هذلولی

به مکان هندسی مجموعه‌ای از نقاط در یک صفحه که تفاضل فاصله‌های هریک از آن‌هااز دو نقطهٔ ثابت در صفحه (کانون‌ها) مقداری ثابت(دو برابر مقدار a در هذلولی) باشد هذلولی گویند. هذلولی از برخورد یک صفحه با سطح مخروطی، در حالتی که صفحه موازی با محور سطح مخروطی باشد، به وجود می آید.اگر نصف اندازه طول و عرض هذلولی را a و b و نصف فاصله کانونی را c بنامیم، در هر هذلولی رابطه c2 = a2 + b2 برقرار خواهد بود. هر هذلولی دو خط مجانب دارد که در مرکز هذلولی با هم برخورد می کنند.
معادله استاندارد

معادله ی هذلولی به مرکز (h,k) به فرم استاندارد به صورت زیر است:[۱]

\begin{cases} \displaystyle\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2}=1 & \mbox{horizontal transversive axis} \\ \displaystyle\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2}=1 & \mbox{vertical transversive axis} \end{cases}

ابن هیثم

اِبْنِ هِیْثَم، ابوعلی حسن (محمد؟) بن حسن (حسین؟) بن هیثم مهندس اهوازی،[۱]، ناموَر به ابن هیثم (۴۳۰-۳۵۴) که در باختر در نوشته‌های لاتینی سده‌های میانه به آونتان یا آوناتهان و بیشتر به آلهازن (Alhazen) شناخته می‌شود، از دانشمندان سرشناس ایرانی[۲][۳][۴][۵][۶][۷][۸] و اولین دانشمند فیزیک نور در جهان است که در زمینه شناخت نور و قانون‌های شکست و بازتاب آن نقش مهمی ایفا کرده‌است. شرح اصول اتاقک تاریک و اختراع ذره‌بین از کارهای برجستهٔ این دانشمند ایرانی و مسلمان است که منجر به ساخت دوربین عکاسی گردید.[۹] به دید برخی پژوهشگران ابن هیثم نخستین دانشمند جهان است که سرعت صوت را محاسبه کرده‌است. ابن هیثم با معیار متعارف اندازه‌گیری طول در زمان خود، که واحد ذرع بود، سرعت نور و دور کره زمین را اندازه گرفت. وی نخستین کسی است که ۷۰۰ سال قبل از نیوتن به بررسی ویژگی‌های نور پرداخت.[۸] ابن هیثم را اولین دانشمندی می‌‌شناسند که از روش مبتنی‌ بر آزمایش در کار‌هایش استفاده کرد.[۱۰]

سیارک شماره ۵۹۲۳۹ به افتخار این دانشمند به نام ۵۹۲۳۹ ابن هیثم نامیده شده‌است.

محتویات

    ۱ زندگی
    ۲ کارها
    ۳ آثار مهم
    ۴ پانویس
    ۵ منابع
    ۶ جستارهای وابسته

زندگی
نظریه ابن هیثم درباره نور

نیاکان ابن هیثم از شهر دانشگاهی گندی شاپور در زمان ساسانیان و زرتشتی بوده‌اند که پس از حمله اعراب در زمان خلافت عمر بن الخطاب به همراه بسیاری از داشنمندان دیگر مانند خاندان نوبخت و بختیشوعها از گندی‌شاپور کوچ کردند[۱۱] (که در آن زمان تحت فرمانروایی دودمان آل‌بویه ایرانی عراق بوده و بخشی از ایران[۱۲] به شمار می‌رفت) برخاست. وی اهل خوزستان بود و در شهر وهیشت‌اردشیر (اهواز) جای داشت، او درعلوم ریاضی، حساب و هندسه، مثلثات، جبر، الابصار و دیگر، استادی چیره‌دست و توانا بود.بااینکه بسیاری از کتابهایی ومقالاتی که امروزه به ابن هیثم می پردازند وی را یک دانشمند عرب معرفی می کنند اما بنا به تحقیقات ذکرالله قلندری ،این دانشمند ایرانی وبه احتمال بسیار از اهالی اهواز بوده که به منظور انجام پروژه های علمی اش ابتدا به بصره و دیگربار به قاهره سفر نموده است.(قلندری،1393،صص 3-18).قلندری در نوشتارش تصریح می کند که نام هیثم به معنای بچه شاهین یا بچه عقاب است(ر.ک لسان العرب،ابن منظور،دارالاحیا،الترات العربی بیروت،چاپ اول 1408،ماده هثم ص 28)همانند دیگر هموطن مشهورش ابن سینا که سینا نیز به همین معنا و بچه شاهین یا سیمرغ آمده است.اتصال جمله این واژگان به واژه اوستایی سیمرغ که در ادبیات ایران پیش از اسلام رمز ونماد علم پزشکی بوده در خور تامل می نماید.جالب این نکته است که هردو حکیم مذکور علاوه بر دانش های دیگر پزشکان حاذقی در زمان خود بودند واین نکته یکی از دلایل مهم ایرانی بودن ابن هیثم است.از جمله دلایل دیگری که ذکرالله قلندری در ایرانی بودن ابن هیثم آورده تصریح ابی اصیعبه در کتاب عیون الانبا به این نکته است که «ابن هیثم آشنایی خوبی با زبان عربی داشت»(عیون الانباء، جزء الثانی، 1299 ه ق، ص 90)این مطلب نیز نماینگر این است که او از ابتدا عرب زبان نبوده است.در فرضیه دومی که قلندری در نوشتارش مطرح نموده است فرض تاثیر گزاری نظریات و آراء ابن هیثم بر دست ساخته های بصری در ایران همانند فانوس خیال(که رباعی از خیام کهن ترین اشاره به آن است) و همچنین یک دستگاه پخش تصویر متحرک در قرن نهم هجری با نام تعبیه غربیه به روایت خواندمیر در حبیب السیر محتمل و تا حد زیادی اشکار است..این مطلب بیانگر این است که علاوه بر تاثیری که ابن هیثم در اروپا بروی بزرگانی چون کپلر،نیوتون، و گالیله گذاشت تا تحقیقات بعدی اتاق تاریک اورا در اروپا به شکل دوربین عکاسی تکامل بخشد، از این سو در ایران نیز نظریات این حکیم مورد توجه مخترعان ومهندسان ایرانی در صناعات بصری بوده است.منتها از بد روزگار و بخاطر شرایط بغرنج سیاسی ایران هیچکدام از آن اختراعات بصری تا به به امروز باقی نمانده است.(قلندری،همان)

ابن هیثم از راه استنساخ کتاب‌های ریاضی روزگار می‌گذرانید. کتاب‌های او در هندسه، حساب، به ویژه کتاب علم البصار در پرتوشناسی، شهرت جهانی دارند. این کتاب در سده‌های میانه اروپا، به لاتین برگردانده شد.
کارها
ابن هیثم نشسته در حال مطالعه فیزیک نور

ابن هیثم پدر علم فیزیک نور و آغاز کننده تحولاتی است که بعدها به ساخت دوربین عکاسی، دوربین سینما و پرژکتور پخش فیلم منجر شد. ابن هیثم تلاش زیادی در شناخت فیزیک نور انجام داد. او رساله‌ای درباره نور نوشت و ذره‌بین را ساخت. به نسبت زاویه تابش و زاویه انکسار پی برد و اصول تاریکخانه را شرح داد و در مورد قسمت‌های مختلف چشم بحث کرد. رسالهٔ نور ابن هیثم نفوذ زیادی در اروپا گذاشت. کارهای وی توسط کمال‌الدین فارسی پیگیری شد.

بالغ بر بیست اثر بازمانده ابن هیثم ویژه مسائل نجومی است.

شهرت ابن هیثم در نجوم بیشتر به سبب تالیف رساله‌ای است به نام مقاله فی هیئته العالم. ظاهراً این رساله از آثار جوانی او است، زیرا در آن از «پرتوی که از چشم خارج می‌شود» سخن گفته‌است و ماه را جسمی صیقلی توصیف کرده که نور خورشید را «باز می‌تاباند». این دو نظر را وی در المناظر و مقاله فی ضوء القمر رد کرده‌است این رساله تنها نوشته نجومی ابن هیثم است که در سده‌های میانه به باختر راه یافته‌است. آبراهام هبرایوس آن را به سفارش آلفونسوی دهم، شاه کاستیل (وفات: ۱۲۸۴ میلادی) به اسپانیایی ترجمه کرد و این ترجمه را مترجم ناشناسی (تحت عنوان کتاب جهان و آسمان) به لاتینی در آورد. در این رساله ابن هیثم ثابت می‌کند که اگر ماه مانند آینه‌ای رفتار کند، لازم می‌آید که سطحی از ماه که نور خورشید را به زمین باز می‌تاباند کوچک‌تر از سطحی باشد که ما می‌بینیم، پس نتیجه می‌گیرد که ماه نور عرضی خود را در دریت مانند اجسام منیر، یعنی از همه سطح خود و در همه جهات گسیل می‌دارد، این نظر با استفاده از یک ذات‌الثقبتین نجومی ثابت می‌شود. از این رو وی آسمان را متشکل از مجموعه‌ای از پوسته‌های کروی (با افلاک) هم مرکز فرض کرده‌است که بر هم مماسند و درون یکدیگر می‌چرخند، در داخل ضخامت هر پوسته، که نماینده فلک یکی از سیارات است، پوسته‌های هم مرکز و خارج از مرکز و کرات کامل دیگری وجود دارد که بترتیب با افلاک خارج از مرکز و افلاک تدویر متناظرند. همه پوسته‌ها و کره‌ها سر جای خود و به گرد مرکز خود می‌چرخند، و از ترکیب آنها حرکت ظاهری سیاره که طبق فرض روی استوای فلک تدویر قرار دارد، پدید می‌آید. ابن هیثم با توصیف دقیق همه حرکت‌هایی که در کار می‌آیند، در واقع گزارشی کامل و روشن و غیر فنی از نظریه بطلمیوسدرباره سیارات ارائه می‌کند، و همین نکته راز محبوبیت رساله او را آشکار می‌کند.
ابن هیثم سمت چپ در کنار گالیله

ایراد ابن هیثم به حرکت پنجم ماه که در فصل پنجم از مقاله پنجم مجسطی بیان شده، بسیار آموزنده‌است. این اشکال کاملاً از نوع برهان خلف است، زیرا «ثابت می‌کند» که چنین حرکتی از لحاظ فیزیکی محال است. بطلمیوس فرض کرده بود که هنگام حرکت فلک تدویر ماه بر فلک حامل خارج مرکز آن قطری که از اوج تدویر می‌گذرد (هنگامی که، مرکز فلک تدویر بر اوج فلک حامل است) طوری می‌چرخد که همیشه در امتداد نقطه‌ای در روی خط اوج و حضیض است (این نقطه را «نقطه المحاذات» می‌گویند)؛ به طوری که مرکز دائرةالبروج در وسط خطی است که این نقطه را به مرکز فلک حامل وصل می‌کند. این فرض ایجاب می‌کند که وقتی فلک تدویر یک دور کامل روی فلک حامل خود می‌چرخد، قطر آن بتناوب، در دو جهت مخالف بچرخد. اما ابن هیثم می‌گوید که چنین حرکتی را تنها یک کره ایجاد می‌کند، که بتناوب در دو جهت مختلف می‌چرخد، یا دو کره که یکی بیحرکت می‌ماند و دیگری در جهت خاص خود می‌چرخد. چون فرض جسمی با این اوصاف ممکن نیست، بنابراین ممکن نیست که قطر فلک تدویر در امتداد آن نقطه مفروض باشد.

سالها قبل از اینکه عکاسی اختراع شود، اساس کار دوربین عکاسی وجود داشت. ابن هیثم در سدهٔ پنجم هجری/یازدهم میلادی ابزاری را به نام جعبه تاریک (camera obscura) را برای بررسی خورشیدگرفتگی به کار برده بود. این ابزار در زمان جنگ‌های صلیبی به اروپا راه یافت. اتاقک تاریک، عبارت بود از جعبه یا اتاقکی که فقط بر روی یکی از سطوح آن روزنه‌ای ریز، وجود داشت. عبور نور از این روزنه باعث می‌شد که تصویری نسبتاً واضح اما به صورت وارونه در سطح مقابل آن تشکیل شود.

این وسیله به شدت مورد توجه نگارگران قرار گرفت و همهٔ نگارگران به‌ویژه نگارگران ایتالیایی سدهٔ شانزدهم از آن برای طراحی دقیق چشم‌اندازها و دیدن دورنمایی صحیح بهره می‌بردند، به این ترتیب که کاغذی را بر روی سطح مقابل روزنه قرار می‌دادند و تصویر شکل گرفته را ترسیم می‌کردند. این تصاویر بسیار واقعی و از ژرفانمایی (پرسپکتیو) صحیحی برخوردار بود. ابن‌هیثم یک تصویر را هم فرافکن (projection) کرده است. وی دستگاهی ساخته بود که تصویر را بازمی‌تابانده‌است، بدین گونه نخستین سنگ بنای سینما گذاشته شد. راستی داشتن این سخن دور نیست: ابن‌هیثم نخستین دانشمند جهان است که سرعت صوت را اندازه گرفت است. او با معیارهای متعارف اندازه‌گیری در زمان خودش، که واحد ذرع بود، سرعت نور را محاسبه کرد و دور کرهٔ زمین را اندازه گرفت. وی نخستین کسی است که به بررسی خواص نور پرداخت.

