معادله دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای

معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی که به اختصار PDE (مخففPartial Differential Equations) خوانده می‌شوند، به دسته‌ای از معادلات دیفرانسیل گفته می‌شود که در آن‌ها توابع مجهول بر حسب چند متغیر مستقل به همراه مشتق پاره‌ای توابع نسبت به آن متغیرها شرکت داشته‌باشند. به این دسته از معادلات دیفرانسیل، معادلات دیفرانسیل پاره‌ای، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی یا معادلات دیفرانسیل جزئی گفته می‌شود.

معادله دیفرانسیل معادله‌ای است که شامل یک یا چند مشتق یا دیفرانسیل باشد. معادلات دیفرانسیل بر اساس ویژگی‌های زیر رده بندی می‌شوند
نوع عادی یا جزئی

معادله شامل متغیر مستقل x، تابع ( y = f(xو مشتقات f را یک معادله دیفرانسیل عادی می‌نامیم. معادله‌ای متشکل از یک تابع مجهول با بیش از یک متغیر مستقل همراه با مشتقات جزئی آن معادله دیفرانسیل جزئی می‌نامیم. مرتبه که عبارت است‌از مرتبه مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد درجه نمای بالاترین توان مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد، پس از حذف مخرج کسرها و رادیکالهای مربوط به متغیر وابسته و مشتقاتش. معمولاً یک معادله دیفرانسیل مرتبه n جوابی شامل n ثابت دلخواه دارد، این جواب را جواب عمومی می‌نامند. ساختار معادلات دیفرانسیل ساختارهای متفاوتی هستند و هر ساختار ویژگی‌های متفاوتی دارد: معادلات مرتبه اول از درجه اول؛ با متغیرهای جدایی پذیر ؛ همگن؛ خطی برنولی؛ با دیفرانسیل‌های کامل؛ معادلات مرتبه دوم؛ معادلات خطی با ضرایب ثابت ۱. همگن ۲. ناهمگن تکنیکهای تقریب زدن ۱. سری‌های توانی؛ ۲. روشهای عددی صور مختلف معادلات دیفرانسیل معادله دیفرانسیل مرتبه اول از درجه اول را همواره می‌توان به صورت زیر در آورد که در آن M و N معرف توابعی از x و y هستند.

Mdx + Ndy = ۰ در معادله فوق هرگاه M فقط تابعی از x و N فقط تابعی از y باشد. به صورت معادله جدایی پذیر مرتبه اول است. در این صورت با انتگرال گیری از هر جمله جواب بدست می‌آید. یعنی:

M(x) dx+ ∫N(y) dy = C∫ معادله دیفرانسیل همگن گاه معادله دیفرانسیلی را که متغیرهایش جدایی پذیر نیستند با تعویض متغیر می‌توان به معادله‌ای تبدیل کرد که متغیرهایش جدایی پذیر باشند، چنین معادله‌ای را همگن می‌نامند. معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را همیشه می‌توان به صورت متعارف زیر در آورد که در آن P و Q توابعی از x هستند. dy/dx + py = Q معادله را که بتوان آن را به صورت M (x,y) dx + N(x,y) dy = ۰ نوشت و دارای ویژگی زیر باشد کامل نامیده می‌شود. زیرا طرف چپ آن یک دیفرانسیل کامل است.

M/∂y = ∂N/∂x∂ معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم در حالت کلی به صورت زیر است:

F (x,y,dy/dx,d2y/dx2) = ۰ این گونه معادلات را معمولاً با یک متغیر مناسب مثل dy/dx = p به معادلات دیفرانسیل نوع اول تبدیل کرد و با جاگذاری در معادله مربوط به روش معادلات دیفرانسیل مرتبه اول حل کرد معادلات دیفرانسیل خطی معادله دیفرانسیل

را که در آن توابع ، ، ...، و بر بازه I پیوسته بوده و (an(x هرگز صفر نباشد یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه n ام می‌نامیم. که البته اگر در تعریف فوق (F(x مساوی صفر باشد، معادله دیفرانسیل D برای مشتق توابع معرفی می‌شود، سپس با نوشتن معادله کمکی p(r) = ۰ و پیدا کردن صفرهای معادله (p(r جواب معادله همگن را پیدا می‌کنیم. در صورت ناهمگن بودن علاوه بر عملیات فوق، جوابهای معادله ناهمگن را با شیوه‌های خاصی را پیدا کرده به جواب بالا اضافه می‌کنیم. حل معادلات دیفرانسیلی خطی مرتبه n ام به توسط سریهای توانی معادله دیفرانسیل

