نخستین بار در سال ۱۶۶۶ میلادی توسط نیوتون و به فاصلهٔ چند سال بعد از او، توسط گوتفرید لایب نیتس، مستقل از یکدیگر پدید آمد. این دو دانشمند در ادامهٔ کار خود، باز هم به طور مستقل، بخش دوم آنالیز ریاضی یعنی حساب انتگرال را عرضه کردند که اساس آن بر عمل انتگرال‌گیری قرار دارد.
نیوتون از شیوهٔ استدلال سینماتیک و با دیدگاه فیزیکی به بررسی مشتق پرداخته و از آن برای بدست آوردن سرعت لحظه‌ای استفاده می‌کرد. اما لایب نیتس با دیگاهی هندسی، از مشتق برای بدست آوردن ضریب زاویهٔ مماس در منحنی‌ها استفاده می‌کرد. هر یک از این دو دانشمند نمادهای جداگانه‌ای را برای نشان دادن مشتق به کار می‌بردند.
پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در دوران بعد به آگوستین لویی کوشی، برنارد ریمان و برادران برنولی، یعنی ژاکوب و یوهان، مربوط میشود. گیوم لوپیتال (به فرانسوی: Guillaume de l'Hôpital)، دانشمند فرانسوی، در سال ۱۶۹۶ نخستین کتاب درسی مربوط به آنالیز ریاضی را با نام «آنالیز بی‌نهایت کوچک‌ها برای بررسی منحنی‌ها» منتشر کرد که در واقع خلاصه‌ای از درس‌هایی بود که یوهان برنولی به عنوان معلم برای او نوشته بود. در این کتاب، قاعدهٔ رفع ابهام در حد، با استفاده از مشتق نیز آمده که به قاعدهٔ هوپیتال مشهور است ولی در واقع متعلق به یوهان برنولی بوده‌است.
محتویات
۱ مشتق تابع
۱.۱ تعریف مشتق
۲ نمادهای مشتق
۳ مشتق‌های یک طرفه
۴ مشتق‌پذیری
۴.۱ موارد مشتق‌ناپذیری
۵ دامنهٔ تابع مشتق
۶ مشتق تابع نسبت به تابع
۷ مشتق توابع پارامتری
۸ مشتق تابع مرکب
۹ مشتق توابع زوج و فرد
۱۰ پادمشتق
۱۱ مشتق جزئی
۱۲ مشتق ضمنی
۱۳ مشتق جهت‌دار
۱۴ مشتق تابع برداری
۱۵ مشتق کل
۱۶ مشتق تابع معکوس
۱۷ مشتق مراتب بالاتر
۱۷.۱ مشتق nام چند تابع مهم
۱۷.۲ قاعدهٔ لایبنیتس
۱۸ قضیهٔ رول
۱۹ قضیهٔ لاگرانژ
۲۰ قضیهٔ کوشی
۲۱ کاربرد مشتق
۲۱.۱ خط مماس و قائم
۲۱.۲ آهنگ تغییر
۲۱.۲.۱ آهنگ تغییر متوسط
۲۱.۲.۲ آهنگ تغییر لحظه‌ای
۲۱.۳ کمیت‌های وابسته
۲۱.۴ زاویهٔ بین دو تابع
۲۱.۴.۱ زاویهٔ بین خط و منحنی
۲۱.۴.۲ زاویهٔ بین دو منحنی
۲۱.۵ نقاط بحرانی
۲۱.۶ تشخیص یکنوایی تابع
۲۱.۷ آزمون‌های مشتق
۲۱.۷.۱ آزمون مشتق اول
۲۱.۷.۲ آزمون مشتق دوم
۲۱.۸ جهت تقعر و نقطهٔ عطف
۲۱.۸.۱ نقطهٔ عطف
۲۱.۹ قاعدهٔ هوپیتال
۲۱.۱۰ بهینه‌سازی
۲۲ قواعد مشتق‌گیری
۲۲.۱ توابع جبری
۲۲.۲ توابع مثلثاتی
۲۲.۳ توابع معکوس مثلثاتی
۲۲.۴ توابع نمایی و لگاریتمی
۲۳ جستارهای وابسته
۲۴ منابع
۲۵ پیوند به بیرون
مشتق تابع
میزان تغییرات تابع
خط قاطع نمودار تابع f \! که شیب آن برابر مقدار خارج قسمت تفاضلی f \! در x \! است.
با میل کردن h \! به سمت صفر، شیب خط قاطع به مقدار شیب خط مماس در نقطهٔ x \! میل می‌کند.
خط مماس نمودار تابع f \! در x \! که شیب آن برابر مقدار مشتق تابع در x \! است.
اگر (x , f(x)) \! نقطه‌ای از نمودار تابع y = f (x) \! و (x + h , f (x + h)) \! نقطهٔ دیگری از این نمودار باشد، آنگاه \Delta f (x) = f (x + h) - f (x) \! و شیب خط قاطع عبارت است از:
m = \frac {\Delta f (x)}{\Delta x} = \frac {f (x + h) - f (x)} {h} \!
کسر فوق، خارج قسمت تفاضلی f \! در x \! نامیده میشود. اگر x \! ثابت نگه داشته شود و h \! به سمت صفر میل کند، آنگاه خارج قسمت تفاضلی f \! در x \! اگر فقط به x \! بستگی داشته باشد به مقداری میل می‌کند که به آن شیب خط مماس گفته میشود. به عبارت دیگر، حاصل حد زیر در صورت وجود ضریب زاویهٔ خط مماس نمودار تابع f \! در x \! را بدست می‌دهد:
f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f (x + h) - f (x)}{h}
تعریف مشتق
برای تابع f \! که در همسایگی نقطهٔ a \! تعریف شده‌است، اگر f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} وجود داشته باشد، f \! در a \! مشتق‌پذیر است. این حد یکتا را با f'(a) \! نمایش داده و آن را مشتق تابع f \! در نقطهٔ a \! می‌نامند.
