مندائیان

منداییان پیروان یحیای تعمیددهنده و یکی از اقلیت‌های مذهبی ایران، عراق و سوریه هستند. منداییان با نام صابئین نیز شناخته می‌شوند، و آنان را با فرقهٔ مغتسله پیوند داده‌اند؛ در حالی که این مکاتب نحله‌هایی مستقل اما مربوط به هم به شمار می‌روند. مغتسله فرقه‌ای مستقل بودند که اساسی‌ترین آیین‌شان غسل تعمید بود. اما منداییان همان‌گونه که گفته شد، پیروِ یحیی بودند که تعمیددهندهٔ مسیح بود.[۲] کیش مندایی در شمار مکتب‌های گنوسی می‌باشد. [۳]

در بعضی سنت‌های اسلامی آنان را به اشتباه ستاره‌پرست دانسته‌اند.[۴]اما ایشان خود را پیروان یحیای پیامبر می‌دانند. و این حقیقت اصلی است؛ چراکه عده‌ای از ستاره پرستان اهل حران از ترس خلیفه مسلمین که با آنان اتمام حجت کرده بود خود را به دلیل اغماضی که قرآن نسبت به صابئین روا داشته بود صابئی خواندند.[۵][۶]

منداییان در کناره‌های رودخانه‌های دجله، فرات و کارون زندگی می‌کنند.[۷] جمعیت آن‌ها را ۷۰ هزار نفر در عراق و ۲۵ هزار نفر در ایران برآورد می‌کنند.[۸] قریب ۷۵۰۰۰ نفر تا سال ۲۰۰۲ در عراق زندگی می‌کردند که پس از جنگ میان آمریکا و عراق بیشتر آنها به اردن و سوریه و نیز کشورهای غربی کوچ کردند.[نیازمند منبع] اصلی‌ترین رکن دینی آن‌ها غسل تعمید در روزهای یک‌شنبه در آب روان است.[۹] بالاترین ردهٔ روحانیان در میان آن‌ها «گنجور» و پس از آن «تَرمیده» است.[۱۰]

محتویات

    ۱ واژه‌شناسی
    ۲ دین
        ۲.۱ اساطیر مندایی[۱۴]
    ۳ کتاب مقدس منداییان
    ۴ آداب و سنن
    ۵ پیروان امروزی
    ۶ پانویس
    ۷ پیوند به بیرون

واژه‌شناسی
قسمتی از مجموعه مقاله‌های دین گنوستیک
Simple crossed circle.svg
گنوستیک
تارخچه‌ی آیین گنوسی
آیین‌های گنوسی اولیه
آیین گنوسی در عصر جدید
آبای گنوسی
فیلون
شمعون مغ
مرقیون
والنتین
بازیلیدس
مقالات مرتبط
گنوستیک
مندایی
آیین مانوی

    ن
    ب
    و

مَندا واژه‌ای از زبانِ آرامیِ شرقی به معنی «دانش، آگاهی، و معرفت» است. و به یک معنا، برابرنهادِ گنوس است. [۱۱] واژه مغتسله نیز به معنی مذهب تعمیدیان گاهی بدیشان اطلاق شده‌است و این سوای از تعمیددهنده بودن یحیی آخرین پیامبر مذهب مندایی به دلیل مراسم همیشگی غسل تعمید است که از آداب و آیین‌های منداییان به شمار رفته و همچنان نیز می‌رود. گاهی نیز نام منداییان را از ریشه ماد یا مادای که نام سرزمین باستانی شمال غربی ایران بوده دانسته‌اند، اما این نظر میان پژوهشگران بسیار منفرد بوده و از اقبال چندانی برخوردار نیست.[۱۲] بیشتر همان واژه مندا را که در زبان آرامی برابر عرفان قرار دارد، برای آن فرض نموده‌اند. نام‌های دینی و مقدس منداییان آرامی است و با اندکی تغییر در زبان‌های عبری و عربی نیز همانند است. به عنوان نمونه برای آوردن نام شیث از شیتل و برای نام سام بن نوح از شوم و نیز برای خود نوح از نو استفاده می‌کنند. منداییان را گاهی با صابئین که ذکر آن در قرآن سه بار آمده، یکی فرض کرده‌اند از این رو در خوزستان ایشان به صابئین معروف‌اند که در لفظ محلی صُبّی تلفظ می‌شود.[۱۳]
دین