را در نظر می‌گیریم که در آن x۰ نقطه منفرد معادلات در این صورت با تغییر متغیر زیر به حل معادله می‌پردازیم:

، و ... همین طور با جاگذاری سری مربوط به ( F(xو تجریه مناسب و مساوی قرار دادن دو طرف عبارت به حل معادله می‌پردازیم. کاربردها کاربردهای معادلات دیفرانسیل توصیف کننده حرکت سیارات، که از قانون دوم نیوتن بدست می‌آیند، هم شامل شتاب و هم شامل سرعت می‌شوند. در مورد حرکت موشک‌ها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده ترند. مسائل فیزیکی زیادی بعد از فرمول بندی آنها به زبان ریاضی به معادلات دیفرانسیل منجر می‌شوند. در رشته سینتیک شیمیایی، معادلات دیفرانسیل نقش منحصر به فردی به عهده دارند همین‌طور در مواردی چون سود مرکب، واپاشی رادیواکتیو - قانون سرمایش نیوتن و رشد جمعیت کاربرد فراوانی دارد.

معادله دیفرانسیل معمولی

معادلات دیفرانسیل معمولی به آن دسته از معادلات دیفرانسیل اطلاق می‌شود که توابع مجهول وارده در آن‌ها بر حسب تنها یک متغیر مستقل باشد. معادله‌ای که بیشتر از یک متغیر مستقل داشته باشد را معادلهٔ دیفرانسیل نسبی یا معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی می‌نامند.

نام‌پای

نام‌پای (به انگلیسی: NumPy) یک بستهٔ نرم‌‌افزاری قابل افزودن به پایتون است که کاربرد اصلی‌اش در مقاصد علمی و برای کار با اعداد است. پایتون به صورت پیش‌فرض تنها از آرایه‌ها و متغیرها برای عملیات ریاضی ساده پشتیبانی می‌کند. بستهٔ نام‌پای ویژهٔ کار با اعداد از راه ماتریس‌ها و آرایه‌های چندبعدی طراحی شده است. از ویژگی‌های آرایه‌ها در نام‌پای این است که می‌توان اندازهٔ آن‌ها به صورت پویا تغییر داد که این امر به افزایش سرعت برنامه‌نویسی کمک می‌کند.[۱] نام‌پای را می‌توان بستهٔ بنیادی پایتون برای محاسبات علمی دانست، این بسته افزون بر فراهم‌آوردن قابلیت کار با آرایه‌های اِن-بعدی، عملگرهای درایه به درایه و عملگرهای اصلی جبر خطی، قابلیت لفاف‌پیچی[واژه‌نامه ۱] کدهای سی، سی++ و فورترن را ممکن می‌سازد.[۲]

با استفاده از آرایه‌های ان‌بعدی (ndarray) نام‌پای، می‌توان بر محدودیت‌های لیست‌های پایتون (list) که تنها با استفاده از حلقه‌های تکرار می‌توان بر روی آن‌ها کار کرد، غلبه نمود و بازدهی را بالا برد. تنها محدودیت مهم آرایه‌های اِن‌بعدی نام‌پای در مقایسه با لیست‌های پایتون در این است که باید حتماً نوع داده‌های موجود در درایه‌های آن یکسان باشند. در مقابل سرعت انجام عملیاتی که با استفاده از آرایه‌های ان‌بعدی اجرا می‌شود بیشتر است.[۳]

محتویات

    ۱ نصب
    ۲ سای‌پای
    ۳ جستارهای وابسته
    ۴ واژه‌نامه
    ۵ منابع
    ۶ پیوند به بیرون