حل مسأله زیر یکی از کارهای معروف او است:

«در صفحه دایره‌ای به مرکز O و به شعاع R، دو نقطه ثابت B،A داده می‌شود. هرگاه دایره را به مثابه آیینه‌ای فرض کنیم بر آن، نقطه‌ای چون M بیابید که شعاعی نورانی که از A خارج می‌شود پس از منعکس شدن در نقطه M، بر B بگذرد.»

ابن هیثم این مسأله را با استفاده از یک معادله چهارم و از تقاطع یک هذلولی متساوی القطرین و یک دایره حل کرده‌است.
آثار مهم

    کتاب المناظر
    مقالة فی صورةالکسوف
    رسالة فی مساحة المسجم المکافی
    مقالة فی تربیع الدائرة
    مقالة مستقصاة فی الاشکال الهلالیة
    خواص المثلث من جهة العمود
    القول المعروف بالغریب فی حساب المعاملات
    قول فی مساحة الکرة.

آزمایش

آزمایش یا تجربه در پژوهش دانشی، به روشی از تحقیق که برای یافتن رابطه علّی میان متغیرها یا آزمودن یک فرضیه به‌کار می‌رود، گفته می‌شود. آزمایش از پایه‌های اصلی رویکرد تجربی برای دست‌یابی به داده‌ها در مورد جهان پیرامون است و از آن هم در علوم طبیعی و هم در علوم اجتماعی بهره می‌گیرند. از آزمایش‌ها می‌توان برای حل یک مسئله یا رد و اثبات فرضیات نظری استفاده کرد. در آزمایش‌ها، دانشمند یا کارشناس می‌کوشد تا مشاهده کند که آن‌چه در یک فرضیه بیان شده آیا در عمل نیز محقق می‌شود یا نه. فرضیه، نظریهای است که هنوز به محک آزمایش گذارده نشده‌است.

آزمایش‌ها ممکن است بسیار دقیق باشند و به دستگاههای پیچیده نیاز داشته‌باشند. محلی که ویژهٔ انجام آزمایش ساخته شده‌باشد آزمایشگاه نام دارد. فرضیه‌های ساده‌ای هم‌چون وجود گرانش بر روی کرهٔ زمین را می‌شود با آزمایش‌های ساده‌ای در بیرون از آزمایشگاه نیز انجام داد. انجان این آزمایش‌ها به درک روابط فیزیکی و شیمیایی در جهان هستی به انسان کمک می‌کند.

کارشناسان رشته‌های گوناگون دانش از آزمایش‌های متنوعی بهره می‌گیرند. برای نمونه جامعه‌شناسان برای رد یا اثبات نظریاتی در پیوند با رفتار گروه‌های انسانی این نظریات را می‌آزمایند و یا روان‌شناسان افرادی را به عنوان نمونه در شرایط ویژه‌ای قرار می‌دهند تا با مشاهدهٔ رفتار آن‌ها به نتایجی علمی دست پیدا کنند.

یکی از تعریف‌های پژوهش علمی در اصل انجام یک رشته آزمایش‌ها با هدف مشترک است.

در فارسی گاه واژهٔ آزمایش را به صورت «آزمایشات» جمع می‌بندند که از نظر دستوری درست نیست.[۱] و بهتر است که از واژه‌ی "آزمایش‌ها" بهره ببریم. اولین دانشمندی که از روش مبتنی بر آزمایش در کارهایش استفاده کرد ابن هیثم بود که کتاب هفت جلدی اش با عنوان "کتاب المناظر" بسیاری از پندارهای غلط گذشته را بر انداخت؛ از جمله این باور پیشینیان که علت قابل دیدن بودن اشیا این است که چشم می‌تواند بر آنها نور بتابد.

اندازه‌گیری

اَندازه‌گیری یا سنجش فرآیند برآورد اندازهٔ ویژگی‌های یک چیز، مانند طول ( درازا)، وزن (سنگینی) یا عمق (ژرفا) آن نسبت به یکاهای اندازه‌گیری استاندارد، مانندمتر و کیلوگرم است. این عبارت نشانگر شمار نتایج فرآیند پیشین نیز هست. مترولوژی، دانش بررسی اندازه‌گیری است. عمل اندازه‌گیری بیشتر با یک ابزار اندازه‌گیری (سنج ابزار) مانند خط‌کش، ترازو، دماسنج، سرعت‌سنج یا ولت‌سنج انجام می‌شود که با این کار، ویژگی اندازه‌گیری‌شده با یکای اندازه‌گیری سنجیده می‌شود. هر نوع ویژگی را می‌توان اندازه گرفت،[۱] کمّیت‌های فیزیکی مانند مسافت، سرعت، انرژی، دما و زمان از جملهٔ این ویژگی‌هایند. بنیان‌گذار اندازه‌گیری نوین، متیو لاسکی است.

در اندازه‌گیری‌ها پاسخ کامل نداریم، هر کسی که نتیجه اندازه‌گیری خود را گزارش می‌کند، همواره بهترین برآورد خود را از مقدار اصلی، همراه با خطای اندازه‌گیری آن، ارائه می‌دهد. البته درستی اندازه‌گیری به سرشت جسمی که اندازه‌گیری می‌شود نیز وابسته‌است. از این‌رو، درستی همه اندازه‌گیری‌ها، به دلیل محدودیت در دقت (تکرارپذیری آزمایش) و خطای برخاسته از سرشت سنج ابزار و جسمی که اندازه‌گیری می‌شود، محدود است.

برنامه‌ریزی حرکت

برنامه‌ریزی حرکت (نام دیگر ، «مشکل ناوبری»، مسئله «حرکت دهنده پیانو»)اصطلاحی است که در رباتیک به فرایند جزئی‌سازی کاری، درقالب حرکت‌های جداگانه و گسسته اطلاق می‌شود. به عنوان مثال، هدایت رباتی سیار در داخل یک ساختمان به سمت هدفی دور را، در حالی که باید از دیوارها بدون برخورد عبور کند و مراقب پایین افتادن از پله‌ها باشد، درنظر بگیرید. الگوریتم برنامه‌ریزی حرکت این وظایف جداگانه را به عنوان ورودی می‌گیرد، فرمان سرعت و چرخش چرخ‌ها را تولید می‌کند و به ربات ارسال می‌کند. الگوریتم‌های برنامه‌ریزی حرکت ربات ممکن است با تعداد بیشتری از مفاصل (به عنوان مثال بازوهای صنعتی)، وظایفی پیچیده‌تر (به عنوان مثال دستکاری اشیاء)، محدودیت‌های مختلف (به عنوان مثال یک ماشین که فقط به جلو می‌تواند برود)، و عدم قطعیت (به عنوان مثال مدل ناقص محیط و یا ربات) روبرو باشند.

برنامه‌ریزی حرکت دارای کاربردهای رباتیکی زیادی از قبیل خودمختاری، خودکارسازی، نرم‌افزار طراحی به وسیله کامپیوتر و نیز برنامه‌های کاربردی در زمینه‌های دیگر مانند پویانمایی شخصیت‌های دیجیتال، طراحی معماری، جراحی رباتیک و مطالعه مولکول‌های زیستی می‌باشد.

محتویات

    ۱ مفاهیم
        ۱.۱ فضای پیکربندی
        ۱.۲ فضای آزاد
    ۲ الگوریتم‌ها
        ۲.۱ جستجوی شبکه ای
        ۲.۲ الگوریتم‌های هندسی
        ۲.۳ میدانهای پتانسیل
        ۲.۴ الگوریتم‌های مبتنی بر نمونه گیری
        ۲.۵ بازدهی و پیچیدگی
    ۳ کاربرد ها
    ۴ مرتبط
    ۵ منابع
    ۶ مطالعه بیشتر
    ۷ پیوند های بیرونی

مفاهیم
نمونه‌ای از فضای کاری.
فضای پیکربندی رباتی به اندازه نقطه. سفید= Cfree، خاکستری=Cobs
فضای پیکربندی رباتی با حرکات مستطیل شکل (به رنگ قرمز). سفید= Cfree، خاکستری= Cobs، خاکستری تیره = اشیاء، خاکستری روشن = فضایی که ربات ممکن است در آن با اشیاء برخورد.
نمونه‌ای از مسیر معتبر.
نمونه‌ای از مسیر نامعتبر.
نمونه‌ای از نقشه راه.

مسئله‌ی اصلی برنامه‌ریزی حرکت، تولید یک حرکت مداوم است که پیکربندی شروع S را به پیکربندی هدف G متصل کند، در حالی که از برخورد با موانع شناخته شده اجتناب کند. هندسه‌ی ربات و موانع، در فضای کاری ۲ یا ۳ بعدی تعریف می‌شود. در حالی که حرکت، بعنوان یک مسیر (احتمالاً در ابعاد بالاتر) در فضای پیکربندی تعریف می‌شود.
فضای پیکربندی

یک پیکربندی، مکان روبات را تشریح می‌کند و فضای پیکربندی C، مجموعهٔ تمام پیکربندی‌های ممکن آن(تمام نقاطی که روبات امکان دستیابی به آنها را دارد)می باشد. برای مثال :

    اگر ربات یک نقطه(بااندازه صفر) در صفحه ۲ بعدی باشد(فضای کار)،C یک صفحه می‌باشد و پیکربندی می تواند با استفاده از دو پارامتر(x،y) بیان شود.
    اگر ربات شی ای ۲بعدی باشد و بتواند حرکت و چرخش کند، فضای کار هنوز ۲ بعدی محسوب می‌شود با این حال،C گروه اقلیدسی خاصی به شرح زیر است:
    SE(2)=R^2*SO(2)
    (که (S0(2 یک گروه متعامد خاص، از حرکتهای دوبعدی می باشد)واین پیکربندی می تواند با 3 پارامتر (x, y, θ) نمایش داده شود.
    اگر ربات جسمی 3 بعدی باشد که می تواند حرکت و چرخش کند، فضای کار 3 بعدی است.اما C گروه اقلیدسی خاصی به شرح زیر است:
    SE(3)=R^3*SO(3)

و برای توصیف پیکربندی به 6 پارامتر احتیاج است:(x, y, z):برای توصیف حرکت و (α, β, γ):برای زوایای اویلری.

    اگر ربات با پایه ثابت با N مفصل پیچیده(بدون حلقه‌های بسته)باشد، آنگاه C، از N بعد خواهد بود.

فضای آزاد

به مجموعه ای از پیکربندی‌ها که از برخورد با موانع جلوگیری میکنند، فضای خالی(Cfree)می گوییم. مکمل Cfreeرا C، موانع یا منطقه‌های ممنوعه، می نامیم. اغلب محاسبه شکل Cfreeبسیار دشوار است، با این حال، آزمایش اینکه آیا یک پیکربندی داده شده در Cfreeمی باشد یا نه، کارآمد می باشد. ابتدا با استفاده از کینماتیک به جلو، موقعیت هندسه ربات تعیین می‌شود و نمایانگر برخورد، برخورد موقعیت هندسی ربات با محیط را بررسی می کند.
الگوریتم‌ها

مسائلی با ابعاد پایین، بوسیلهٔ الگوریتم‌های مبتنی بر شبکه، که این الگوریتم‌ها با استفاده از متصور شدن شبکه‌ای بر بالای فضای پیکربندی انجام می‌شوند، قابل حل هستند.این مسائل همچنین با استفاده از الگوریتم‌های هندسی که شکل و همبندی سی را محاسبه می‌کنند، قابل حل هستند. برنامه‌ریزی حرکت دقیق برای سیستم‌هایی با ابعاد بالاتر، تحت محدودیت‌ها و موانعی پیچیده، از لحاظ محاسباتی، مساله ای رام نشدنی است. الگوریتم‌های میدان پتانسیل کارآمد هستند، اما این الگوریتم‌ها در کمترین مقدارهای ممکن محلی(local minima)، ناکارآمد هستند.الگوریتم‌های مبتنی برنمونه‌گیری از مشکل افتادن در مینیمم‌های محلی اجتناب می‌کنند و بسیاری از مسائل را نسبتاً سریع حل می‌کنند. با این حال، این الگوریتم‌ها قادر به تعیین این که هیچ راهی وجود ندارد نیستند، اما می‌توانند احتمال شکست در یافتن راه را محاسبه کنند که با سپری شدن زمان بیشتر، احتمال شکست را به صفر کاهش می‌دهند.