بر طبق این تعریف، مقدار مشتق برابر نرخ تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات مربوط به متغیر مستقل به سمت صفر میل می‌کند.
با تبدیل h \! به x - a \! تعریف دوم مشتق به صورت زیر حاصل میشود:
f'(a) = \lim_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}
نمادهای مشتق
لایبنیتس، نیوتون، لاگرانژ، آربوگاست و اویلر هر یک نماد جداگانه‌ای را برای نمایش مشتق بکار می‌بردند؛ اما در میان پیشگامان اولیهٔ آنالیز ریاضی، لایبنیتس بیش از هر کس دیگری به اهمیت علامات مناسب پی برده بود. او علامات را با حوصلهٔ زیادی آزمایش می‌کرد و با سایر ریاضی‌دانان مکاتبات بسیاری داشت و از این طریق معایب و محاسن نمادهای مختلف را برای آنها مطرح می‌ساخت. پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال و گسترش ریاضیات نوین تا حدود زیادی بواسطهٔ علامت‌های پیشرفته‌ای است که بسیاری از آنها توسط لایبنیتس ابداع شده‌اند.
لایبنیتس در سال ۱۶۷۵ میلادی با استفاده از عملگر تفاضلی \Delta \! خارج قسمت تفاضلی \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} را به شکل \frac{\Delta y}{\Delta x} نوشت و برای مشتق تابع f \! در x \! نماد \frac{\operatorname dy}{\operatorname dx} \! را معرفی کرد که به صورت \frac{\operatorname d}{\operatorname dx} f (x) نیز نوشته میشود. این نماد که نمایش دیفرانسیلی مشتق نامیده میشود، برای نمایش مشتق مراتب بالاتر به شکل \frac{\operatorname d^n}{\operatorname dx^n}f(x) نوشته میشود. با استفاده از این نماد تعریف مشتق به صورت \frac{\operatorname dy}{\operatorname dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \! در می‌آید.
نیوتون برای نشان دادن مشتق اول از \dot{y} \! و برای مشتق دوم از \ddot{y} \! استفاده می‌کرد. نمادهای نقطه‌دار نیوتون در برخی مسائل فیزیکی مانند سرعت و شتاب بکار می‌روند.
مشتق تابع f \! را با f' \! نیز می‌توان نشان داد. این نماد بر آن تأکید دارد که f' \! تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از تابع f \! بدست آمده‌است و مقدارش در x \! با f'(x) \! نموده میشود. مختصات x \! و y \! واقع بر نمودار f \! با معادلهٔ y = f (x) \! به هم مربوط می‌شوند، و علامت y' \! نیز برای نمایش f'(x) \! بکار می‌رود که مقدارش در x \! به صورت y'_x \! نوشته میشود. این نماد در سال ۱۷۷۰ میلادی توسط ژوزف لویی لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفت و مشتق مراتب بالاتر را به صورت f' \! (مشتق اول)، f'' \! (مشتق دوم)، f''' \! (مشتق سوم)، f^{(4)} \! (مشتق چهارم) ... f^{(n)} \! (مشتق n \!ام) نشان می‌دهد.
در سال ۱۸۰۰ میلادی نماد دیگری توسط لوییس آربوگاست معرفی شد و توسط لئونارد اویلر مورد استفاده قرار گرفت. این نماد مشتق f \! را به شکل \operatorname Df \! نشان می‌دهد. علامت \operatorname D \! یک عملگر دیفرانسیلی است و این فکر را القا می‌کند که \operatorname Df \! تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از f \! بدست آمده‌است. مشتق مراتب بالاتر به صورت \operatorname D^n f \! و مقدار آن در x \! به صورت \operatorname D^n f (x) \! نوشته میشود.
مشتق‌های یک طرفه
مشتق راست: اگر تابع f \! در فاصلهٔ [a , b) \! تعریف شده باشد آنگاه حاصل حد زیر، در صورت وجود، مشتق راست تابع در x = a \! می‌باشد:
f'_{+}(a) = \lim_{x \to a^{+}}\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \lim_{h \to 0^{+}}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}
مشتق چپ: اگر تابع f \! در فاصلهٔ (c , a] \! تعریف شده باشد آنگاه حاصل حد، زیر در صورت وجود، مشتق چپ تابع در x = a \! می‌باشد:
f'_{-}(a) = \lim_{x \to a^{-}}\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \lim_{h \to 0^{-}}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}
مشتق‌پذیری
تابع f \! در x = a \! مشتق‌پذیر است هرگاه در این نقطه پیوسته باشد و مشتق چپ و راست تابع با هم برابر و مساوی یک عدد حقیقی معین باشد.
تعبیر هندسی مشتق‌پذیری: تابع f \! در x = a \! مشتق‌پذیر است هرگاه بتوان در این نقطه یک خط کامل مماس و غیر موازی با محور yها بر منحنی رسم کرد.
اگر تابع f \! در نقطهٔ a \! مشتق‌پذیر باشد، آنگاه در آن نقطه پیوسته نیز هست.
ولی عکس قضیهٔ فوق صحیح نمی‌باشد یعنی ممکن است تابع پیوسته باشد اما مشتق‌پذیر نباشد؛ به عبارت دیگر، پیوستگی تابع در x = a \! شرط لازم برای مشتق‌پذیری تابع است، نه شرط کافی. پس اگر تابع f \! در a \! ناپیوسته باشد، آنگاه در a \! مشتق‌پذیر نیست.