نصب

امکان نصب نام‌پای از راه دریافت کد متن آن و کامپایل دستی وجود دارد، اما برای این کار کاربر باید با مراحل کامپایل برنامه از متن آشنایی کامل داشته باشد. از ساده‌ترین راه‌ها نصب نام‌پای می‌توان به استفاده از بسته‌های از پیش کامپایل‌شدهٔ توزیع پایتون انتوت[واژه‌نامه ۲] و اکتیو پایتون[واژه‌نامه ۳] اشاره کرد که هر دوی آن‌ها در سه بستر ویندوز، مک و لینوکس قابل نصب هستند و هر دو دارای نسخهٔ رایگان هستند. کاربران مک‌پورتز و توزیع‌های مختلف لینوکس می‌توانند نام‌پای را از راه مدیر بسته نصب کنند، اما نصب نام‌پای در ویندوز با توجه به پیچیدگی فرآیند کامپایل ممکن است کمی مشکل باشد که برای این منظور یک نصب باینری کامپایل‌شده به نام ‎python(x,y) ویژهٔ ویندوز موجود است.[۴]
سای‌پای

سا‌ی‌پای یک بستهٔ علمی دیگر برای پایتون است که مبتنی بر نام‌پای نوشته شده و اجازهٔ انجام عملیات ریاضی پیشرفته مانند انتگرال‌گیری، حل معادلات دیفرانسیل معمولی، توابع ویژه،‌ بهینه‌سازی و بسیاری موارد دیگر را می‌دهد.

تحلیل ابعادی

در قوانین تحلیل ابعادی ذکر شده است که رابطه‌ای که از لحاظ ابعادی هم‌خوانی نداشته‌باشد لزوماً غلط است.[۱] برای تحلیل ابعادی از چهار مقدار [M] برای جرم، [L] برای طول، [T] برای زمان و [K] برای دما است.[۲] و از مهم‌ترین نظریه‌های آن نظریه پی باکینگهام است.[۳]

محتویات

    ۱ دیمانسیون یا تحلیل ابعادی
    ۲ تحلیل ابعادی در مکانیک سیالات :
    ۳ یک نکته
    ۴ مزایای تحلیل ابعادی
    ۵ قضیه پی باکینگهام
    ۶ ۲) بخش دوم قضیه، چگونگی یافتن همزمان πها را نشان میدهد
    ۷ جدول ابعاد مربوط به مکانیک سیالات :
    ۸ منابع

دیمانسیون یا تحلیل ابعادی

به هر کمیتی که می سنجیم یا محاسبه می کنیم، معمولاً بعدی وابسته است، مثلاً مقدار جذب صوت در یک محیط بسته و احتمال وقوع واکنش‌های هسته‌ای، هر دو بعد مساحت دارند . هر کمیت را می‌توان بر حسب یکاهای متفاوتی بیان کرد، اما این کار بعد کمیت را عوض نمی‌کند؛ مساحت را چه بر حسب m^2 بین کنند، چه بر حسب ft^2، چه بر حسب هکتار، چه بر حسب سابین ( برای جذب صوت )، و چه بر حسب بارن ( برای واکنشهای هسته ای ) به هر حال مساحت است و بعد مساحت دارد . با توجه به کمیت‌های بنیادی ( مثل طول، زمان و ... ) می‌توانیم مجموعه‌ای از ابعاد بنیادی را بر اساس استانداردهای مستقل، انتخاب کنیم . در میان کمیت‌های مکانیکی، جرم، طول، زمان، شدت روشنایی( در SI بر حسب شمع)، مقدار ماده(در SI بر حسب مول)، شدت جریان الکتریکی(در SIبر حسب آمپر)، بنیادی و مستقل از یکدیگرند و کمیت‌های دیگر را می‌توان بر حسب آنها بیان کرد . پس اینها را به عنوان ابعاد بنیادی می گیریم و به ترتیب با M ، L ، T نشان می دهیم . باید توجه داشت که برای نشان دادن دیمانسیون هر کمیتی آن را در علامت [ ] قرار می‌دهند و دیمانسیون ( ابعاد بنیادی ) را با حروف بزرگ نشان می‌دهند . در هر معادله‌ای باید بعد کمیت‌های دو طرف معادله یکسان باشد . در خیلی از موارد توجه به بعد کمیت‌ها می‌تواند جلوی اشتباه را بگیرد .
تحلیل ابعادی در مکانیک سیالات :