در حال حاضرالگوریتم‌های مبتنی بر نمونه گیری به روزترین و بهترین الگوریتم‌های برنامه ریزی حرکت برای فضاهایی با ابعاد بالا می باشند و حتی برای مسائلی با ده‌ها یا صدها بُعد، قابل پیاده سازی می باشند (مانند: بازوهای رباتیکی، مولکول‌های زیستی، انیمیشن کاراکترهای دیجیتال، روبات‌های دارای پا وغیره).
جستجوی شبکه ای

الگوریتم‌های مبتنی بر شبکه معمولاً شبکه‌ای را به صورت فرضی روی فضای پیکربندی قرار می‌دهند و فرض می‌کنند که هر پیکربندی با نقطه‌ای از نقاط شبکه مشخص می‌شود. در هر نقطه از این شبکه، ربات اجازه حرکت به نقطه مجاور را دارد به طوریکه خط بین نقطه شروع و پایان داخل Cfreeباشد(این مسأله با استفاده از تشخیص برخورد، آزمایش می‌شود). مجموعه‌ی این اعمال به همراه الگوریتم‌های جستجو(مانند A*) می‌توانند مسیری از مبدأ به سمت هدف را بیابند. این روش‌ها نیاز به تفکیک شبکه‌ای دارند. جستجو با شبکه‌های ضخیم‌تر، سریع‌تر می‌شود، اما در این حالت الگوریتم موفق به پیدا کردن مسیر از میان بخش‌های باریک Cfree نمی‌شود.علاوه بر این، تعداد نقاط روی شبکه، در ابعاد فضای پیکربندی، رشد نمایی دارد که آنها را برای مسائلی با ابعاد بالا ناکارآمد می‌کند.

روش‌های سنتی مبتنی بر شبکه، مسیرهایی تولید می‌کنند که جهت تغییرات مسیر آنها محدود به مضاربی از زاویه‌ی اولیه‌ی داده شده می‌باشد.این روش‌ها اغلب منجر به ایجاد مسیرهایی می‌شوند که به طور جزئی بهینه هستند(solution suboptimal).هر کدام از روش‌های برنامه ریزی مسیر مبتنی بر زاویه، بدون اینکه مسیرشان را محدود به اضلاع شبکه کنند، مسیرهای کوتاه‌تری را با انتشار دادن اطلاعات در امتداد اضلاع شبکه پیدا می‌کنند. روش‌های مبتنی بر شبکه اغلب نیاز به جستجوی مداوم دارند، به عنوان مثال، زمانی که شناخت روبات از فضای پیکربندی تغییر کند یا خود فضای پیکربندی با پیدا کردن مسیرهایی تغییر کند. الگوریتم‌های جستجوی افزایشی اکتشافی، با استفاده از تجربه سایر مسائل مشابه برنامه‌ریزی مسیر-که قبلاً حل شده‌اند- با سرعت بالایی حرکت را برای مورد فعلی، برنامه‌ریزی می‌کنند.
الگوریتم‌های هندسی

این الگوریتم‌ها مبتنی بر یکی از 2 حالت زیر می‌باشند:

- نمایش ربات در میان موانع چند ضلعی

    گراف قابل رویت بودن
    تجزیه المانی

- تعریف اشیا در میان موانع

    جمع مینکوسکی

میدانهای پتانسیل

یک روش برای برنامه ریزی حرکت، فرض کردن ربات به عنوان نقطه ای داخل میدانهای پتانسیل است. این روش کشش به سمت هدف و دافعه از موانع را با هم نرکیب میکند. خط سیر نهایی، خروجی به عنوان مسیر مدنظر میباشد. این روش با توجه به اینکه خط سیر با محاسبه کمی بدست می آید، مفید واقع می شود.اگرچه، این الگوریتم‌ها می توانند در مینیمم‌های محلی میدانهای پتانسیل به دام بیفتند و موفق به پیدا کردن مسیر نشوند.
الگوریتم‌های مبتنی بر نمونه گیری

الگوریتم‌های مبتنی بر نمونه گیری، فضای پیکربندی را با نقشه راهی از پیکربندی‌های از قبل نمونه گیری شده، نمایش می دهند.یک الگوریتم ابتدایی، N پیکره بندی را در فضای C نمونه گیری می‌کند و آن‌ها را در Cfree، برای استفاده به عنوان نمونه شاخص نگه می دارند. سپس نقشه راه به گونه ای ساخته می‌شود که دو شاخص P و Q را، درصورتیکه بخش PQ کاملاً درون Cfreeباشد، بهم متصل می کند. آنگاه الگوریتم تشخیص دهنده برخورد ،Cfreeرا برای وجود برخورد بازبینی می کند. برای پیدا کردن مسیری که S و G را بهم متصل میکند، آنها نیر به نقشه راه، افزوده می شوند. اگر مسیر نقشه راه، بتواند G و S را بهم مرتبط کند، برنامه ریزی حرکت، موفق بوده است و و این مسیر را برمی گرداند. اگر جواب مثبتی پیدا نشود یا نمونه برداری کافی نیست یا راهی وجود ندارد.

این الگوریتم‌ها درفضای پیکربندی با ابعاد بالا بسیار خوب کار می کنند، چرا که بر خلاف الگوریتم‌های ترکیبیاتی، زمان اجرای آنها بطور توانی، وابسته به ابعادفضای پیکره بندی C نیست و همچنین دارای پیاده سازی اساساً ساده تری نیز می باشند.این الگوریتم‌ها از نظر احتمالی کامل هستند یعنی احتمال یافتن راه حل مساله توسط این الگوریتم‌ها با گذر زمان به ۱ نزدیک می شود. با این حال، آنها نمی‌توانند عدم وجود راه حل برای مساله را تعیین نمایند.

اثبات شده است که با داشتن موقعیت‌های میدان دید در Cfree، هنگامیکه تعداد پیکربندی‌های N افزایش می یابد، احتمال ابنکه الگوریتم ذکر شده راه حلی را بیابد، به طور توانی[۱] به ۱ نزدیک می شود. میدان دید بطور صریح وابسته به ابعاد C نمی‌باشد.یعنی ممکن است که فضایی در ابعاد بالا با میدان دید خوب یا در ابعاد پایین با میدان دیدی ضعیف داشت. نتایج تجربی روش‌های مبتنی بر نمونه گیری، نشان می دهند که فضاهایی که بطور معمول، بیشتر دیده میشوند، میدان دید خوبی نیز دارند.
بازدهی و پیچیدگی

به یک برنامه ریز حرکت در صورتی کامل گفته می‌شود که همیشه زمانیکه مسیری درحالت کلی وجود دارد، یک مسیر ممکن را به درستی تولید کند. بیشتر الگوریتمهای کامل، مبتنی بر هندسه هستند. کارایی برنامه ریزهای کامل توسط نظریه پیچیدگی محاسباتی ارزیابی می شود.

کامل بودن از لحاظ تفکیک پذیری عامل دیگری است، بدین سان که اگر تفکیک پذیری شبکه ای که درنظر گرفته شده، به اندازه کافی ظریف باشد، یافتن مسیر توسط برنامه ریز حرکت، تضمین می شود.بیشتر برنامه ریزهایی که از لحاظ تفکیک پذیری کاملند، مبتنی بر شبکه می باشند. پیچیدگی محاسباتی این گونه برنامه ریزها وابسته به تعداد نقاط شبکه ای است که برای الگوریتم آن درنظر گرفته شده است.که این پیچیدگی (O(1/hdخواهد بود که h تفکیک پذیری(طول یکی از اضلاع سلول شبکه) و d بعد فضای پیکر بندی می باشد.

کامل بودن احتمالاتی نیز ویژگی دیگری است بدین سان که احتمال اینکه برنامه ریز نتواند مسیری را پیدا کند(با اینکه مسیری وجود داشته)، درحالیکه کار بیشتری درحال انجام است، بطور مجانبی به صفر نزدیک میشود.کارایی برنامه ریزی که این ویژگی را دارد، با استفاده از میزان همگرایی، اندازه گیری می شود. برنامه ریزهای ناکامل همواره مسیری ممکن(وقتی مسیری وجود دارد) را تولید نمی‌کنند. اما گاهی برنامه ریزهای ناکامل نیز در عمل بسیار خوب عمل میکنند.

توپولوژی

توپولوژی[۱] شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی فضاهای توپولوژیکی و خواص بنیادی فضا از جمله همبندی می‌پردازد. توپولوژی یکی از شاخه‌های نسبتاً جوان ریاضیات است.

محتویات

    ۱ نام‌گذاری
    ۲ تاریخچه
    ۳ مفاهیم
    ۴ تعریف ریاضی
    ۵ مثال
    ۶ مقایسهٔ توپولوژی‌های تعریف شده روی یک مجموعه
    ۷ چند قضیه از توپولوژی
    ۸ کاربردهای توپولوژی
        ۸.۱ زیست‌شناسی
        ۸.۲ علوم کامپیوتر
        ۸.۳ فیزیک
        ۸.۴ روبوتیک
    ۹ جستارهای وابسته
    ۱۰ یادداشت‌ها
    ۱۱ منابع

نام‌گذاری

نام این رشته از واژه‌های یونانی توپو (τόπος) به‌معنی مکان و (Logos) به‌معنای شناخت گرفته شده‌ است. بنابراین، توپولوژی یعنی مکان‌شناسی.

فرهنگستان زبان و ادب فارسی برای توپولوژی واژه‌ای معادل پیشنهاد نکرده‌ و همان توپولوژی را در نظر گرفته‌ است.
تاریخچه

این مبحث نخستین‌بار توسط آنری پوانکاره (۱۹۱۲-۱۸۵۴) و در مقاله‌ای با نام «آنالیز مکان» (Analysis Situs) به‌صورت مجموعه‌ای از روش‌ها و مسایل، دسته‌بندی شد. این مبحث در ادامه پیشرفت‌هایی بنیادین داشت و در شکل دادن به ریاضیات قرن بیستم و امروز، نقشی اساسی بازی کرد.

هنگام صحبت از توپولوژی، معمولاً اشیایی مانند نوار موبیوس، بطری کلاین، گره‌ها و حلقه‌ها نخستین چیزهایی هستند که به ذهن می‌آیند. برخی نیز با عبارتی طنزآمیز توپولوژیست‌ها را توصیف می‌کنند؛ آنها می‌گویند توپولوژیست کسی است که فرقی میان فنجان قهوه و پیراشکی نمی‌بیند!
تغییرشکل پیوسته (هموتوپی) یک فنجان قهوه به یک چنبره و برعکس.

در دهه ۱۶۷۰ میلادی، گتفرید ویلهلم لایب‌نیتس (۱۷۱۶-۱۶۴۶)، در نامه‌ای به کریستین هویگنس (۱۶۲۹-۱۶۹۵)، به تشریح مفهومی پرداخت که بعدها به مهم‌ترین هدف در مطالعه توپولوژی تبدیل شد:

    من معتقدم ما به یک آنالیز دیگری هم نیاز داریم که کاملاً هندسی یا خطی باشد، به‌گونه‌ای که با مکان مستقیماً همان رفتاری را داشته باشد که جبر با مفهوم بزرگی دارد.

لایب‌نیتس رویای حساب دیفرانسیل و انتگرال اشکالی را در سر می‌پروراند که در آن فرد می‌تواند به‌سادگی اعداد و اشکال را با هم ترکیب کند، مانند چندجمله‌ای‌ها، روی آنها عمل انجام دهد و به نتایج جدید و متقن هندسی دست پیدا کند. این دانش مکان، همان است که پوانکاره آن را «آنالیز مکان» نامید. کسی نمی‌داند که لایب‌نیتس دقیقاً چه در سر داشت؛ اما پیداست که لئونارد اویلر (۱۷۰۱-۱۷۸۳) نخستین مشارکت‌ها را در این شاخهٔ جوان--که وی آن را هندسه مکان می‌نامید--از خود ارائه داد. راه‌حل او برای مسئلهٔ پل‌های کنیگسبرگ و فرمول مشهور اویلر، یعنی V-E+F=2 (که در آن V تعداد رأس، E تعداد یال و F تعداد وجوه چندوجهی است)، نتایجی بودند که به موقعیت‌های نسبی اشکال هندسی--و نه بزرگی آنها--بستگی داشتند.

در سده نوزدهم، کارل فردریک گاوس (۱۷۷۷-۱۸۵۵)، هنگامی که گره‌ها و حلقه‌ها را به‌عنوان تعمیمی از مدارهای سیارات مطالعه می‌کرد، به هندسه مکان علاقه‌مند شد. او با نام‌گذاری اشکال گره‌ها و حلقه‌ها، یک دستگاه مقدماتی به‌وجود آورد که با روش ترکیبیاتی، گره‌های معینی را از یکدیگر مجزا می‌ساخت. برنهارد ریمان (۱۸۲۶-۱۸۶۶) نیز از روش‌های دانش نوپای آنالیز مکان، به‌عنوان ابزاری بنیادین برای مطالعه توابع مختلط بهره جست.
یک نوار موبیوس تنها یک سطح دارد و یک لبه.