موارد مشتق‌ناپذیری
مواردی که تابع در نقطهٔ مفروض a \! مشتق‌پذیر نیست:
نقاط ناپیوسته: تابع در نقاط ناپیوسته مشتق‌ناپذیر است و از دید هندسی نمی‌توان در این نقاط مماس بر منحنی رسم کرد.
نقاط زاویه‌دار: تابع در نقاط پیوسته‌ای که مشتق چپ و راست در آنها دو عدد حقیقی نابرابر، یا یکی عدد و دیگری بی‌نهایت باشد، مشتق‌پذیر نیست. از دید هندسی، در این نقاط دو نیم‌مماس بر منحنی رسم میشود که با هم زاویه می‌سازند.
نقاط عطف قائم: تابع در نقاط پیوسته‌ای که مشتق چپ و راست در آنها بی‌نهایت‌های هم‌علامت باشد مشتق‌ناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط می‌توان یک خط کامل مماس به موازات محور yها رسم کرد. نقطهٔ عطف قائم تنها نقطه‌ای است که تابع در آن مشتق‌پذیر نیست ولی مماس کامل دارد.
نقاط بازگشت: تابع در نقاط پیوسته‌ای که مشتق چپ و راست در آنها بی‌نهایت‌های غیر هم‌علامت باشد مشتق‌ناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط می‌توان یک نیم‌مماس، به موازات محور yها رسم کرد.
تابع در نقاطی که پیوسته‌اند ولی مشتق در آنها به سمت عدد مشخصی میل نمی‌کند نیز مشتق‌ناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط نمی‌توان مماس مشخصی بر منحنی رسم کرد.
دامنهٔ تابع مشتق
منظور از دامنهٔ تابع مشتق مجموعهٔ نقاطی است که تابع در آنها مشتق‌پذیر است. به طور کلی برای تابع f \! داریم:
\} \! مجموعه نقاطی که f' \! در آن تعریف نشده است D_{f'} = D_{f} - \{ \!
مشتق تابع نسبت به تابع
هرگاه بخواهیم مشتق یک تابع مانند f \! را نسبت به تابع دیگری مانند g \! بدست آوریم، کافی است مشتق این توابع را نسبت به متغیرشان محاسبه نموده و سپس بر هم تقسیم کنیم.
f'_g = \cfrac{\operatorname df}{\operatorname dg} = \cfrac{\cfrac{\operatorname df}{\operatorname dx}}{\cfrac{\operatorname dg}{\operatorname dx}} = \cfrac{f'_x}{g'_x}
مشتق توابع پارامتری
توابع که به فرم \begin{cases} x = f (t) \\ y = g (t) \end{cases} هستند را توابع پارامتری می‌نامند. در این حالت، مشتق y \! نسبت به x \! از رابطهٔ زیر قابل محاسبه است:
y'_x = \cfrac{\operatorname dy}{\operatorname dx} = \cfrac{\cfrac{\operatorname dy}{\operatorname dt}}{\cfrac{\operatorname dx}{\operatorname dt}} = \cfrac{y'_t}{x'_t} = \cfrac{g'(t)}{f'(t)}
مشتق تابع مرکب
نوشتار اصلی: قاعده زنجیری
اگر تابع g \! در نقطهٔ a \! و تابع f \! در g (a) \! مشتق‌پذیر باشد، آنگاه تابع f \circ g \! نیز در a \! مشتق‌پذیر است و داریم:
(f \circ g)' (a) = \left (f (g(a)) \right )' = g'(a) f'(g (a)) \!
به بیان دیگر، هرگاه y \! تابعی از u \! و u \! تابعی از x \! باشد، برای بدست آوردن مشتق y \! نسبت به x \!، مشتق y \! نسبت به u \! را در مشتق u \! نسبت به x \! ضرب می‌کنیم.
\frac {\operatorname dy}{\operatorname dx} = \frac {\operatorname dy}{\operatorname du} \cdot\frac {\operatorname du}{\operatorname dx}
همچنین به شکل دیگری برای توابع f \! ،y \! و u \! داریم:
y = f (u) \; \Rightarrow \; y' = u' \, f' (u)
مشتق توابع زوج و فرد
مشتق هر تابع زوج، تابعی فرد است و مشتق هر تابع فرد، تابعی زوج است.
اگر f \! تابعی زوج و f'(a) \! موجود نباشد ولی f'_{+}(a) \! و f'_{-}(a) \! موجود باشند آنگاه خواهیم داشت:
\begin{cases} f'_{+}(a) = - f'_{-}(-a) \\ f'_{-}(a) = - f'_{+}(-a) \end{cases}
اگر f \! تابعی فرد و f'(a) \! موجود نباشد ولی f'_{+}(a) \! و f'_{-}(a) \! موجود باشند آنگاه خواهیم داشت:
\begin{cases} f'_{+}(a) = f'_{-}(-a) \\ f'_{-}(a) = f'_{+}(-a) \end{cases}
پادمشتق
اگر f \! تابعی پیوسته در بازهٔ I \! شامل نقطهٔ a \! باشد، آنگاه تابع F \! با دامنهٔ I \! و با ضابطهٔ:
F (x) = \int_a^x f(t)\, dt
تابع اولیه یا پادمشتق تابع f \! نامیده میشود. تابع F \! روی I \! مشتق‌پذیر است و برای هر x \in I \! داریم:
F'(x) = f (x) \!
اگر u (x) = \int_{g(x)}^{h(x)} f(t)\, dt آنگاه مشتق تابع u \! از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:
u'(x) = h'(x)f(h(x)) - g'(x) f(g(x)) \!