تحلیل ابعادی به کمک نوعی فشرده کردن، به رفع پیچیدگی و کاستن از تعداد متغیرهای تجربی موثر روی یک پدیده معین فیزیکی منجر میشود. اگر پدیده ای به nمتغیر با بعد بستگی داشته باشد، تحلیل ابعادی تعداد متغیرها را به kمتغیر بی بعد کاهش میدهد، که این کاهش به پیچیدگی مسئله بستگی دارد. به طور کلی n-kبرابر تعداد ابعاد مختلف حاضر در مسئله است که گاهی ابعاد پایه، اولیه یا اساسی نامیده میشوند. در مکانیک سیالات معمولاً چهار بعد اصلی، عبارتند از:

    جرم(M)
    طول(L)
    زمان(T)
    درجه حرارت(Ө)

یک نکته

ضریب گرمای مقاومت، اختلاف فاز، شدت نسبی احساس صوت، عدد رینولدز، عدد ماخ و ضریب اتمیسیته گاز دیمانسیون ندارند .
مزایای تحلیل ابعادی

گرچه هدف تحلیل ابعادی، کاهش متغیرها و گروه بندی آنها به صورت بی بعد است؛ اما مزایای جنبی زیادی نیز در بر دارد:

الف) اولین مزیت تحلیل ابعادی صرفه جویی در وقت و پول است. فرض کنید میدانیم که نیروی F روی یک جسم مشخص شناور در جریان یک سیال، فقط به طول جسم(L)، سرعت جریان(V)، جرم مخصوص(ρ)، لزجت سیال(µ) بستگی دارد.

Fluid 1.jpg

اگر شکل هندسی و شرایط جریان به قدری پیچیده باشندکه تئوریهای انتگرالی و دیفرانسیلی قادر به یافتن نیرو نباشند، آنگاه باید F را به صورت تجربی بیابیم. اگر برای تعریف یک منحنی نیاز به ۱۰ نقطهٔ تجربی باشد. برای مثال باید به ازای ۱۰ طول مختلف ۱۰ آزمایش انجام داد. سپس به ازای هر طول معین Fluid 1 (13).jpg و در کل10^4 آزمایش انجام داد. که نیازمند صرف هزینه و وقت بسیار است. اما با استفاده از روش تحلیل ابعادی معادلهٔ نیرو به صورت زیر ساده میشود:

Fluid 1 (1).jpg

که در آن ضریب بی بعد نیروFluid 1 (11).jpg فقط تابعی از عدد رینولدزFluid 1 (12).jpg است. به این صورت با انجام تنها ۱۰ آزمایش به ازای تغییرات عدد رینولدز میتوان به نتیجهٔ مشابه حاصل از ۱۰۰۰۰ آزمایش به صورت عادی رسید.

ب)دومین مزیت تحلیل ابعادی این است که ما را در تعمق برای طرح ریزی یک آزمایش یا تئوری یاری میکند. تحلیل ابعادی گاهی بعضی از متغیرها را کنار میگذارد و گاهی متغیرهایی را که با چند آزمایش ساده، بی اهمیت بودن آنها روشن شده است، گردآوری و گروه بندی میکند.

ج)سومین مزیت تحلیل ابعادی این است که به کمک قوانین تشابه حاصل از تحلیل ابعادی، میتوان داده‌های مربوط به یک مدل کوچک و ارزان قیمت را به داده‌های طراحی یک نمونه واقعی تبدیل کرد. هنگامی که امکان استفاده از قانون تشابه فراهم است، گفته می‌شود که شرایط تشابه بین مدل و نمونه واقعی برقرار است. برای نمونه در مورد مثال فوق اگر عددهای رینولدز مدل و نمونه واقعی برابر باشند تشابه کامل برقرار است.

Fluid 1 (2).jpg

که اندیس‌های m و p به ترتیب نشانهٔ مدل و نمونهٔ واقعی هستند. پس با استفاده از تشابه داریم:

Fluid 1 (3).jpg

پس به سادگی با اندازه گیری نیروی مدل در یک عدد رینولدز، نیروی نمونه واقعی در همان عدد رینولدز بدست می آید.
قضیه پی باکینگهام

این قضیه را برای اولین بار پای بوکینگهام در سال ۱۹۱۴ پیشنهاد کرد. نام پای از نماد ریاضی π به معنای حاصلضرب متغیرها گرفته شده است.گروه‌های بی بعد یافته شده توسط این روش حاصلضرب هایی توانی هستند. در این روش میتوان πها را بدون اجبار به تعریف جداگانه آنها، سلسله وار پیدا کرد.