در طی سده نوزدهم، آنالیز به‌عنوان دانشی ژرف و در عین حال ظریف پیشرفت پیدا می‌کرد. با آغاز از کارهای ژرژ کانتور (۱۸۴۵-۱۹۱۸)، ایده‌هایی از جمله پیوستگی توابع و هم‌گرایی دنباله‌ها، به‌گونه‌ای فزاینده و در موقعیت‌های کلی بررسی می‌شدند تا این که در سده بیستم، و در سال ۱۹۱۴، فلیکس هاوسدورف (۱۸۶۹-۱۹۴۲) ایده کلی فضای توپولوژیکی را مطرح کرد.

مفهوم بنیادین در توپولوژی، اندیشه پیوستگی است و این مفهوم برای نگاشت‌های میان دو مجموعه که مجهز به مفهومی از «نزدیک بودن» باشند تعریف می‌شود (یعنی همان فضاهای توپولوژیکی) و البته این نزدیک بودن، تحت نگاشت‌های پیوسته حفظ می‌شود. بدین ترتیب، می‌توان گفت توپولوژی نوعی هندسه‌ است که در آن خواص مهم یک شکل، آنهایی درنظر گرفته می‌شوند که تحت حرکت‌های پیوسته (همئومورفیسم‌ها) حفظ گردند. از این دیدگاه، توپولوژی را می‌توان به‌عنوان هندسه‌ی صفحاتی لاستیک‌گونه تعریف کرد.
مفاهیم

توپولوژی یکی از زمینه‌های مهم ریاضیات است که از پیشرفت مفاهیمی از هندسه و نظریه مجموعه‌ها مانند فضا، بعد، اشکال، تبدیلات و... بوجود آمده‌ است. از جنبه تاریخی توپولوژی در سال ۱۸۴۷ از سوی لیستنگ، یکی از شاگردان گاوس، معرفی شد. نام دیگری که در آغاز بسط توپولوژی به این موضوع اطلاق می‌شد، آنالیز موقعیت (Analysis Situs) بود.

توپولوژی دارای زیرشاخه‌های زیادی است. بنیادی‌ترین و قدیمی‌ترین زیرشاخه، توپولوژی نقطه-مجموعه‌ است که بنیادهای توپولوژی بر آن بنا شده‌ است و به مطالعه در زمینه‌های فشردگی، پیوستگی و هم‌بندی می‌پردازد. توپولوژی جبری نیز یکی دیگر از زیرشاخه‌های توپولوژی است که سعی در محاسبه درجه هم‌بندی دارد. همچنین زیرشاخه‌هایی مانند توپولوژی هندسی، توپولوژی گراف و توپولوژی ابعاد پایین نیز وجود دارند.

توپولوژی مطالعه ریاضیاتی روی خصوصیاتی است که در طی تغییر شکلها، ضربه خوردن‌ها و کشیده شدن اشیاء، به طور ثابت حفظ می‌شوند (البته عمل پاره کردن مجاز نمی‌باشد). یک دایره به لحاظ توپولوژیکی هم‌ارز با یک بیضی می‌باشد که می‌تواند در داخل آن با کشیده شدن تغییر شکل یابد و یک کره با یک سطح بیضی‌وار هم‌ارز است (یعنی یک منحنی بسته تک بعدی و بدون هیچ محل تقاطع که می‌تواند در فضای دو بعدی جای گیرد)، مجموعه تمام وضعیتهای ممکن برای عقربه‌های ساعت‌شمار و دقیقه‌شمار با هم، به لحاظ توپولوژیکی با چنبره هم‌ارز است (یعنی یک سطح دوبعدی که می‌تواند در داخل فضای سه بعدی جای گیرد) و مجموعه تمام وضعیت‌های ممکن برای عقربه‌های ساعت‌شمار، دقیقه‌شمار و ثانیه‌شمار با هم، به لحاظ توپولوژی با یک شیء سه بعدی هم‌ارز می‌باشد.

توپولوژی با منحنی‌ها، سطوح و سایر اشیاء در صفحه و فضای سه بعدی مطرح گردید. یکی از ایده‌های اصلی در توپولوژی این است که اشیاء فضایی مثل دایره‌ها و کره‌ها در نوع خود می‌توانند به عنوان اشیاء محسوب شوند و علم اشیاء ارتباطی با چگونگی نمایش یافتن یا جای گرفتن آنها در فضا ندارد.

توپولوژی با مطالعه مواردی چون اشیاء فضایی از قبیل منحنی‌ها، سطوح، فضایی که ما آن را جهان می‌نامیم، پیوستار فضا زمان با نسبیت عمومی، فراکتال‌ها، گره‌ها، چند شکلی‌ها (اشیایی هستند که برخی خصوصیات فضایی اصلی آن‌ها مشابه با جهان ما می‌باشد)، فضاهای مرحله‌ای که در فیزیک با آن‌ها مواجه می‌شویم (مثل فضای وضعیت‌های قرار گرفتن عقربه‌ها در ساعت)، گروه‌های متقارن همچون مجموعه شیوه‌های چرخاندن یک رأس و غیره در ارتباط است.

توپولوژی برای جدا سازی اتصال ذاتی اشیاء و در عین حال کنار گذاشتن ساختار جزء به جزء آنها قابل استفاده می‌باشد. اشیاء توپولوژیکی اغلب به صورت رسمی به عنوان فضاهای توپولوژیکی تعریف می‌شوند. اگر دو شیء دارای خصوصیات توپولوژیکی مشابه باشند، گفته می‌شود که آن‌ها هم ریخت هستند. البته اگر دقیق تر بگوییم، خصوصیاتی که با کشیدن یا کج کردن یک شیء تخریب نمی‌شوند، در واقع خصوصیاتی هستند که به واسطه همسانگری حفظ می‌شوند نه به واسطهٔ هم ریختی؛ همسانگری با کج کردن اشیاء دیگر در ارتباط است در حالیکه همریختی، خصیصه ذاتی است.

حدود سال ۱۹۰۰، پوانکاره معیاری از توپولوژی را تحت عنوان هوموتوپی (Homotopy) طراحی کرد. به طور خاص دو شیء ریاضیاتی زمانی هوموتوپیک خوانده می‌شوند که یکی از آنها بتواند به طور پیوسته به شکلی مشابه شکل دیگری تغییر یابد.

توپولوژِی با مطالعاتی که در زمینه پرسش‌هایی که در هندسه مطرح بود، آغاز شد. مسئله ۷ پل کانیگزبرگ اویلر جز اولین نتایج توپولوژیک بود. نمونه رابطه توپولوژیکی، فرمول اویلر است در مورد چندوجهی‌ها که تعداد رئوس (v) منهای تعداد خطوط یا لبه‌ها (e) باضافه تعداد سطوح (f) همیشه برابر است با ۲ است. (v – e + f = ۲)

فرمول اویلر در سال ۱۷۵۲ منتشر شد ولی ۶۳ سال بعد در سال ۱۸۱۳ ریاضیدان سویسی بنام لیولیر اثبات کرد که فرمول اویلر برای چندوجهی‌های سوراخدار صحیح نیست و فرمول کامل چنین است: v – e + f = ۲g، که g تعداد سوراخ‌ها است.

۵۲ سال بعد از لیولیر، در سال ۱۸۶۵، موبیوس نوار خود را معرفی کرد که فقط یک رویه دارد و از نواری بدست می‌آید که قبل از چسباندن دو سرش به یکدیگر، یک سر را ۱۸۰درجه بچرخانیم و بعد بچسبانیم. ۱۷ سال بعد در سال ۱۸۸۲ ریاضیدان آلمانی فلیکس کلاین بطری معروف به «بطری کلاین» را معرفی کرد که درون و برون آن از هم متمایز نیستند و بعبارتی دیگر حجم آن صفر است. توپولوژی مدرن وابسته به ایدهٔ تئوری مجموعه‌های کانتر می‌باشد که در اواخر قرن ۱۹ مطرح شد.

مجموعه X به همراه گردایه T از زیرمجموعه‌های X را یک فضای توپولوژیکی گویند هر گاه: مجموعه‌های تهی و X، عضو T باشند. اجتماع هر گردایه از مجموعه‌های عضو T در T قرار دارد. اشتراک هر دو مجموعه عضو T در T قرار دارد. مجموعه T را یک توپولوژی روی X می‌گوییم. همچنین اعضای T مجموعه‌های باز در X و متتم آنها مجموعه‌های بسته در X هستند. اعضای X را نقاط می‌نامیم. وی یک مجموعه مانند X توپولوژیهای متعددی می‌توان تعریف کرد (حداقل دو توپولوژی گسسته و ناگسسته را می‌توانیم روی X تعریف کنیم). حال فرض کنید T۱ و T۲ دو توپولوژی روی X هستند. اگر هر عضو T۱، عضوی از T۲ نیز باشد آنگاه می‌گوییم T۲ ظریفتر از T۱ است. در این صورت اثباتی که برای وجود یک مجموعه باز معین ارائه می‌دهیم در مورد توپولوژی ظریفتر هم برقرار است. توابع پیوسته: فرض می‌کنیم (X,T) و (Y,U) دو فضای توپولوژیک دلخواه باشند: تابع در نقطه x واقع در X را پیوسته گوییم، هرگاه به ازای هر مجموعه باز شامل f(x) مانند BY، مجموعه بازی مانند BX شامل x وجود داشته باشد به طوری که f[BX] زیر مجموعه BY باشد. مثال: R یک فضای توپولوژیکی است و مجموعه‌های باز در آن بازه‌های باز هستند. به طور کلی فضای اقلیدسی Rn یک فضای توپولوژیکی است و مجموعه‌های باز در آن گوی‌های باز هستند. چند قضیه توپولوژی: هر بازه بسته با طول متناهی در Rn فشرده‌است. و معکوس تصویر پیوسته یک فضای فشرده، فشرده‌است. قضیه تیخونوف: حاصلضرب فضاهای فشرده، یک فضای فشرده‌است. زیر مجموعه فشرده یک فضای هاسدورف، بسته‌است. هر فضای متری هاسدورف است. به همین ترتیب می‌گوییم تابع در مجموعهٔ A واقع در X پیوسته‌است رد صورتی که در تمام نقاط A پیوسته باشد. قضیه: تابع در X پیوسته‌است اگر و تنها اگر به ازای هر زیر مجموعه باز در Y مانند BY، مجموعه‌یf[BY] − ۱ زیر مجموعه باز X باشد. به طور خلاصه: فرض کنید X و Y دو فضای توپولوژیکی هستند. یک تابع بین X و Y را پیوسته می‌گوییم اگر تصویر معکوس هر مجموعه باز در X یک مجموعه باز در Y باشد. در واقع نشان می‌دهیم که هیچ شکستگی یا انفصال در تابع وجود ندارد.
تعریف ریاضی

یک فضای توپولوژیک، زوج مرتبی مانند (X,T) است که در آن X یک مجموعه، و {T} نیز گردایه‌ای از زیرمجموعه‌های X است، به‌گونه‌ای که اصول موضوع زیر ارضا شوند:

    ۱. اجتماع هر گردایه از مجموعه‌های عضو \mathcal{T} در \mathcal{T} قرار داشته باشد؛
    ۲. اشتراک هر تعداد متناهی مجموعه عضو \mathcal{T} در \mathcal{T} قرار داشته باشد؛ یعنی اشتراک هر گردایه متناهی از مجموعه‌های عضو \mathcal{T} در \mathcal{T} قرار داشته باشد؛
    ۳. مجموعه‌های تهی و X، عضو \mathcal{T} باشند.

گردایهٔ \mathcal{T}، توپولوژی تعریف شده روی X نام دارد. اگر توپولوژی تعریف شده روی X مشخص باشد، فضای توپولوژیکی (X, \mathcal{T})، به‌طور ساده‌شدهٔ X نوشته و به آن فضای X گفته می‌شود. هم‌چنین، اعضای \mathcal{T}، مجموعه‌های باز در X و متمم آنها، مجموعه‌های بسته در X نام دارند. اگر X یک فضای توپولوژیکی باشد، به اعضای آن نقطه گفته می‌شود. اگر x نقطه‌ای از یک مجموعهٔ باز مانند U باشد، به U، «یک همسایگی از x» نیز گفته می‌شود.
مثال

روی \mathbb{R} توپولوژی‌های گوناگونی می‌توان تعریف کرد؛ اگر مجموعه‌های باز را همان بازه‌های باز درنظر بگیریم، در این‌صورت به توپولوژی به‌دست آمده، توپولوژی استاندارد روی \mathbb{R} گفته می‌شود. با تعمیم این ایده، مجموعه‌های باز در توپولوژی معمولی روی فضای اقلیدسی \mathbb{R}^{n}، گوی‌های باز هستند.