مشتق جزئی
نوشتار اصلی: مشتق جزئی
مشتق جزئی، پاره‌ای یا نسبی، به مشتق تابع چند متغیرهٔ f (x_1 , x_2 , \ldots , x_n) \! نسبت به یکی از متغیرها با ثابت در نظر گرفتن سایر متغیرها گفته میشود. مشتق جزئی را به جای \operatorname d \! با \partial \! نمایش می‌دهند که «دِل»، «دِر» و یا «پارشال» خوانده میشود. برای مثال، مشتق جزئی تابع f (x , y) \! نسبت به x \! به صورت زیر نوشته میشود:
z = f (x , y) \; \Rightarrow \; \dfrac {\partial z}{\partial x} = \dfrac {\partial}{\partial x} f (x , y) \!
به طور کلی، حاصل حد زیر، در صورت وجود برابر مشتق جزئی تابع چند متغیرهٔ f \! نسبت به x_i \! در (x_1 , x_2 , \ldots , x_n) \! است:
\dfrac {\partial}{\partial x_i} f (x_1, x_2 , \ldots , x_n) = \lim_{h \to 0} \dfrac {f (x_1, \ldots , x_i + h, \ldots , x_n) - f (x_1 , \ldots , x_i , \ldots , x_n)}{h}
مشتق ضمنی
نوشتار اصلی: مشتق ضمنی
در مقابل رابطهٔ صریح تابع به شکل کلی y = f (x) \!، رابطهٔ ضمنی آن بصورت f (x , y) = 0\! قرار می‌گیرد. برای محاسبهٔ مشتق توابع ضمنی دو روش کلی وجود دارد:
استفاده از قاعدهٔ زنجیری: در این روش، از طرفین رابطه نسبت به x \! مشتق می‌گیریم و با فاکتورگیری، y' \! را بدست می‌آوریم. (اگر بخواهیم مشتق را نسبت به x \! حساب کنیم آنگاه x'_x = 1 \! و y'_x = y' \! خواهد بود)
استفاده از مشتق جزئی: در این روش از رابطهٔ زیر استفاده میشود:
f (x , y) = 0 \; \Rightarrow \; y'_x = - \cfrac{\dfrac{\partial f}{\partial x}}{\dfrac{\partial f}{\partial y}} = - \dfrac{\partial_x f (x , y)}{\partial_y f (x , y)} \!
مشتق جهت‌دار
نوشتار اصلی: مشتق جهت‌دار
مشتق جزئی تابع f (x , y , z) \! میزان تغییرات f \! را در امتداد محورهای مختصات به دست می‌دهد در حالیکه مشتق جهت‌دار، سویی یا جهتی، میزان تغییرات f \! را در امتداد یک بردار دلخواه در فضا حساب می‌کند. اگر f \! در همسایگی نقطهٔ P_0 = (x_0 , y_0 , z_0) \! تعریف شده باشد و \vec{l} \! برداری شامل نقطهٔ P_0 \! باشد، مشتق جهت‌دار f \! در P_0\! به صورت زیر محاسبه میشود:
\dfrac {\partial f (P_0)}{\partial l} = \dfrac{\partial f (x_0 , y_0 , z_0)}{\partial l} = \lim_{P \to P_0} \dfrac {f (P) - f(P_0)}{|P_0 P|_s} \!
که در آن نقطهٔ P \! باید متعلق به \vec{l} \! باشد و |P_0 P|_s \! فاصهٔ علامت‌دار P_0 \! تا P \! است یعنی اگر \vec{P_0P} \! و \vec {l} \! هم‌جهت باشند |P_0 P| \! و در غیر این صورت - |P_0 P| \! در نظر گرفته میشود.
مشتق تابع برداری
نوشتار اصلی: مشتق تابع برداری
مشتق تابع برداری f = \left (f_1 , f_2 , \ldots , f_n \right ) \! با فرض اینکه مؤلفه‌های سمت راست بامعنی باشند، به صورت زیر تعریف میشود:
f'(t) = \left (f'_1 (t) , f'_2 (t) , \ldots , f'_n (t) \right ) = \lim_{h \to 0} \frac {f (t + h) - f (t))}{h} \!
تابع f \! بر بازهٔ (a , b) \! پیوسته و مشتق‌پذیر است، هرگاه تک تک مؤلفه‌های f \! بر بازهٔ (a , b) \! پیوسته و مشتق‌پذیر باشند. با توجه به این تعریف، بسیاری از قضیای مشتق توابع حقیقی برای توابع برداری نیز صادق‌اند.
برای محاسبهٔ مشتق یک تابع برداری، می‌توان آن را برحسب مؤلفه‌های قائم خود، به صورت u_x = f (t) \! و u_y = g (t) \! نوشت و از هر کدام به طور جداگانه مشتق گرفت؛ یعنی اگر f'(t) \! و g'(t) \! وجود داشته باشند مشتق تابع برداری u \! به صورت زیر نوشته میشود:
u = xi + yj = f(t) i + g(t) j \; \Rightarrow \; \frac{\operatorname du}{\operatorname dt} = \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}i + \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}j = f'(t)i + g'(t)j \!
مشتق کل
نوشتار اصلی: مشتق کل
هرگاه f \! تابعی از R^n \! به R^m \! باشد، آنگاه مشتق جهت‌دار f \! در یک جهت بخصوص، بهترین تقریب خطی f \! در آن نقطه و جهت است. اما هرگاه n> 1 \! باشد، دیگر مشتق جهت‌دار نمی‌تواند به تنهایی، تصویر کاملی از رفتار تابع نشان دهد. مشتق کل، که دیفرانسیل کل نیز نامیده میشود با در نظر گرفتن رفتار تابع در تمام جهت‌ها می‌تواند تصویر کاملی از رفتار تابع ارائه کند.