این قضیه شامل دو بخش است :

۱) بخش اول بیانگر کاهش مورد انتظار در تعداد متغیرهاست:

اگر یک تحول فیزیکی اصل همگنی ابعادی را براورده کند و شامل nمتغیر ابعادی باشد، میتوان آن رابه یک رابطه بین تنهاr یا π متغیر بی بعد کاهش داد. کاهش p=n-r، معادل حداکثر تعداد متغیرهایی است که بین خود π تشکیل نمی‌دهند و همیشه کمتر یا مساوی تعداد ابعاد بیان کننده متغیرها خواهد بود.
۲) بخش دوم قضیه، چگونگی یافتن همزمان πها را نشان میدهد

کاهش میزان p را بیابید، آنگاه p متغیر را بگونه ای انتخاب کنید که π حاصل از آنها بین خودشان یکسان نباشد. در هر گروه π دلخواه، باید حاصلضرب توانی این p متغیر بعلاوه یک متغیر اضافی با هر توان مناسب غیر صفر باشد. بنابراین، هر گروه π یافت شده مستقل خواهد بود.

Fluid 1 (4).jpg

با یک مثال نحوهٔ استفاده از این روش را واضحتر میکنیم:

فرض کنید در آزمایشی نیروی F، تابعی از چگالی، ویسکزیته، طول و سرعت باشد. داریم :

Fluid 1 (5).jpg

حال ماتریس ابعادی را تشکیل میدهیم:

Fluid 1 (6).jpg

حال میدانیم که r=3 متغیر تکرار شونده داریم. این متغیرها را باید طوری انتخاب کنیم که در ماتریس ابعادی سه در سه آنها هیچ سطری صفر نباشد. در اینجا سه متغیر ρ،L،V را انتخاب میکنیم. ابتدا µ،ρ،L،V را در نظر گرفته و مینویسیم:

Fluid 1 (7).jpg

حال F، ρ،L،V را در نظر میگیریم و مینویسیم :

Fluid 1 (8).jpg

حال میتوان نوشت :

Fluid 1 (9).jpg
جدول ابعاد مربوط به مکانیک سیالات :

Fluid 1 (10).jpg

انتگرال

اَنتِگرال (به انگلیسی: Integral) مقدار مشترک ممکن زیرینۀ مجموعه‌ای ریمانی و زبرینۀ مجموعه‌ای ریمانی یک تابع حقیقی در بازۀ مفروض است.[۱] انتگرال از مفاهیم اساسی در ریاضیات است که در کنار مشتق دو عملگر اصلی حساب دیفرانسیل و انتگرال را تشکیل می‌دهند.

نخستین بار لایب نیتس نماد استانداردی برای انتگرال معرفی کرد.
\int_{a}^{b} f(x)\, dx

a و b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f(x) تابعی انتگرال‌پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال‌گیری است.

از لحاظ تاریخی dx یک کمیت بی‌نهایت کوچک را نشان می‌دهد. هر چند در تئوری‌های جدید، انتگرال‌گیری بر پایه متفاوتی پایه‌گذاری شده‌است.

محتویات

    ۱ انتگرال نامعین
    ۲ انتگرال معین
    ۳ تابع انتگرال‌پذیر
    ۴ تعبیر هندسی انتگرال
        ۴.۱ مثال
    ۵ انتگرال گیری
    ۶ مهم‌ترین تعاریف در انتگرال
    ۷ محاسبه انتگرال
        ۷.۱ تقریب انتگرالهای معین
    ۸ کاربرد
    ۹ جستارهای وابسته
    ۱۰ منابع
        ۱۰.۱ تاریخچه
    ۱۱ پانویس
    ۱۲ پیوند به بیرون

انتگرال نامعین

تعریف: هرگاه معادله دیفرانسیل تابعی معلوم باشد و بخواهیم معادله اصلی تابع را معلوم کنیم این عمل را انتگرال نامعین نامیده و آن را با نماد \int نمایش می‌دهند. به انتگرال نامعین ضد مشتق نیز گفته می‌شود، زیرا عمل انتگرال نامعین گرفتن دقیقاً برعکس عملیات مشتق‌گیری است. بنا به تعریف، نماد \int{f(x)}.dx را انتگرال نامعین نامیده و حاصل آن را تابعی مانند F(x)+c در نظر می‌گیریم هرگاه داشته باشیم:
\int{f(x)}.dx=F(x)+c