مقایسهٔ توپولوژی‌های تعریف شده روی یک مجموعه

روی یک مجموعه مانند X توپولوژی‌های متعددی می‌توان تعریف کرد--دست‌کم دو توپولوژی گسسته و ناگسسته. در توپولوژی گسسته، هر زیرمجموعه از X، یک مجموعه باز درنظر گرفته می‌شود و در توپولوژی ناگسسته یا بی‌مایه، تنها مجموعه‌های باز، مجموعهٔ X و تهی هستند.

برای هر توپولوژی \mathcal{T} تعریف شده روی X داریم \mathcal{T}_{indiscrete} \subset \mathcal{T} \subset \mathcal{T}_{discrete}. پس درشت‌ترین توپولوژی که روی یک مجموعه می‌توان تعریف کرد، توپولوژی ناگسسته یا بی‌مایه، و ظریف‌ترین توپولوژی قابل تعریف روی یک مجموعه، توپولوژی گسسته‌است.

حال فرض کنید \mathcal{T}_{1} و \mathcal{T}_{2} دو توپولوژی روی X باشند. اگر هر عضو \mathcal{T}_{1}، عضوی از \mathcal{T}_{2} نیز باشد، آن‌گاه گفته می‌شود \mathcal{T}_{2} ظریف‌تر از \mathcal{T}_{1} است. در این صورت اثباتی که برای وجود یک مجموعهٔ باز معین ارائه داده می‌شود، در مورد توپولوژی ظریف‌تر هم برقرار است.
چند قضیه از توپولوژی

    هر بازه بسته با طول متناهی در Rn فشرده است و برعکس.
    تصویر پیوسته یک فضای فشرده، فضایی فشرده‌است.
    قضیه تیخونوف: حاصلضرب فضاهای فشرده، یک فضای فشرده‌است.
    هر زیرمجموعه فشرده از یک فضای هاسدورف، بسته است.
    هر فضای متری هاسدورف است.


کاربردهای توپولوژی
زیست‌شناسی

تئوری گره‌ها، شاخه‌ای از توپولوژی است که در زیست‌شناسی برای مطالعه‌ی اثرات آنزیم‌ها روی دی.ان.ای به کار می‌رود. آنزیم‌هایی که دی.ان.ای ها را برش ‌می‌دهند،چرخش می‌دهند و دوباره به هم متصل می‌کنند، گره‌هایی با اثرات قابل مشاهده مانند الکتروفورز آهسته تر ایجاد می‌کنند. همچنین توپولوژی در زیست‌شناسی تکاملی برای بیان‌کردن رابطه‌ی بین فنوتیپ و ژنوتیپ به کار می‌رود. اشکال فونوتیپی که کاملا متفاوت به نظر می‌رسند، می‌توانند تنها به وسیله‌ی چند جهش وابسته به اینکه چگونه ژنتیک نقشه را عوض می‌کند، جدا شوند.
علوم کامپیوتر

تحلیل داده توپولوٰیکی از تکنیک‌های توپولوژی جبری استفاده کرده تا ساختار انبوه یک مجموعه را محاسبه کند.
روش اصلی‌ای که تحلیل داده توپولوژیکی از آن استفاده می‌کند، عبارت است از:

    ۱.جایگزینی مجموعه‌ای از نقطه‌های داده‌ای با خانواده‌ای از کامپلکس‌های ساده شده‌، که به وسیله‌ی مجاورت پارامترها فهرست‌بندی شده‌اند.
    ۲.تحلیل کامپلکس‌های توپولوژیکی به وسیله‌ی توپولوژی جبری، و به طور خاص به وسیله‌ی نظریه‌ی همسانی مداوم.
    ۳.رمزنگاری همسانی مداوم مجموعه‌ای از داده‌ها به شکل یک نسخه‌ی پارامتری شده از اعداد بتی که بارکد نام دارند.

فیزیک

در فیزیک، توپولوژی در چندین شاخه مانند نظریه میدان‌های کوانتومی و کیهان‌شناسی کاربرد دارد.
یک نظریه میدان‌های کوانتومی توپولوژیکی (یا نظریه میدان‌های توپولوژیکی)، یک نظریه میدان‌های کوانتومی است که ویژگی‌های توپولوژیکی را محاسبه می‌کند. گرچه این شاخه توسط فیزیکدان‌ها به وجود آمده است اما از علاقه‌مندی‌های ریاضی‌دانان نیز هست. نظریه گره‌ها و نظریه چهار برابری در توپولوژی جبری و نظریه فضاهای مدول در هندسه جبری.
سیمون دونالسون، وان جونز، ادوارد ویتن . ماکسیم کانسویچ برای کار روی نظریه میدان‌های توپولوژیکی، مدال فیلدز برده‌اند.
در کیهان‌شناسی، توپولوژی برای توصیف شکل کلی کیهان به کار می‌رود. این شاخه توپولوژی فضازمان نام دارد.
روبوتیک

حالت‌های مختلف ممکن برای یک روبوت می‌تواند به وسیله‌ی خمینه‌هایی که فضای پیکربندی نام دارد، توصیف شود.
در مبحث برنامه‌ریزی حرکت، یک مسیر بین دو نقطه را در فضای پیکربندی پیدا می کند. این مسیرها حرکت مفاصل یک ربات و دیگر قسمت‌های مطلوب را ارائه می‌دهند.

منطق ریاضی

منطق ریاضی (Mathematical logic) شاخه‌ای از ریاضیات است که به ارتباط ریاضی و منطق می پردازد.

نام‌های دیگر آن عبارتند از منطق جدید، منطق صوری، منطق نمادی، منطق نمادین، منطق علامتی، منطق کلاسیک.[۱]

ریشه‌های پیدایش این منطق به کارهای جوزپه پئانو ریاضیدان ایتالیایی و قبل از او لایب نیتز و لامبرت می‌رسد.

در اواخر قرن نوزدهم میلادی، با کارهای آگوستوس دی مورگان، جرج بول، گوتلوب فرگه، برتراند راسل، داوید هیلبرت و دیگران این علم به پیشرفت قابل ملاحظه‌ای دست یافت . منطق امروز در ریاضیات، شکل کامل تری از منطق در فلسفه است که اساس خود را با نظریهٔ مجموعه‌ها به اشتراک دارد.

محتویات

    ۱ انگیزه و اهداف
    ۲ کاربردهای ریاضی
    ۳ پانویس
    ۴ منابع
    ۵ جستارهای وابسته

انگیزه و اهداف

تحقیقات علمی درباره منطق ریاضی، در پی بروز پرسش‌های نوین در بنیان‌های ریاضیات پدید آمد. به عنوان نمونه، فرگه می‌کوشید تا ریاضیات را بر پایهٔ اصول برآمده از منطق و نظریهٔ مجموعه‌ها قرار دهد. راسل، در حذف تناقضات ناشی از دستگاه منطق فرگه تلاش کرد و هدف هیلبرت نشان‌دادن این امر بود که "روش‌های مورد قبول عام در ریاضیات هرگاه که به‌طور همه‌جانبه، کلی نگرانه و به‌عنوان یک کل واحد، در نظر گرفته شود، به هیچ نوع تناقضی منجر نخواهد شد ." (این موضوع به برنامه هیلبرت شهرت یافته است .)
کاربردهای ریاضی

روش‌ها و نتایج بدست‌آمده در منطق ریاضی، نه تنها در حلّ مسائل بنیانی موارد استفاده دارد، بلکه، در بسیاری از شاخه‌های دیگر ریاضیّات نظیر جبر،علوم کامپیوتر، هندسه و توپولوژی هم مورد بهره‌برداری قرار می‌گیرد.

منطق مسند

منطق محمولات (Predicate logic) یا منطق مرتبهٔ اوّل (First-order logic - FOL) زبانی‌ست فراگیر در علوم نمادی (symbolic)، که توسّط دانشمندان مختلف در علوم ریاضی، فلسفه، زبان‌شناسی، علوم رایانه، و به طور اخصّ، در هوش مصنوعی، و نمایش دانش مورد استفاده قرار می‌گیرد. در این منطق محمولات (گزاره‌نماها) مورد استفاده قرار می‌گیرند.

محتویات

    ۱ منطق سنّتی
    ۲ منطق ریاضی
    ۳ منابع
    ۴ جستارهای وابسته

منطق سنّتی

مقالهٔ اصلی: منطق سنتی

در منطق سنّتی یا منطق ارسطویی جمله به سه بخش تقسیم می‌شود: موضوع، محمول و رابطه.

در جملهٔ «ابوعلی سینا منطق‌دان است»، «ابوعلی سینا» موضوع، «منطق‌دان» محمول، و «است» رابطه است. در این منطق «محمول» صفتی ست که بر «موضوع» (یا موصوف) عارض می‌شود. مثلاً جملهٔ «حسن و حسین برادرند» را باید به صورت «حسین برادر حسن است» یا «حسن برادر حسین است» بررسی کرد که «برادر حسین بودن» و «برادر حسن بودن» محمول است.
منطق ریاضی

مقالهٔ اصلی:منطق ریاضی

از دید منطق ریاضی رابطه می‌تواند چند موضعی باشد و محدود به توصیف یک موضعی نیست، بدین گونه که در جملهٔ قبل «برادری» رابطه‌ای دو موضعی است، حتی رابطه می‌تواند چند موضعی هم باشد. به این ترتیب به منطق سنّتی، منطق محمولات یک موضعی هم می‌گویند.

نظریه مجموعه‌ها

نظریه مجموعه ها شاخه‌ای از منطق ریاضی است که به مطالعه مجموعه‌ها می‌پردازد. مجموعه‌ها، گردایه‌ای از اشیا هستند. هر چند هر نوعی از اشیا می‌توانند یک مجموعه را تشکیل دهند، اما نظریه مجموعه‌ها اغلب در مورد اشیا مرتبط با ریاضی به کار می‌رود. زبان نظریه مجموعه‌ها را می‌توان در تعریف تقریبا همه اشیا ریاضی به کار برد. مطالعه جدید بر روی نظریه مجموعه‌ها توسط جورج کانتور و ریچارد ددکیند در دهه ۷۰ قرن ۱۸ میلادی شروع شد. بعد از کشف تناقض‌های نظریه طبیعی مجموعه‌ها، دستگاه‌های بنداشتی بی شماری در اوایل قرن ۲۰ مطرح شدند که معروف ترین آن‌ها اصل موضوعه زرملو-فرانکل و اصل موضوعه انتخاب هستند. نظریه مجموعه‌ها عموما به عنوان سیستم بنیادین ریاضیات در شکل نظریه مجموعه‌های زرمو-فرانکل همراه با اصل موضوعه انتخاب به کار می‌رود. ورای نقش بنیادینش، نظریه مجموعه‌ها در جایگاه خود یکی از شاخه‌های ریاضی با جامعه پژوهش فعالی محسوب می‌شود. پژوهش‌های معاصر در نظریه مجموعه‌ها موضوع‌های متنوعی را شامل می‌شود که از ساختار خط اعداد حقیقی تا مطالعه سازگاری اعداد بزرگ متغیر است.