برخلاف مشتق جزئی، در محاسبهٔ مشتق کل تابع f (t , x , y) \! نسبت به متغیر t \!، متغیرهای دیگر ثابت در نظر گرفته نمی‌شوند بلکه به t \! بستگی خواهند داشت و مشتق کل به صورت زیر تعریف میشود:
\frac{\operatorname df}{\operatorname dt}=\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}
مشتق کل در حساب دیفرانسیل با مفهومی مشابه، به یک عملگر دیفرانسیلی نیز گفته میشود. این عملگر دیفرانسیلی، مشتق کل تابع را نسبت x \! به صورت زیر محاسبه می‌کند:
\frac{\operatorname d}{\operatorname dx}= \frac{\partial }{\partial x}+\sum_{j=1}^k \frac{\operatorname dy_j}{\operatorname dx}\frac{\partial }{\partial y_j}
مشتق تابع معکوس
مقایسۀ شیب خط مماس بر منحنی توابع f \! و f^{-1} \! در نقاط متناظر M \! و M' \!
اگر تابع f \! در همسایگی نقطهٔ a \! پیوسته و یک به یک بوده و f'(a) \! موجود و غیر صفر باشد، آنگاه تابع f^{-1} \! در نقطهٔ b = f (a) \! مشتق‌پذیر است و داریم:
\left (f^{-1} \right )' (b) = \cfrac{1}{f'(a)}
تعبیر هندسی: شیب خط مماس بر منحنی f^{-1} \! در نقطهٔ M' (b , a) \! برابر است با عکس شیب خط مماس بر منحنی f \! در نقطهٔ M (a , b) \!. (نقاط M \! و M' \! متناظر هستند)
از قضیهٔ مشتق تابع معکوس، روابط زیر را نیز خواهیم داشت:
\left (f^{-1} \right )' (x) = \cfrac{1}{f'_{\left (f^{-1} (x) \right )}} \qquad \left (f^{-1} \right )'_{\left (f (x) \right )} = \cfrac{1}{f'(x)}
مشتق مراتب بالاتر
اگر تابع f \! روی بازهٔ I \! مشتق‌پذیر باشد تابع f' \! خود ممکن است در نقطه‌ای مثل a \! مشتق‌پذیر باشد. به عبارتی اگر f''(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f'(a + h) - f'(a)}{h} موجود باشد، می‌گوییم مشتق مرتبهٔ دوم تابع f \! در a \! موجود است و آن را با f''(a) \! نمایش می‌دهیم.
مشتق مراتب بالاتر یک تابع، از تعریف اصلی مشتق بدست می‌آید. بطوریکه با مشتق گرفتن از مشتق اول تابع به مشتق دوم آن می‌رسیم و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر نیز تعریف می‌شوند. به صورت کلی داریم:
f^{(n)} (a) = \lim_{h \to 0}\frac{f^{(n - 1)} (a + h) - f^{(n - 1)} (a)}{h}
مشتق nام چند تابع مهم
مشتق n \!ام چند تابع مهم نسبت به x \! که a \! و b \! اعداد ثابت هستند:
y = \sin ax \; \Rightarrow \; y^{(n)} = a^{n} \sin (\dfrac{n \pi}{2} + ax)
y = \cos ax \; \Rightarrow \; y^{(n)} = a^{n} \cos (\dfrac{n \pi}{2} + ax)
y = \dfrac{1}{ax + b} \; \Rightarrow \; y^{(n)} = \dfrac{(-1)^{n} \, n! \, a^{n}}{(ax + b)^{n + 1}}
y = (ax + b)^{n} \; \Rightarrow \; y^{(n)} = a^{n} \, n! \qquad (y^{(n + 1)} = 0)
قاعدهٔ لایبنیتس
قاعدهٔ لایبنیتس بیان می‌کند که اگر دو تابع f \! و g \! روی بازهٔ (a , b) \! دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ n \! باشند، آنگاه حاصل‌ضرب f.g \! نیز روی این بازه دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ n \! است و داریم:
h (x) = f (x) g (x) \; \Rightarrow \; h^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \tbinom{n}{k} f^{(k)} (x) g^{(n - k)} (x)
قضیهٔ رول
نوشتار اصلی: قضیه رول
اگر تابع f \! روی [a , b] \! پیوسته، روی بازهٔ (a , b) \! مشتق‌پذیر و f (a) = f (b) \! باشد آنگاه حداقل یک نقطهٔ c \! در بازهٔ (a , b) \! وجود دارد که در آن f'(c) = 0 \! است. عدد c \! با خاصیت فوق منحصر به فرد نیست و باید یک نقطهٔ درونی بازهٔ (a , b) \! باشد.
نقاط c \! در قضیهٔ رول نقاطی هستند که مماس بر نمودار در آنها خطوط افقی است، یعنی قضیهٔ رول شرایط وجود مماس افقی را برآورد می‌کند.
نتیجهٔ قضیهٔ رول: اگر تابع f \! روی [a , b] \! پیوسته باشد و f (a) = f (b) \! آنگاه حداقل یک نقطهٔ اکسترمم نسبی در بازهٔ (a , b) \! وجود دارد.
حالت خاص قضیهٔ رول: اگر فرض کنیم f (a) = f (b) = 0 \! با استفاده از قضیهٔ رول می‌توان گفت که بین هر دو ریشهٔ تابع مشتق‌پذیر f \! مشتقِ تابع یعنی f' \! حداقل یک ریشه دارد.
قضیهٔ لاگرانژ
نوشتار اصلی: قضیه مقدار میانگین
قضیهٔ لاگرانژ یا مقدار میانگین مشتق بیان می‌کند که هرگاه تابع f \! روی [a , b] \! پیوسته و روی بازهٔ (a , b) \! مشتق‌پذیر باشد، آنگاه حداقل یک نقطهٔ c \! در بازهٔ (a , b) \! وجود دارد که در آن:
f'(c) = \cfrac {f (b) - f (a)}{b - a} \!