در واقع می‌توان چنین بیان کرد:
F'(x)=f(x)\Leftrightarrow\int{f(x)}.dx=F(x)+c

مثال: مقدار انتگرال تابع f(x)=\sqrt{x} + 2x^2 - 8 را حساب کنید:

\int{f(x)}.dx=\int{( x^{ \frac{1}{2}}+2x^2-8)}.dx = \int{ x^{\frac{1}{2}}}.dx + 2 \int{x^2}.dx - 8 \int{dx} = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+ \frac{2}{3}x^3-8x+C

            \Rightarrow \int{f(x)}.dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+ \frac{2}{3}x^3-8x+C

انتگرال معین

بنا به تعریف، نماد \int_a^b f(x).dx را انتگرال معین نامیده و حاصل آن را به ازای a<x<b عددی به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
انتگرال معین یک تابع میتواند به عنوان علامت مساحت ناحیه محدود شده با گرافش نشان داده شود.

\int_a^b f(x).dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)

a و b به ترتیب، کرانهای بالا و پایین انتگرال نامیده می‌شوند.
تابع انتگرال‌پذیر

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال‌پذیر گویند.
تعبیر هندسی انتگرال

از نظر هندسی انتگرال برابر است با مساحت سطح محصور زیر نمودار.

نکته انتگرال نمودار سه بعدی(انتگرال دو گانه)معرف حجم محصور زیر نمودار است و انتگرال سه‌گانه معرف پارالل زیر نمودار است(غیرقابل تصور).
مثال

انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (0,10) در واقع پیدا کردن مساحت محصور بین خطوط x=0 , x=10 و خم منحنی f_x است. aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال‌پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.
Integral.svg

انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.
انتگرال گیری

(محاسبه انتگرال) انتگرال گیری به معنی محاسبه سطح زیر نمودار با استفاده از روشها وقوانین انتگرال گیری است. انتگرال را میتوان عمل برعکس مشتق معرفی نمود
مهم‌ترین تعاریف در انتگرال
Riemann integral approximation example
Integral example with irregular partitions (largest marked in red)
Riemann sum convergence
Riemann sums converging

از مهم‌ترین تعاریف در انتگرال می‌توان از انتگرال ریمان و انتگرال لبگ است. انتگرال ریمان به‌وسیله برنهارد ریمان در سال ۱۸۵۴ ارائه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می‌داد تعریف دیگر را هنری لبگ ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعویض پذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می‌کرد. از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال می‌توان به انتگرال ریمان–استیلتیس اشاره کرد. پس به طور خلاصه سه تعریف زیر از مهم‌ترین تعاریف انتگرال می‌باشند:
محاسبه انتگرال
Integral approximation example
Approximations to integral of √x from 0 to 1, with 5 ■  (yellow) right endpoint partitions and 12 ■  (green) left endpoint partitions

اکثر روش‌های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده است که بر طبق آن داریم:

1.f تابعی در بازه (a,b) در نظر می‌گیریم. 2.پاد مشتق f را پیدا می‌کنیم که تابعی است مانند f که و داریم: 3.قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می‌گیریم:

بنابراین مقدار انتگرال ما برابر خواهد بود.

به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می‌دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم. معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده‌ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارت‌اند از :

    انتگرال گیری به‌وسیله تغییر متغیر
    انتگرال گیری جزء به جزء : \int u\, dv=uv - \int v\, du
    انتگرال گیری با تغییر متغیر مثلثاتی
    انتگرال گیری به‌وسیله تجزیه کسرها

روش هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می‌رود همچنین می‌توان بعضی از انتگرال‌ها با ترفند هایی حل کرد برای مثال می‌توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید.
تقریب انتگرالهای معین

محاسبه سطح زیر نمودار به‌وسیله مستطیل هایی زیر نمودار. هر چه قدرعرض مستطیل‌ها کوچک می‌شوندمقدار دقیق تری از مقدار انتگرال بدست میآید.

انتگرال هایی معین ممکن است با استفاده از روش‌های انتگرال گیری عددی، تخمین زده شوند.یکی از عمومی‌ترین روش‌ها، روش مستطیلی نامیده می‌شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است. از دیگر روش هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه‌ای است. اگر چه روش‌های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی‌دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می‌کند.