محتویات

    ۱ تاریخچه
    ۲ مفاهیم و نمادهای اصلی
    ۳ مقداری هستی شناسی
    ۴ نظریه بنداشتی مجموعه ها
    ۵ کاربردها
    ۶ نواحی مطالعه

تاریخچه
جورج کانتور

مباحث ریاضی به طور معمول از ارتباط متقابل میان پژوهش گران زیادی به دست می‌آیند. نظریه مجموعه‌ها، هرچند، با یک تک مقاله "یک خاصیت مشخصه‌ای تمام اعداد جبری حقیقی" در سال ۱۸۷۴ توسط جورج کانتور پایه ریزی شد. از قرن ۵ قبل از میلاد، از زمان ریاضیدان یونانی زنون الئایی در غرب و ریاضیدانان هندی در شرق، ریاضیدانان با مفهوم بی‌نهایت در کشمکش بوده‌اند. بخصوص یکی از کارهای قابل توجه کار برنارد بولتزانو در نیمه اول قرن ۱۹ است. درک مدرن از بی‌نهایت با کار کانتور روی نظریه اعداد در ۱۸۷۱-۱۸۶۷ شروع شد. یک ملاقات بین کانتور و ریچارد ددکیند در سال ۱۸۷۲ تفکر کانتور را تحت تاثیر قرار داد و در مقاله ۱۸۷۴ کانتور به اوج خود رسید. کار کانتور به دو قطبی شدن ریاضیدانان آن زمان انجامید. در حالی کارل وایرشتراس و ددکیند از کانتور حمایت می‌کردند، لئوپولد کرونکر، که امروزه به عنوان بنیان‌گذار ریاضیات برساخت گرایی از او یاد می‌شود، حمایت نمی‌کرد. نظریه اعداد کانتور سرانجام به علت کاربرد مفاهیم کانتوری مانند تناظرات یک به یک بین مجموعه‌ها، اثباتش مبنی بر اینکه تعداد اعداد حقیقی بیشتر از اعداد صحیح است، و "بی‌نهایت بودن بی‌نهایت ها" ("بهشت کانتور") مبتنی بر عملکرد مجموعه توانی متداول گشت. کاربرد نظریه مجموعه‌ها منجر به ارائه مقاله "Mengenlehre" در سال ۱۸۹۸ از جانب آرتور شونفلایس به دائرةالمعارف کلین شد. موج جالب توجه بعدی در نظریه مجموعه‌ها حدود ۱۹۰۰ پدیدار شد، وقتی معلوم شد نظریه کانتوری مجموعه‌ها منجر به ایجاد تناقضات بسیاری شد که آنتنومیها یا پارادوکس‌ها خوانده می‌شوند. برتراند راسل و ارنست زلمو به طور جدا ساده ترین و معروف ترین پارادوکس را که امروزه پاراردوکس راسل خوانده می‌شود پیدا کردند: "مجموعه تمام مجموعه‌هایی را که عضو خودشان نیستند" را در نظر بگیرید، که منجر به این تناقض می‌شود که باید عضو خودش باشد و عضو خودش نباشد. در ۱۸۹۹ کانتور خودش را در معرض این سوال قرار داد: "کاردینال مجموعه تمام مجموعه‌ها چقدر است؟"، و به تناقض مرتبطی رسید. راسل از پارادوکس خود در سال ۱۹۰۳ به عنوان زمینه خلاصه ریاضیات قاره‌ای در "اصول ریاضیات"ش استفاده کرد. پیشرفت نظریه مجموعه‌ها طوری بود که مناظره برروی پارادوکس‌ها باعث رها کردن آن نشد. کار زرملو در ۱۹۰۸ و آبراهام فرانکل در ۱۹۲۲ مجموعه اصول موضوعه ZFC را نتیجه داد، که به مورد استفاده ترین اصول موضوعه برای نطریه مجموعه‌ها بدل شد. کار آنالیست‌هایی مثل هنری لبزگ کاربرد بزرگ ریاضی نظریه مجموعه‌ها را که از آن زمان به بعد در تار و پود ریاضیات مدرن بافته شده، نشان داد. نظریه مجموعه‌ها به طور معمول به عنوان یک سیستم پایه استفاده می‌شود، هرچند در برخی از نواحی نظریه رده‌ها به عنوان سیستم پایه ترجیح داده می‌شود.
مفاهیم و نمادهای اصلی
نوشتارهای اصلی: مجموعه‌ها (ریاضیات)‎ و جبر مجموعه ها

نظریه مجموعه‌ها با یک رابطهٔ دودویی اصلی بین یک شی o و یک مجموعه A آغاز می‌شود. اگر o یک عضو (یا '"عنصر"') A باشد، بنویسید o ∈ A. چون مجموعه‌ها خود اشیا هستند، رابطه عضویت نیز می‌تواند مرتبط باشد. یک رابطه دودویی برگرفته بین مجموعه‌ها رابطه زیرمجموعه‌ای است، که شمول مجموعه نیز نامیده می‌شود. اگر همه اعضای A اعضای B نیز باشند، A زیر مجموعه B است، که A ⊆ B نمادگذاری می‌شود. برای مثال، {۱٬۲} یک زیر مجموعه {۱٬۲,۳} است. ، اما {۱٬۴} نیست. با این تعریف، واضح است که هر مجموعه زیر مجموعه خودش است؛ در صورتی که نخواهیم این مورد را به حساب بیاوریم، عبارت '''زیرمجموعه سره''' تعریف شده است. A زیر مجموعه سره B است اگر و فقط اگر A زیر مجموعه B باشد ولی B زیر مجموعه A نباشد. همانند حسابان که عملیات دودویی را روی اعداد پیاده‌سازی می‌کند، نظریه مجموعه‌ها نیز عملیات دودویی را روی مجموعه‌ها اعمال می‌کند.

    اجتماع مجموعه‌های A و B، مجموعه A ∪ B، مجموعه تمام اشیایی است که یا عضو A هستند، یا عضو B و یا عضو هردو. اجتماع {۱, ۲, ۳} و {۲, ۳, ۴} مجموعه {۱, ۲, ۳, ۴} است.
    اشتراک مجموعه‌های A و B، مجموعه A ∩ B مجموعه تمام اشیایی است که هم عضو A و هم عضو B هستند. اشتراک {۱, ۲, ۳} و {۲, ۳, ۴} مجموعه {۲, ۳} است.
    تفاضل مجموعه‌های U و A، مجموعه U \ A، مجموعه تمام اعضایی است که عضو U هستند ولی عضو A نیستند. تفاضل {۱٬۲,۳} \ {۲٬۳,۴} مجموعه {۱} است. و برعکس تفاضل {۲٬۳,۴} \ {۱٬۲,۳} مجموعه {۴} است. وقتی که A زیر مجموعه U است، تفاضل U \ A متمم A در U نیز خوانده می‌شود. در این مورد، اگر انتخاب U از متن معلوم باشد، نماد Ac بعضی اوقات به جای U \ A استفاده می‌شود، مخصوصا وقتی U مانند مطالعه نمودار ون مجموعه جهانی باشد.
    تفاضل متقارن مجموعه‌های A و B، مجموعه A △ B یا A ⊖ B، مجموعه تمام اشیایی است که عضو دقیقا یکی از مجموعه‌های A و B باشد.(اعضایی که در یکی از مجموعه‌ها هستند، نه در هر دو). برای مثال، برای مجموعه‌های {۱٬۲,۳} و {۲٬۳,۴} ، تفاضل متقارن مجموعه {۱٬۴} است. تفاضل اجتماع و اشتراک (A ∪ B) \ (A ∩ B) یا (A \ B) ∪ (B \ A) نیز همان تفاضل متقارن است.
    ضرب دکارتی A و B، مجموعه A × B مجموعه‌ای است که اعضایش تمام زوج مرتب‌های ممکن (a,b) است که a عضوی از A و b عضوی از B است. ضرب دکارتی {۱, ۲} و {red, white} می‌شود {(red,1), (red, 2), (white, 1), (white, 2)}.
    مجموعه توانی یک مجموعه A مجموعه تمام زیر مجموعه‌های A است. برای مثال مجموعه توانی {۱, ۲} مجموعه { {}, {۱}, {۲}, {۱٬۲} } است.

برخی از مجموعه‌هایی که در کانون اهمیت قرار دارند، مجموعه تهی، مجموعه اعداد طبیعی و مجموعه اعداد حقیقی هستند.
مقداری هستی شناسی
نوشتار اصلی: جهان ون نویمان‎
یک بخش اولیه از سلسله مراتب ون نویمان.

یک مجموعه هنگامی خالص است که همه اعضایش مجموعه باشند، و همهٔ اعضای اعضایش مجموعه باشند و به همین ترتیب... برای مثال، مجموعه {{}} که تنها مجموعه تهی را در بردارد یک مجموعه خالص ناتهی است. در نظریه مدرن مجموعه‌ها، معمول است که توجه را به جهان ون نویمان مجموعه‌های خالص معطوف کرد، و تعداد زیادی از سیستم‌های نظریه بنداشتی مجموعه‌ها طراحی شده‌اند که تنها مجموعه‌های خالص را (axiomatize) کنند. این محدودیت از نظر فنی امتیازهای زیادی به همراه دارد و به کلیت خیلی کم لطمه می‌زند، زیرا به طرز ویژه‌ای همه مفاهیم ریاضی می‌توانند با استفاده از مجموعه‌های خالص باز سازی شوند. مجموعه‌ها در جهان ون نویمان با توجه به اینکه چقدر عمیق اعضایشان، اعضای اعضایشان و... در هم قرار گرفته‌اند در یک سلسله مراتب انباشته مرتب می‌شوند. هر مجموعه از این سلسله مراتب با یک عدد ترتیبی α مشخص می‌گردد (با استفاده از استقرای ترامتناهی)، که به عنوان مرتبه آن شناخته می‌شود. مرتبه یک مجموعه خالص X به عنوان کوچکترین کران بالای همه جانشین‌های مرتبه‌های اعضای X تعریف می‌شود. برای مثال، مجموعه تهی مرتبه ۰ خوانده می‌شود، درحالی که مجموعه {{}} که تنها شامل مجموعه تهی است مرتبه ۱ خوانده می‌شود. برای هر عدد ترتیبی α، مجموعه Vα به عنوان مجموعه‌ای تعریف می‌شود که شامل همه مجموعه‌های خالص با مرتبه کمتر از α است. کل جهان ون نویمان با V نشان داده می‌شود.
نظریه بنداشتی مجموعه ها

نظریه مقدماتی مجموعه‌ها می‌تواند به صورت غیر رسمی و طبیعی مطالعه شود، که بتوان آن را در مدارس ابتدایی با استفاده از نمودار ون تدریس کرد. رویکرد طبیعی تلویحا فرض می‌کند که یک مجموعه می‌تواند از تشکیل کلاس کل اشیایی تولید شود که از یک شرط خاص تبعیت می‌کنند. این فرض تناقض‌هایی را به دنبال دارد، که ساده ترین و معروف ترین آنها پارادوکس راسل و پارادوکس بورالی-فورتی هستند. نظریه بنداشتی مجموعه‌ها در اصل درست شده بود که نظریه مجموعه‌ها را از چنین پارادوکس‌هایی برهاند. گسترده ترین سیستم مطالعه شده نظریه بنداشتی مجموعه‌ها اذعان می‌کند که همه مجموعه‌ها از یک سلسله مراتب انباشته می‌آیند. همچنین سیستم‌هایی در دو ذائقه می‌آیند، آنهایی که هستی شناسیشان از:

    تنها مجموعه‌ها تشکیل می‌شود. این رایج ترین نظریه بنداشتی مجموعه‌ها، نظریه زرملو-فرانکل (ZFC) را شامل می‌شود، که خود شامل اصل انتخاب است. قطعه‌های ZFC شامل:
        نظریه مجموعه‌های زرملو، که طرح اصل جایگزینی را با جداسازی جایگزین می‌کند.
        نظریه عمومی مجموعه‌ها، قطعه کوچکی از نظریه مجموهای زرملو که برای اصول پینو و مجموعه‌های متناهی کافی است.
        نظریه مجموعه‌های کریپکی-پلاتک، که اصول بی‌نهایت، مجموعه توانی و انتخاب را حذف می‌کند، و اصل طرح جداسازی و جایگذاری را تضعیف می‌کند.
    "مجموعه‌ها و کلاس‌های مناسب" تشکیل می‌شود. این‌ها شامل نظریه مجموعه‌ها ی ون نویمان-برنایز-گدل، که برای نظریه‌های در مورد مجموعه‌های تنها به اندازه ZFC قدرتمند است، و همچنین نظریه مجموعه‌های مورس-کلی و نظریه مجموعه‌های تارسکی-گروثندیک، که هر دو از ZFC قوی ترند.

سیستم‌های بالا می‌توانند طوری اصلاح شوند که urelements یا عناصر اساسی، اشیایی که می‌توانند اعضای مجموعه‌ها باشند ولی خودشان مجموعه نیستند و عضوی ندارند، را مجاز بشمرند.