تعبیر هندسی: قضیه بیان می‌کند که در بازهٔ (a , b) \! حداقل یک نقطه وجود دارد که مماس بر منحنی در آن نقطه به موازات خط واصل نقاط دو سر منحنی است.
تعبیر فیزیکی: اگر نمودار را مکان-زمان در نظر بگیریم و بازهٔ (a , b) \! بازهٔ زمانی باشد، قضیهٔ فوق می‌گوید، حداقل یک لحظه در بازهٔ (a , b) \! وجود دارد که سرعت لحظه‌ای با سرعت متوسط برابر میشود.
خط مماس بر منحنی (صورتی) در نقطۀ c \! با خط واصل نقاط دو سر منحنی (طوسی) موازی است.
قضیهٔ کوشی
نوشتار اصلی: قضیه کوشی
قضیهٔ کوشی که صورت تعمیم یافتهٔ قضیهٔ لاگرانژ است، بیان می‌کند که هرگاه توابع f \! و g \! روی بازهٔ [a , b] \! پیوسته و روی بازهٔ (a , b) \! مشتق‌پذیر باشند، آنگاه حداقل یک نقطهٔ c \! در بازهٔ (a , b) \! وجود دارد که در آن:
\frac {f'(c)}{g'(c)} = \frac {f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} \!
کاربرد مشتق
خط مماس و قائم
مشتق به ازای مختصات نقطهٔ تماس برابر است با ضریب زاویهٔ خط مماس. پس برای تعیین شیب خط مماس یا قائم بر منحنی و تعیین معادلهٔ آنها می‌توان از مشتق استفاده کرد.
خط مماس (سبز) و خط قائم (آبی) در نقطهٔ (x_{0} , y_{0}) \! واقع بر منحنی
معادلهٔ خط مماس در نقطهٔ (x_{0} , y_{0}) \! واقع بر منحنی:
\begin{cases} y - y_{0} = m (x - x_{0}) \\ m = f'(x_{0}) \end{cases}
معادلهٔ خط قائم در نقطهٔ (x_{0} , y_{0}) \! واقع بر منحنی:
\begin{cases} y - y_{0} = m' (x - x_{0}) \\ m' = \dfrac {-1}{m} \end{cases}
خط مماس بر منحنی از نقطهٔ A (x_{0} , y_{0}) \! خارج از منحنی
معادلهٔ خط مماس بر منحنی از نقطه‌ای خارج از منحنی: اگر بخواهیم از نقطهٔ A (x_{0} , y_{0}) \! مماسی بر منحنی رسم کنیم، نقطهٔ تماس را M (a , f (a)) \! در نظر می‌گیریم، چون نقطهٔ M \! روی منحنی قرار گرفته از منحنی مشتق می‌گیریم و مختصات M \! را قرار می‌دهیم تا شیب معادله بدست آید.
\begin{cases} m = f'(a) \\ y - f (a) = f'(a) (x - a) \end{cases}
در نهایت چون نقطهٔ A (x_{0} , y_{0}) \! روی خط مماس قرار دارد، در معادلهٔ فوق قرار داده تا یک معادلهٔ یک مجهولی بر حسب a \! بدست آید.
آهنگ تغییر
نسبت تغییرات دو کمیت را آهنگ تغییر یکی نسبت به دیگری می‌گویند.
آهنگ تغییر متوسط
آهنگ متوسط تغییرات f \! در فاصلهٔ [a , b] \! عبارت است از:
\frac {f (b) - f (a)}{b - a} \!
آهنگ متوسط تغییرات f \! نسبت به متغیر x \! عبارت است از:
\frac {\Delta f}{\Delta x} = \dfrac {f (x + \Delta x) - f (x)}{\Delta x} = \dfrac {f (x_2) - f (x_1)}{x_2 - x_1} \!
آهنگ تغییر لحظه‌ای
اگر \Delta x \to 0 \! تغییرات f \! نسبت به تغییرات x \! را آهنگ آنی (لحظه‌ای) تغییر f \! نسبت به x \! گویند.
\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac {f (x + \Delta x) - f (x)}{\Delta x} = f'(x) \!
کمیت‌های وابسته
مؤلفه‌های عمودی و افقی سرعت، هر یک به زمان نیز بستگی دارند.
در برخی موارد دو کمیت (متغیر)، علاوه بر اینکه به هم مربوط‌اند، هر دو به متغیر سومی که معمولاً زمان است، بستگی دارند. در این موارد آهنگ تغییر این دو کمیت، نسبت به کمیت سوم در نظر گرفته میشود. به عنوان مثال، حد تغییرات مسافت پیموده شده به تغییرات زمانی را سرعت لحظه‌ای گویند:
\begin{align} V_x = \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt} = x'_t \\ V_y = \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt} = y'_t \\ \end{align} \; \Bigg\} \; \Rightarrow \; V = \sqrt {V^2_x + V^2_y} = \sqrt {x^{'2}_t + y^{'2}_t}
زاویهٔ بین دو تابع
زاویهٔ بین خط و منحنی
زاویهٔ بین یک خط و منحنی عبارت است از زاویهٔ بین مماس رسم شده بر منحنی در نقطهٔ تقاطع با خط. برای تعیین زاویهٔ بین خط و منحنی به ترتیب زیر عمل می‌کنیم:
خط را با منحنی قطع داده و مختصات نقطهٔ تقاطع را بدست می‌آوریم.
از منحنی مشتق گرفته و ضریب زاویهٔ خط مماس بر منحنی را در نقطهٔ تقاطع می‌یابیم.
با کمک رابطهٔ \tan \alpha = \left | \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right | زاویهٔ بین خط مماس و منحنی را بدست می‌آوریم.