Darboux sums
Upper Darboux sum example
Darboux upper sums of the function y = x2
Lower Darboux sum example
Darboux lower sums of the function y = x2
کاربرد

انتگرال‌ها در واقع مساحت محصور در زیر نمودار هستند و در فیزیک می‌توان برای کاربردهای زیادی تعریف کرد مانند کار انجام شده در یک فر آیند ترمودینامیکی از انتگرال رابطه فشار و حجم به دست می‌آید. اما به طور کلی می‌توان آن را تغییرات کمیت حاصل ضرب افقی و عمودی نمودار نامیدمثلا: در یک رابطه کمیت‌ها را تحلیل ابعادی می کنیم مثلاً رابطه سرعت و زمان را به صورت زیر نوشته می‌شود:

    v=[L]/[T] t=[T] \!

سپس دو تحلیل را در هم ضرب می کنیم:

    [L] \!

پس مساحت محصور در زیر نمودار برابر با تغییرات طول (جابجایی) است.

تغییر متغیر

تغییر متغیر یکی از روش‌های کلی در حل مسائل ریاضی است. این روش بخصوص در حل انتگرالها به‌کار می‌رود. در این روش متغیر پیچیده و دشوار را با متغیری که حالت مساله را ساده تر کند عوض می‌کنیم.

ماتریس ژاکوبی

ماتریس ژاکوبی، نامیده شده به اسم ریاضیدان آلمانی: کارل گوستاو ژاکوب ژاکوبی، ماتریسی است که در آن تمام مشتق‌های جزئی مرتبه اول یک تابع چند بعدی f\colon {\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^m} موجود می‌باشد. این ماتریس تعمیم یافته‌ای از مشتق یک بعدی است.
تعریف

اگر f\colon {\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^m} یک تابع مشتق‌پذیر چند بعدی باشد که مقادیر آن [y_{1}(x_{1}\cdots x_{n}),\cdots, y_{m}(x_{1}\cdots x_{n})] باشند، آنگاه مشتق آن در هر نقطه (x_{1}\cdots x_{n}) ، یک نگاشت خطی از فضای {\mathbb{R}^n} به {\mathbb{R}^m} می‌باشد، به طوری که ماتریس این نگاشت خطی به صورت زیر نوشته می‌شود.

J_F(x_1,\ldots,x_n) := \frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}:= \begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}


چند مثال

مثال ۱: تابع F : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 را با این تعریف در نظر بگیرید:

    F(x,y)=\begin{bmatrix} x^2 y \\ 5x + \sin(y) \end{bmatrix}.

که در آن

    F_1(x,y)=x^2 y

و

    F_2(x,y)=5x + \sin(y)

ماتریس ژاکوبی F چنین است:

    J_F(x,y)=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial x} & \dfrac{\partial F_1}{\partial y}\\ \dfrac{\partial F_2}{\partial x} & \dfrac{\partial F_2}{\partial y} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2xy & x^2\\ 5 & \cos(y) \end{bmatrix}

و دترمینان ژاکوبی:

    \det(J_F(x,y))=2xy \cos(y) - 5x^2.

مثال ۲: ماتریس ژاکوبی تابع F : R3 → R4 شامل:

    y_1 = x_1 \,
    y_2 = 5x_3 \,
    y_3 = 4x_2^2 - 2x_3 \,
    y_4 = x_3 \sin(x_1) \,

چنین است:

    J_F(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix} \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_3} \\[3pt] \dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_3} \\[3pt] \dfrac{\partial y_3}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_3} \\[3pt] \dfrac{\partial y_4}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_3} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2 \\ x_3\cos(x_1) & 0 & \sin(x_1) \end{bmatrix}.

این مثال همچنین نشان می‌دهد که ماتریس ژاکوبی لزوماً نباید مربعی باشد.
کاربردها

از مهم‌ترین استفاده‌های این ماتریس، دترمینان آن است (در صورتی که مسلماً مربعی باشد) که در محاسبه انتگرال‌های چند بعدی، مورد استفاده قرار می‌گیرد. به این روش، روش تغییر متغیر در محاسبه انتگرال‌ها گفته می‌شود.