سیستم‌های (NFU New Foundations (allowing urelements و (NF(lacking them بر پایه یک سلسله مراتب انباشته نیستند.NF و NFU شامل یک "مجموعه همه چیز" هستند، مرتبط با اینکه هر مجموعه یک متمم دارد. در این سیستم‌ها عناصر اساسی مهم هستند، چون NF، نه NFU، مجموعه‌هایی را تولید می‌کند که اصل موضوعه انتخاب آنها را در بر ندارد. سیستم‌های نظریه مجموعه‌های ساختمانی، مانند CFT، CZF و IFZ، اصول مجموعه ایشان را در منطق شهودی به جای منطق مرتبه اول جای دهند. در حالی که سیستم‌های دیگر منطق استاندارد مرتبه اول را قبول می‌کنند اما یک رابطه عضویت غیر استاندارد را پوشش می‌دهند. این شامل نظریه ناهنجار مجموعه‌ها و نظریه فازی مجموعه‌ها می‌شود، که در آنها ارزش فرمول هسته‌ای که رابطه عضویت را دربردارد، به سادگی درست یا غلط نیست. مدل ارزش بولی ZFC یک موضوع مرتبط هستند. یک غنی سازی ZFC که نظریه مجموعه درونی نامیده می‌شود، توسط ادوارد نلسون در ۱۹۹۷ ارائه شد.
کاربردها

بسیاری از مفاهیم ریاضی می‌توانند به صورت دقیق تنها با استفاده از مفاهیم نظری بیان شوند. برای مثال، ساختارهای متنوعی مانند گراف، خمینه‌ها، حلقه‌ها، و فضاهای برداری همه می‌توانند به صورتی تعریف شوند که خواص بنداشتی متنوعی را داشته باشند. رابطه هم‌ارزی و روابط ترتیب در ریاضیات همه جا هستند، و نظریه روابط ریاضی در نظریه مجموعه‌ها می‌توانند تعریف شوند. نظریه مجموعه‌ها همچنین یک سازمان نویدبخش برای بیشتر ریاضیات است. از زمان انتشار اولین جلد "مبادی ریاضیات" ادعا شده است که بیشتر و یا حتی همه نظریه‌های ریاضی می‌توانند با استفاده از یک مجموعهٔ اصول موضوعه خوب طراحی شده برای نظریه مجموعه‌ها که به وسیله تعریف‌های زیادی بهبود یافته، با استفاده از منطق مرتبه اول یا منطق مرتبه دوم، مشتق شوند. برای مثال، خواص اعداد طبیعی و اعداد حقیقی از دل نظریه مجموعه‌ها نتیجه می‌شود، هر سیستم عددی را با یک کلاس هم‌ارزی تحت یک رابطه هم‌ارزی مناسب با زمینه یک مجموعه نامتناهی شناخت. نظریه مجموعه‌ها به عنوان یک نظام برای آنالیز ریاضی، توپولوژی، جبر مجرد و ریاضیات گسسته، مشابها بدون بحث است. ریاضیدانان می‌پذیرند که نظریه‌های این ناحیه می‌توانند از تعریف‌های مرتبط و اصول موضوعه نظریه مجموعه‌ها ناشی شوند. تعداد کمی از مشتقات کامل نظریه‌های پیچیده ریاضی از نظریه مجموعه‌ها رسما تایید شده‌اند، هرچند مشتقات رسمی اینچنین معمولا از اثبات‌های زبان طبیعی که ریاضی‌دان‌ها معمولا ارائه می‌دهند بسیار طولانی ترند. یک پروژه تایید صحت Metamath، شامل مشتقات بیش از ۱۰۰۰۰ نظریه از اصول موضوعه ZFC تا استفاده از منطق مرتبه اول می‌شود.
نواحی مطالعه

نظریه مجموعه‌ها یک ناحیه وسیع تحقیق در ریاضیات، همراه با تعداد زیادی زیرموضوع مرتبط است.

تابع

تابع یکی از مفاهیم نظریه مجموعه‌ها و حساب دیفرانسیل و انتگرال است. بطور ساده می‌توان گفت که به قاعده‌های تناظری که به هر ورودی خود یک و فقط یک خروجی نسبت می‌دهند، تابع گفته می‌شود.
نمودار تابع
\begin{align}&\scriptstyle f \colon [-1,1.5] \to [-1,1.5] \\ &\textstyle x \mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}

محتویات

    ۱ پیشینه
    ۲ در دیگر علوم
    ۳ تعریف تابع
        ۳.۱ تعریف دقیق
        ۳.۲ علامت‌ها
    ۴ مشخص کردن تابع
        ۴.۱ دامنه و برد تابع
    ۵ تساوی دو تابع
    ۶ تحدید و توسیع
    ۷ تصویر و تصویر معکوس
    ۸ اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای
    ۹ نمودار تابع
    ۱۰ فضای توابع
    ۱۱ توابع دو (یا چند) متغیره
    ۱۲ انواع تابع
        ۱۲.۱ توابع چندجمله‌ای
        ۱۲.۲ توابع مثلثاتی
        ۱۲.۳ توابع متناوب
        ۱۲.۴ تابع همانی ( y=x )
        ۱۲.۵ تابع قدر مطلق
        ۱۲.۶ تابع ثابت (یعنی به ازای هر x ورودی y ثابت است.)
        ۱۲.۷ تابع پوشا
    ۱۳ منابع
    ۱۴ جستارهای وابسته
    ۱۵ پیوند به بیرون

پیشینه

تابع به عنوان مفهومی در ریاضیات، توسط گوتفرید لایبنیتس در سال ۱۶۹۴، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک منحنی مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص به وجود آمد. امروزه به توابعی که توسط لایبنیز تعریف شدند، توابع مشتق‌پذیر می‌گوییم.

واژه تابع بعدها توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x3.

در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس بیشتر خواهان به وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.

در ابتدا، ایده تابع ترجیحاً محدود شد. ژوزف فوریه مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنه خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیستند این گونه توابع توسط وایراشتراس معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق‌پذیر محدود نشوند.

تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله و لوباچوسکی هر یک به طور مستقل همزمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.

بر طبق این تعریف، تابع حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه منحصربه‌فرد وجود دارد.

تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوری رایانه مطالعه می‌شود.
در دیگر علوم

توابع در شاخه‌های مختلف علوم کاربرد فراوان دارند. برای مثال در فیزیک، هنگامی که می‌خواهیم رابطه بین چند متغیر را بیان کنیم، مخصوصاً هنگامی که مقدار یک متغیر کاملاً وابسته به متغیرهای دیگر است از توابع استفاده می‌شود.

توابع در علوم مختلف بیشتر به عنوان عملگر در نظر گرفته می‌شوند که کاری را بر روی ورودی‌های خود انجام می‌دهند. توابع را همچنین مورد استفاده در علم رایانه برای مدل‌سازی ساختمان داده‌ها و تأثیرات الگوریتم می‌بینیم.
تعریف تابع

تابع را می‌توان به عنوان قاعده‌ای خاص برای تناظر بین اعضای دو مجموعهٔ دامنه و برد تعریف کرد. به بیان دقیق‌تر، اگر A و B دو مجموعه باشند، یک تابع از مجموعهٔ A به مجموعهٔ B را می‌توان قاعده‌ای تعریف کرد که به هر عضو مجموعه A چون a، یک و فقط یک عضو از مجموعه B را چون f(a) نسبت می‌دهد. تابع f از مجموعه A به مجموعه B را با f:A\to B نشان می‌دهیم.
شکل ۱. نمونه‌ای از یک تناظر که تابع نیست
شکل ۲. نمونه‌ای از یک تابع

برای نمونه تناظر شکل ۱ نمایش دهنده یک تابع نمی‌باشد. چراکه عضو ۳ از مجموعه X به دو عضو (b و c) از Y متناظر شده‌است. اما شکل ۲ نشان دهنده یک تابع است. هر چند که دو عضو گوناگون از مجموعه X به یک عضو خاص از Y نسبت داده شده‌اند.

تابع f به عنوان هنجار تناظر، چیزی بجز توصیف نحوه تناظر اعضای A به B نیست که به طور کامل به‌وسیله همه زوج‌های مرتب (a,f(a)) برای هر a \in A مشخص می‌شود پس تابع f را می‌توان به عنوان مجموعه همه این زوجهای مرتب، یعنی مجموعه همه زوج‌های مرتبی که مولفه اول آنها عضو A بوده و مولفه دوم آنها تصویر مولفه اول تحت تابع f در Y است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابع f دارای مولفه اول یکسان نخواهند بود.

در این صورت در تابع f:A \to B برای هر a \in A گزاره (a,b) \in f را به صورت b=f(a) نشان می‌دهیم.
تعریف دقیق

یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y رابطه‌ای چون f از مجموعه X به مجموعه Y است که دارای شرایط زیر باشد:

    دامنه f مجموعه X باشد، یعنی dom f=X.
    برای هر x \in X عنصر یگانه y \in Y موجود باشد که (x,y) in f یا به عبارتی هیچ دو زوج مرتب متمایزی متعلق به f دارای مولفه اول یکسان نباشند. شرط یگانگی را به طور صریح می‌توان یه این صورت فرمول بندی کرد که اگر (x,y) \in f و (x,z) \in f آنگاه الزاماً y=z.

علامت‌ها

برای هر x \in X یگانه عضو y در Y که به ازای آن (x,y) \in f را با f(x) نشان می‌دهیم. در مورد تابع این علامت‌گذاری، سایر علامت‌گذاری‌هایی را که در مورد روابط کلی تر استفاده می‌شوند چون (x,y) \in f یا xfy را متروک ساخته‌است. از این پس اگر f یک تابع باشد، بجای (x,y) \in f یا xfy می‌نویسیمy=f(x). عضو y را مقدار تابع به ازای متغیر یا شناسه x یا تصویر x تحت f می‌گوییم و نیز x را پیش نگاره y می‌گوییم.

اگر f تابعی از مجموعه X به (در یا به توی) مجموعه Y باشد، این مطلب را به صورت سه تایی (f,X,Y) یا به طور معمول تر برای توابع با f:X \to Y نشان می‌دهیم.
مشخص کردن تابع

برای مشخص کردن یک تابع باید دامنه و ضابطه آن را بشناسیم. منظور از ضابطه یک تابع f:X \to Y، فرمول و یا دستوری است که برطبق آن برای هر x \in X، مقدار تابع f در x یعنی f(x) تعیین می‌شود. ضابطه تابع را می‌توان به صورت یک گزاره جبری، مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب یا یک رابطه بازگشتی مشخص کرد.

به این ترتیب برای مشخص کردن یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y می‌نویسیم f:X \to Y و سپس ضابطه آن را ذکر می‌کنیم.

در مواقعی که بیم ابهام نرود دامنه تابع ذکر نشده و به ذکر ضابطه تابع بسنده می‌شود. مثلاً عرف بر این است که در حساب دیفرانسیل و انتگرال دامنه توابع در صورت ذکر نشدن اعداد حقیقی یا بازه‌ای از اعداد حقیقی باشد.

برای نمایش بهتر، تابع را که خود یک هنجار (قاعده) برای تناظر است با f نشان می‌دهیم و ورودی یا شناسهٔ این تابع را با x نشان می‌دهیم که ممکن است عدد هم نباشد. یگانه مقدار خروجی که هنجار f به ورودی x نسبت می‌دهد را بجای y این‌بار با f(x) نشان می‌دهیم و آن را مقدار تابع f در x یا تصویر x تحت f می‌گوییم. همچنین از این پس به قاعده‌ای که هر x را به y=f(x) نسبت می‌دهد ضابطه تابع می‌گوییم.

نباید تابع را با ضابطهٔ آن اشتباه کرد. به عنوان مثال در مثال بالا f معرف خود تابع و گزاره f(x) معرف ضابطه تابع است.
دامنه و برد تابع

یک تابع f از مجموعه X به توی مجموعه Y را به عنوان نوعی رابطه از مجموعه X به Y تعریف کردیم. مفاهیم دامنه (تابع) و برد همانگونه که برای روابط در حالت کلی قابل تعریف‌اند، به طریق اولی برای تابع f نیز قابل تعریف خواهند بود. بنا به تعریف دامنه تابع f که با domf نموده می‌شود، همان مجموعه X است. برد تابع f نیز مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند. برد تابع f را با ranf یا Imf نشان می‌دهیم. بنابه تعریف داریم:

    \mbox{ran}f = \{y\in Y:\exists x(x\in X\land y = f(x))\}

اما همانطور که در گذشته نیز اشاره شد و از تعریف فوق نیز قابل برداشت است، برد f در حالت کلی لزوماً برابر مجموعه Y نمی‌باشد بلکه زیرمجموعه‌ای از آن است. برای تمایز بین مجموعه Y و برد تابع f به مجموعه Y همدامنه تابع f می‌گویند و آن را با codomf نشان می‌دهیم و بنا بر آنچه گفته شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدامنه‌اش هست.

به عنوان مثال فرض کنید {X={۱٬۲٬۳ و {Y={a,b,c,d و تابع f:X→Y به صورت {(f={(۱,a),(۲,b),(۳,c تعریف شده باشد. وضوحاً دامنه این تابع مجموعه X است(می‌توان برای تعیین آن مجموعه همه مولفه‌های اول زوج‌های مرتب f را در نظر گرفت) ولی برد آن بنابه تعریف مجموعه {a,b,c} است که آشکارا زیرمجموعه حقیقی Y است.(یعنی زیرمجموعه آن است ولی با آن برابر نمی‌باشد)

در حقیقت برد تابع f مجموعه همه مولفه‌های دوم زوج مرتب‌های f است. مجموعه همه عناصری از Y که به ازای یکx∈X داشته باشیم (y=f(x.
تساوی دو تابع

فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند. در این صورت تساوی f=g، تساوی بین دو مجموعه است و لذا f=g اگر و فقط اگر اعضای f و g یکسان باشند. یا به عبارتی دو تابع f و g با هم برابرند اگر و تنها اگر دامنه‌شان با هم برابر باشد و برای هر x از دامنه مشترکشان، (f(x)=g(x. نقاط اشتراک نمودارتابع fوتابع g در دستگاه مختصات مقدار x رانشان میدهد که به ازای آن دو تابع برابر اندفرض کنیدیکی از نقاط مورد نظر نقطه ی( A(X,Y یاشد این نقطه محل برخورد نمودار دو تابع fوgاست ومحل برخورد نمودار تابعf و نمودار تابعhar که معکوس تابعf نسبت به تابع gاست بنا بر این دو تابع F,و g زمانی در نقطه ای مانند A برابر اند که نمودار تابع fونمودارتابع har در نقطه ی A برابر باشند.
تحدید و توسیع

فرض کنید f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت یک روش برای ساختن تابعی چون g از مجموعه A به مجموعه Y این است که برای هر g(x)، x∈A را مساوی (f(x تعریف کنیم. یعنی تابع g:A→Y با ضابطه (g(x)=f(x. بر خواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. ممکن است راه دیگری نیز برای بیان این مطلب بیابیم و آن این است که دامنه تابع f را به زیرمجموعه A از X تقلیل دهیم. در این صورت تابعی خواهیم داشت که این بار نه بر روی همه اعضای X بلکه فقط بر روی عناصر زیرمجموعه خاصی از X یعنی A اثر می‌کند و لذا دامنه آن از X به A تغییر می‌یابد. چنین تابعی را که همان g است تحدید تابع f به مجموعه A می‌گوییم و آن را با f|A یا f|A نشان می‌دهیم. با این نمادگذاری داریم g=f|A. همچنین تابع f را توسیع تابع g به مجموعه X می‌گوییم.