زاویهٔ بین دو منحنی
برای یافتن زاویهٔ بین دو منحنی، ابتدا آنها را با هم تلاقی داده و طول نقطهٔ تلاقی را می‌یابیم. سپس از دو منحنی مشتق گرفته و ضریب زاویه‌های بدست آمده را در رابطهٔ \tan \alpha = \left | \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right | قرار می‌دهیم تا زاویهٔ بین دو منحنی بدست آید.
زاویۀ بین خط و منحنی در نقطۀ تلاقی
زاویۀ بین دو منحنی با ضریب زاویه‌های m_1 \! و m_2 \! در نقطۀ تلاقی
نقاط بحرانی
نوشتار اصلی: نقطه بحرانی (ریاضیات)
نقطهٔ c \in D_f \! را نقطهٔ بحرانی تابع f \! گویند هرگاه f'(c) = 0 \! یا f'(c) \! موجود نباشد. ابتدا و انتهای بازه، ریشه‌های مشتق، نقاط بازگشتی، زاویه‌دار، ناپیوستگی و عطف قائم، همگی جزو نقاط بحرانی تابع محسوب می‌شوند.
در ضمن، اگر تابع f \! روی [a , b] \! تعریف شده باشد و نقطهٔ c \! درون این بازه، اکسترمم مطلق تابع روی این بازه باشد، آنگاه c \! نقطهٔ بحرانی f \! است. هر نقطهٔ اکسترمم نسبی f \! نقطهٔ بحرانی f \! نیز هست، در صورتیکه یک نقطهٔ بحرانی ممکن است نقطهٔ اکسترمم نسبی نباشد.
اگر تابع f \! روی بازهٔ (a , b) \! پیوسته باشد برای بدست آوردن مقادیر \max \! و \min \! مطلق ابتدا نقاط بحرانی را در بازه مشخص کرده و در تابع اصلی قرار می‌دهیم سپس \lim_{x \to a^{+}} f (x) \! و \lim_{x \to b^{-}} f (x) \! را نیز بدست می‌آوریم و با مقایسهٔ اعداد بدست آمده، اگر کمترین یا بیشترین مقدار مربوط به حدهای فوق باشد تابع فاقد \max \! یا \min \! مطلق است. در غیر این صورت \max \! یا \min \! مطلق را مشخص می‌کنیم.
اگر در بازهٔ فوق نقطه‌ای مثل c \! وجود داشته باشد که تابع در آن نقطه ناپیوسته باشد، می‌بایست \lim_{x \to c^{+}} f (x) \! و \lim_{x \to c^{-}} f (x) \! را نیز بدست آورد و مانند موارد بالا وجود \max \! یا \min \! را بررسی کرد.
تشخیص یکنوایی تابع
در تابع پیوستهٔ f \!، برای هر x \in I \! اگر f'(x)> 0 \! آنگاه f \! روی I \! صعودی اکید است و اگر f'(x) <0 \! آنگاه f \! روی I \! نزولی اکید است. ولی اگر f'(x) \ge 0 \! باشد، تابع f \! ممکن است صعودی غیر اکید یا صعودی اکید باشد و اگر f'(x) \le 0 \! باشد، تابع f \! ممکن است نزولی غیر اکید یا نزولی اکید باشد.
در این حالت برای تشخیص اکید یا غیر اکید بودن تابع f \! ریشه‌های مشتق را بدست می‌آوریم، اگر ریشه‌های مشتق، تمام نقاط روی یک بازه باشند، تابع صعودی غیر اکید است و در غیر این حالت صعودی اکید است.
اگر تابع f \! پیوسته نباشد، دامنهٔ تابع را به فاصله‌هایی که تابع در آنها پیوسته است، تقسیم می‌کنیم و به کمک مشتق وضعیت یکنوایی تابع را در هر بازه مشخص می‌کنیم. سپس نقاط انتهایی هر بازه (یا حد انتهایی هر بازه) را با نقاط ابتدایی بازهٔ بعد (یا حد ابتدایی بازهٔ بعد) مقایسه می‌کنیم.
آزمون‌های مشتق
آزمون مشتق اول
با فرض اینکه c \! نقطهٔ بحرانی تابع f \! است و c \in (a , b) \! و f \! روی (a , b) \! پیوسته و به جز احتمالاً در c \! مشتق‌پذیر باشد:
اگر f' \! روی (a , c) \! مثبت و روی (c , b) \! منفی باشد، آنگاه f \! در c \! ماکزیمم نسبی دارد.
اگر f' \! روی (a , c) \! منفی و روی (c , b) \! مثبت باشد، آنگاه f \! در c \! مینیمم نسبی دارد.
اگر f' \! روی (a , c) \! و (c , b) \! هم‌علامت باشد، آنگاه f \! در c \! اکسترمم ندارد.
آزمون مشتق دوم
فرض کنید c \! نقطهٔ بحرانی تابع f \! و f'' \! موجود باشد:
اگر f''(c)> 0 \! باشد آنگاه f \! در c \! دارای \min \! نسبی است.
اگر f''(c) <0 \! باشد آنگاه f \! در c \! دارای \max \! نسبی است.
اگر f''(c) = 0 \! باشد آزمون بی‌نتیجه است.
جهت تقعر و نقطهٔ عطف
اگر نمودار تابعی به صورت \smile \! باشد، تقعر آن به سمت بالاست. در این حالت منحنی بالای هر خطی که بر آن مماس شود، قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر اگر f' \! صعودی اکید باشد و یا f'' \! روی بازهٔ I \! موجود و همواره مثبت باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار f \! روی این بازه رو به بالاست.