کارل گوستاو یاکوب یاکوبی

کارل گوستاو یاکوب یاکوب (به آلمانی: Carl Gustav Jacob Jacobi) (/dʒəˈkoʊbi/;[۱] آلمانی: [jaˈko:bi] (زاده ۱۰ دسامبر ۱۸۰۴ در پتسدام، - درگذشته ۱۸ فوریه ۱۸۵۱ در برلین) ریاضیدان آلمانی بود.
زندگی‌نامه

یاکوب در یک خانواده یهودی در پوتسدام متولد شد. او در دانشگاه برلین تحصیل کرد و دکترای خود را سال ۱۸۲۵ به دست آورد. از ۱۸۲۷ تا ۱۸۴۲ استاد ریاضیات در دانشگاه کونیگزبِرگ (University of Königsberg) (کالینینگراد امروزی) بود.

یاکوب پدیدآورنده نظریه توابع بیضوی است و در نظریه اعداد نیز، خدمات شایسته‌ای کرده است. از دیگر کارهای او می‌توان، پژوهش برروی هندسه دیفرانسیلی و معادلات دیفرانسیل جزئی در ریاضی-فیزیک نام برد.

ماتریس ژاکوبی، معادله همیلتون-ژاکوبی، روش ژاکوبی و بالاخره یک گودال بر روی سطح ماه نیز به نام او نامگذاری شده‌اند.

مشتق پاره‌ای

مشتق پاره‌ای یا مشتق جزئی، در مورد توابع چند متغیره، به مشتق تابع نسبت به یکی از متغیرها با ثابت نگه‌داشتن سایر متغیرها گفته می‌شود.

مشتق جزئی تابع f نسبت به متغیر x به یکی از صورت‌های زیر نمایش داده می‌شود:

    f^\prime_x,\ f_x,\ f_{,x},\ \partial_x f, \text{ or } \frac{\partial f}{\partial x}

از ∂ به عنوان نماد مشتق جزئی استفاده می‌شود. این نماد توسط آدرین-ماری لژاندر ابداع شد و پس از معرفی توسط کارل گوستاو ژاکوب ژاکوبی عمومیت یافت.

اگر تابع f را به صورت زیر تعریف کنیم،

    f(x, y) = \,\! 3x^2 + 5xy - 2y^4.\,

آنگاه مشتق f نسبت به x می‌شود:

    \frac{\partial f}{\partial x} = 6x+5y

و مشتق f نسبت به y خواهد بود:

    \frac{\partial f}{\partial y} = 5x-8y^3

معادله هامیلتون-ژاکوبی

در فیزیک و مکانیک معادلات هامیلتون-ژاکوبی فورمول‌بندی باز هم جدیدتری (پس از قوانین حرکت نیوتن، مکانیک لاگرانژی، و مکانیک هامیلتونی) از مکانیک کلاسیک است.
فورمول‌بندی

معادله هامیلتون-ژاکوبی یک معادلهٔ دیفرانسیل غیر خطی درجهٔ اول با مشتقات پاره‌ای است.

H\left(q_{1},\dots,q_{N};\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_{N}};t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0.

هامیلتونی (مکانیک کوانتومی)

در مکانیک کوانتومی، هامیلتونی (با نماد H)، مشاهده‌پذیری است که متناظر با انرژی کل سیستم است. در واقع هامیلتونی عملگر انرژی است و صورت عملگری تابع هامیلتونی در مکانیک کلاسیک است.

در فیزیک مقدماتی، معمولاً فرض زیر را درنظر می‌گیرند:

    H \left| a \right\rangle = E_a \left| a \right\rangle

در صورتی که هامیلتونی یک عملگر هرمیتی باشد، انرژی عددی حقیقی خواهد بود.
معادله شرودینگر

اگر \left| \psi (t) \right\rangle حالتی از سیستم در زمان t باشد:

    H \left| \psi (t) \right\rangle = \mathrm{i} \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle

که در آن \hbar ثابت پلانک کاهیده‌است. این معادله با عنوان معادله شرودینگر نیز شناخته می‌شود (که حالتی مشابه معادله هامیلتون-ژاکوبی می‌دهد)
معادلات هامیلتونی

مقدار انتظاری هامیلتونی انرژی است که به صورت زیر تعریف می‌شود:

    \langle H(t) \rangle \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \langle\psi(t)|H|\psi(t)\rangle = \sum_{nn'} a_{n'}^* a_n \langle n'|H|n \rangle