بنابراین مفاهیم تحدید و توسیع دو مفهوم متقابل به هم می‌باشند. تحدید یک تابع به زیرمجموعه‌ای از دامنه خود همواره یک تابع است اما توسیع دامنه یک تابع به یک مجموعه جدید که دامنه تابع قبل زیرمجموعه‌ای از آن است همواره تابع نمی‌باشد ولذا در مورد توسیع توابع احتیاط بیشتری لازم است. به طور کلی اگر f:A→Y یک تابع باشد توسیع تابع f به مجموعه X تابعی چون g با دامنه X است، به طوری که تحدید g به مجموعه A برابر تابع f باشد یعنی g|A=f.

هچنین می‌توان همدامنه یک تابع را نیز تحدید کرد البته در این کار احتیاط لازم است، چراکه نباید اعضایی را که متعلق به برد تابع است را حذف نمود. اما اگر f:X→Y یک تابع باشد، با تحدید Y به (f(X که همان برد تابع f است می‌توان تابع (f:X→f(X را تشکیل داد که پوشا نیز هست.
تصویر و تصویر معکوس

اگر f:X \to Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد، ممکن است بخواهیم مجوعه‌ای را در نظر بگیریم که عناصر آن تصویر عناصر A تحت f می‌باشند. یعنی مجموعه‌ای که از تأثیر تابع f روی هر عضو مجموعه A حاصل می‌شود. چنین مجموعه‌ای را تصویر یا نگاره A تحت تابع f می‌گوییم و آن را با f(A) نشان می‌دهیم و به این صورت تعریف می‌کنیم:

    f(A)=\{f(x):x\in A\}

بنابر این (y \to f(A اگر و فقط اگر به ازای y=f(x)، x \to A یا به بیان نمادین:

    y\in f(A)\iff \exists x(x\in A\land y=f(x))

به عنوان مثال اگر X=\{1,2,3,4,5\} و Y=\{a,b,c,d,e\} و f:X \to Y به صورت:

    f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,e)\}

تعریف شود و زیرمجموعه A از X به صورت A=\{1,3,4\}در نظر گرفته شود در این صورت:

    f(A)=\{f(1),f(3),f(4)\}=\{a,c,d\}

حال چون X نیز زیرمجموعه‌ای از خودش است می‌توان f(X) را نیز تشکیل داد، که در این صورت بنا به تعریف داریم:

    f(X)=\{f(x):x\in X\}

که عبارت است از مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند که بنابه تعریف همان برد تابع f یعنی ran f است. به این ترتیب برد f را می‌توان تصویر X تحت تابع f تعریف کرد.
اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای

بسیار اتفاق می‌افتند که مقدار یک تابع در سراسر دامنه‌اش با یک ضابطه مشخص نمی‌شود مثلاً ممکن است دامنه تابع f که آن را X می‌نامیم را به n مجموعه X۱,X۲,X۳,...,Xn افراز کنیم و تابع f با دامنه X را برای هر x∈Xi به صورت (f(x)=fi(x تعریف کنیم که در آن fi تابعی با دامنه Xi است. همچنین در این صورت می‌توان تابع f را برای هر x از دامنه به صورت زیر نوشت:

    f(x)=\begin{cases} f_1(x) &\,x\in X_1\\ f_2(x) &\,x\in X_2\\ \vdots \\ f_n(x)&\, x\in X_n \end{cases}

در این صورت f را تابعی با n ضابطه می‌گوییم.

در مثالی دیگر فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند که برای هر x متعلق به اشتراک X و Y (اشتراک دامنه f,g) داشته باشیم (f(x)=g(x. در این صورت تابع f\cup g:X\cup Z\to Y\cup W اجتماع دو تابع f,g را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

    \left(f\cup g\right)(x)=\begin{cases} f(x)&\, x\in X \\ g(x)&\, x\in Z \end{cases}

برخواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. این مفهوم را می‌توان گسترش داد یعنی اگر \{A_i\}_{i\in I} خانواده‌ای از مجموعه‌های دو به دو جدا از هم باشد و برای هر fi,i∈I تابعی با دامنه Ai باشد، می‌توان تابع f، اجتماع توابع fi برای هر i∈I را با دامنه \cup_{i\in I}A_i را به صورت برای هر x از دامنه به صورت

(f(x)=fi(x اگر x∈Ai تعریف کرد. در ادامه نمونه‌هایی از توابع چند ضابطه‌ای را خواهید دید.
نمودار تابع
شکل ۳. نمودار پیکانی یک تابع

منظور از نمودار یک تابع f:X \to Y به تصویر کشیدن تناظری است که f بین دو مجموعه X و Y ایجاد می‌کند. برای این کار برای همه روابط و بلاخص توابع عموماً از نمودار پیکانی استفاده می‌شود. برای رسم نمودار پیکانی تابع f:X \to Y، دو منحنی بسته نظیر آنچه در نمودار ون استفاده می‌شود را برای نمایش مجموعه X و Y انتخاب می‌کنیم و عناصر هر یک را به‌وسیله نقاطی در آنها مشخص می‌کنیم. سپس بین هر عضو x \in X و (f(x یک پیکان از x به (f(x به نشانه تناظر بین آن دو رسم می‌کنیم. به عنوان مثال اگر {X={۱٬۲٬۳٬۴٬۵ و {Y={a,b,c,d,e وf:X \to Y به صورت f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,e \} تعریف شده باشد نمودار پیکانی آن به صورت مقابل است.
شکل ۴. نمونه‌ای از نمودار یک تابع حقیقی در دستگاه مختصات دکارتی

این روش گرچه مناسب است ولی برای نمایش همه توابع بویژه توابعی با دامنه اعداد حقیقی (و به طور کلی توابعی که عددی هستند) چندان کاربرد ندارد. اگر f تابعی با دامنه اعداد حقیقی R باشد آن را تابع حقیقی می‌گوییم و برای نمایش نمودار آن از دستگاه مختصات دکارتی استفاده می‌کنیم. روش کار به این صورت است که برای هر x \in R زوج مرتب ((x,f(x) که نماینده نقطه‌ای در صفحه دکارتی است را رسم می‌کنیم و به این ترتیب نمودار تابع f حاصل می‌شود. رسم نمودار تابع، باعث می‌شود دیدی کلی نسبت به آن تابع پیدا کنیم و همچنین بسیاری از خواص مربوط به توابع بویژه توابع حقیقی، مانند پیوستگی، مشتق پذیری، نقاط بحرانی و عطف، صعودی یا نزولی بودن و... از روی نمودار آنها قابل تعیین است. به عنوان مثال با بررسی شکل (۴) می‌توان گفت این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است، این تابع در سراسر دامنه خود پیوسته و مشتق پذیر است، دارای دو نقطه بحرانی و یک نقطه عطف است.
شکل ۵

همچنین از روی نمودار یک رابطه می‌توان تابع بودن آن را بررسی کرد. به عنوان مثال نمودار شکل (۱) معرف یک تابع نیست، زیرا عضو ۳ به دو مقدار متناظر شده‌است. همچنین در نمودار رسم شده در دستگاه دکارتی در شکل (۵)، برای هر عدد حقیقی مثبت x دو مقدار وجود دارد. به طور کلی یک نمودار در دستگاه مختصات دکارتی یک تابع است اگر هر خط عمودی مرسوم بر محور xها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.
فضای توابع

اگر X و Y دو مجموعه باشند، مجموعه همه توابع از X به Y را با YX نشان می‌دهیم و بنابه تعریف داریم:

    Y^X=\{f|f:X\to Y\}

عدد اصلی این مجموعه را نیز می‌توان به صورت زیر بدست آورد:

    \mbox{card}(Y^X)=(\mbox{card}Y)^{\mbox{card}X}

از رابطه فوق نتیجه می‌شود اگر X مجوعه‌ای n-عضوی و Y مجموعه‌ای m-عضوی باشد، تعداد توابع قابل تعریف از مجوعه X به مجموعه Y برابر است با mn که البته برای اثبات این مسئله خاص راه حل ترکیباتی هم وجود دارد. توضیح اینکه اگر بخواهیم تابع f:X \to Y را تعریف کنیم هر عضو از n عضو مجموعه X چون x \in X، را می‌توان به m طریق به یک عضو از مجموعه Y نسبت داد. پس بنابر اصل شمارش تعریف چنین تابعی به mn طریق ممکن خواهد بود.
توابع دو (یا چند) متغیره

عباراتی چون f(x,y)=\sin (xy) یا f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 را در نظر بگیرید. هر یک از آنها دو یا بیش از دو متغیر از دامنه می‌پذیرند و یک مقدار یگانه را به آنها نسبت می‌دهند. گاهی ممکن است تابع بجای یک شناسه دو یا چند شناسه را بپذیرد و آنها را به یک عضو از برد خود نسبت دهد، در این صورت تابع را دو یا چند متغیره می‌گوییم. چنین توابعی رابطه‌ای بین بیش از دو مجموعه هستند. به عنوان مثال تابع اول را می‌توان تابعی به صورت f:R\times R \to R توصیف کرد که در این صورت تابع زوج (x,y) را به عنوان شناسه خود می‌پذیرد و آن را به عضوی از R نسبت می‌دهد که در این صورت اعضای تابع f را می‌توان به صورت سه تایی ((x,y,f(x,y) نشان داد.
انواع تابع
توابع چندجمله‌ای

توابع چند جمله ای توابعی هستند که فقط دارای x (مجهول) می باشد و دامنه ی آن مجموعه ی اعداد حقیقی می باشد.
توابع مثلثاتی
نوشتار اصلی: تابع‌های مثلثاتی

توابع مثلثاتی، تابع‌هایی هستند که زاویه را به نسبت طول اضلاع آن زاویه در یک مثلث قائم‌الزاویه مرتبط می‌کنند. توابع سینوس و کسینوس از جمله‌ی مهم‌ترین این توابع به شمار می‌روند. توابع مثلثاتی اهمیت بسیاری در ریاضیات کاربردی دارند و به خاطر ماهیت تناوبیشان، می‌توانند بسیاری از پدیده‌های تکرارشونده را توصیف کنند.
توابع متناوب

تابع ƒ: A → B متناوب یا پریودیک نامیده می شود، اگر عدد ثابتی مانند T موجود باشد که برای هر x داشته باشیم f(x+T)=f(x) .به T دوره تناوب یا پریود گفته می شود.
تابع همانی ( y=x )

اگر دامنه و برد یک تابع برابر باشند و هر عضو در دامنه دقیقاً به همان عضو در برد نظیر شود، آن تابع را تابع همانی می‌نامند.
تابع قدر مطلق

تابعی که هر مقدار در دامنه را به قدر مطلق آن در برد نظیر می‌کند، تابع قدر مطلق نامیده می‌شود. تابع قدر مطلق را با |f(x)=|x نمایش می‌دهند. که خواص مهمی دارند
تابع ثابت (یعنی به ازای هر x ورودی y ثابت است.)

تابع ثابت تابعی است که برد آن تنها شامل یک عضو است.
تابع پوشا

تابعƒ: A → B پوشا نامیده می شود اگر برای هر عضو y متعلق به B ،حداقل یک عضو x از A موجود باشد که داشته باشیم y=f(x) .

برد (ریاضی)

در ریاضیات، برد یک تابع برابر با مجموعه تمام خروجی‌های تابع است. اگر تابع را به عنوان مجموعه ای از زوج های مرتب در نظر بگیریم، آنگاه مجموعه ی تمام مؤلفه های دوم آن را برد تابع گویند.
محاسبهٔ برد توابع

    برد توابع چند جمله‌ای از درجهٔ فرد، مجموعهٔ اعداد حقیقی است.
    اگر تابع به صورت f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} باشد، برد تابع برابر است با \frac{a}{c} - \mathbb R .