اگر نمودار تابعی به صورت \frown \! باشد، تقعر آن به سمت پایین است. در این حالت منحنی پایین هر خطی که بر آن مماس شود، قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر اگر f' \! نزولی اکید باشد و یا f'' \! روی بازهٔ I \! موجود و همواره منفی باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار f \! روی این بازه رو به پایین است.
نقطهٔ عطف
اگر جهت تقعر نمودار f \! در نقطهٔ c \! تغییر کند و مماس نیز داشته باشد، آنگاه c \! را نقطهٔ عطف گویند. در بررسی نقطهٔ عطف تابع، سه شرط زیر باید برقرار باشد:
f \! در c \! پیوسته باشد.
f \! در c \! فقط یک مماس داشته باشد. (مایل، افقی یا قائم)
جهت تقعر f \! در c \! تغییر کند.
پس برای یافتن نقاط عطف نمودار تابع کافی است، نقاطی که f'' \! در آنها وجود ندارد یا برابر صفر است را تعیین و علامت f'' \! را قبل و بعد از این نقاط و نیز وجود خط مماس را در این نقاط بررسی کنیم.
عطف با مماس مایل
عطف با مماس افقی
عطف با مماس قائم
قاعدهٔ هوپیتال
نوشتار اصلی: قاعده هوپیتال
از قاعدهٔ هوپیتال برای رفع ابهام \frac {0}{0} \! و \frac {\infty}{\infty} \! در حد استفاده میشود بطوریکه اگر f \! و g \! در x = a \! مشتق‌پذیر باشند و f (a) = g (a) = 0 \! آنگاه:
\lim_{x \to a} \cfrac {f (x)}{g (x)} = \lim_{x \to a} \cfrac {f' (x)}{g' (x)} = L \!
اگر f \! و g \! در x = a \! از راست مشتق داشته باشد از قاعدهٔ هوپیتال برای وقتی x \to a^{+} \! می‌توان استفاده کرد و به همین ترتیب، اگر مشتق چپ داشته باشد برای x \to a^{-} \!.
بهینه‌سازی
نوشتار اصلی: بهینه‌سازی (ریاضیات)
بسیاری از مسائلی که در علوم تجربی و ریاضیات مطرح می‌شوند، در جستجوی یافتن مقادیر ماکزیمم و مینیممی هستند که یک تابع مشتق‌پذیر می‌تواند در دامنهٔ خاص اختیار کند و مشتق ابزار مناسبی برای یافتن این مقادیر است.
برای حل مسائل بهینه‌سازی لازم است ابتدا کمیت‌هایی مانند حجم، مساحت، فاصله و... که بیشترین یا کمترین مقدار آن مورد نیاز است، به صورت تابعی از متغیرهای دیگر نوشته شود و چنانچه معادلهٔ حاصل بیش از یک متغیر داشت با استفاده از فرضیات مسأله و ارتباط متغیرها با هم، معادله را به معادله‌ای با یک متغیر مستقل تبدیل کرد و در انتها به کمک مشتق، نقاط بحرانی را یافت، تا بتوان ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع را مشخص کرد.
قواعد مشتق‌گیری
در روابط زیر m \! ،c \! و p \! اعداد ثابت، y \! ،x \! ،v \! ،u \! ،t \! متغیر و e \! عدد نپر است.
توابع جبری
\left ( c \right )' = 0 \!
\left ( u^m \right )' = mu^{m-1}u' \! (قاعدهٔ توان)
\left ( uvt \right )' = u'vt + v'ut + t'uv \! (قاعدهٔ حاصل‌ضرب)
\left ( \mid u \mid \right )' = \frac{uu'}{\mid u \mid} \!
\left ( \sqrt[m]{u} \; \right )' = \frac{u'}{m \sqrt[m]{u^{m-1}}} \!
\left ( cu \right )' = cu' \! (قاعدهٔ ضریب ثابت)
\left ( u + v \right )' = u' + v' \! (قاعدهٔ مجموع)
\left ( \frac{u}{v} \right )' = \frac{u'v - v'u}{v^2} \! (قاعدهٔ خارج‌قسمت)
\left ( \sqrt{u} \; \right )' = \frac{u'}{2 \sqrt{u}} \!
\left ( \sqrt[m]{u^p} \; \right )' = \frac{pu'}{m \sqrt[m]{u^{m-p}}} \!
توابع مثلثاتی
\left ( \sin u \right )' = u' \cos u \!
\left ( \tan u \right )' = u' (1 + \tan^2 u) \!
\left ( \sec u \right )' = u' \sec u \tan u \!
\left ( \cos u \right )' = - u' \sin u \!
\left ( \cot u \right )' = - u' (1 + \cot^2 u) \!
\left ( \csc u \right )' = - u' \csc u \cot u \!
\left ( c \sin^m u \right )' = cmu' (\sin^{m - 1} u) (\cos u) \!
\left ( c \tan^m u \right )' = cmu' (\tan^{m - 1} u) (1 + \tan^2 u) \!
\left ( c \cos^m u \right )' = - cmu' (\cos^{m - 1} u) (\sin u) \!
\left ( c \cot^m u \right )' = - cmu' (\cot^{m - 1} u) (1 + \cot^2 u) \!
توابع معکوس مثلثاتی
\left ( \arcsin u \right )' = \cfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}} \!
\left ( \arccos u \right )' = \cfrac{- u'}{\sqrt{1 - u^2}} \!
\left ( \arctan u \right )' = \cfrac{u'}{1 + u^2} \!
\left ( \arccot u \right )' = \cfrac{- u'}{1 + u^2} \!
توابع نمایی و لگاریتمی
\left ( \log_a u \right )' = \frac{u'}{u \ln a} \!
\left ( a^u \right )' = u' a^u \ln a \!
\left ( \ln u \right )' = \frac{u'}{u} \!
\left ( e^u \right )' = u' e^u \!