آنها به خدا و قیامت اعتقاد دارند. برای خود زبان و خط دارند. اهل نماز و روزه هستند. آنها روزانه پنج بار نماز می‌خوانند و دارای کتاب هستند و در قرآن نیز نه تنها به اهل کتاب بودن یحیی اشاره شده بلکه در سه آیه نام صابئین هم‌تراز پیروان ادیان آسمانی قرار گرفته‌است، مانند سوره حج آیهٔ هفده. نام کتاب منداییان «گنزا رباً» یا «گنج آسمانی» ست که به زبان مندایی از تیره سامی و شاخه آرامی شرقی نگاشته شده‌است. در دین منداییان یا همان صابئین مغتسله که در خوزستان به صبی معروف هستند پنداره‌هایی همانند آنچه در جهان‌بینی زرتشت به چشم می‌خورد وجود دارد، مانند اصالت نور و پاکی آن در برابر تاریکی گمراه کننده.[نیازمند منبع] آیین مندایی نزدیک‌ترین دین زنده جهان به آیین مانوی است.
اساطیر مندایی[۱۴]

بنیاد اندیشهٔ مندایی همان ثنویت، یا دو بن‌نگری است. دو گوهرِ روح و مادّه از آغاز آفرینش با هم در ستیزند. اساطیر مندایی بیشتر دربارهٔ اقلیم ازلیِ نور، آفرینش زمین و انسان، و سفر بازگشتِ روح به سرچشمهٔ سرزمینِ نور است.

خدای بزرگِ نورانی و روحانی در کیش مندایی، هیی یا حیات اعظم نام دارد که برابرنهادِ زروان در کیش مانی است. او همسری دارد به نام کنزالحیات (گنج زندگی)، که با او در کنار موجودات اثیری در بهشت برین می‌زید.

یکی از این موجوداتِ اثیری، پتاهیل، آفرینندهٔ جهان مادی و انسان است. روح علوی را در نهاد انسان می‌نهند و معرفت را بدو می‌آموزاند. انسان از طریق همین معرفت است که روح‌القدس را در می‌یابد و باید روح را از قفس آزاد کند. زمان و فضا، دیوی و اهریمنی‌اند. در عین حال، نجات‌بخشان و راهنمایان آسمانی میان آسمان و زمین تردد می‌کنند تا دست‌گیرِ ره‌روان باشند.

جهان از دید اساطیر مندایی بر سه قسم است. جهان بالا که سرزمین نور است و نامحدود از همه طرف بجز جنوب و مرکز جهان مادی است و در جنوب جهان زیرین قرار دارد که منداییان آن‌را سیناویس می‌نامند.برزخ میان زمین و جهانِ روشنی قرار دارد، و هم‌چون گذرگاهی سخت برای آزمایش ارواحِ نجات‌یافته‌است. دیوانی هستند که نگاه‌بان برزخ‌اند و گاه پادافراه دهند و آزمون‌کننده‌اند.اساطیر مانوی به طرز مشخصی ملهم از اساطیر مندایی می‌باشد.
کتاب مقدس منداییان

کتاب مقدس منداییان گنزا ربّا (گنج عظیم) است و به بخش گنزای راست و گنزای چپ تقسیم می‌شود. کتاب‌های شش‌گانه‌ای نیز دارند که عبارتند از: ۱)ادراشا اد یحیی (تعالیم یحیی)؛ ۲)قُلِستا (مجموعهٔ قوانین)؛ ۳)اِنیانی (نمازها و نیایش‌ها)؛ ۴)سیدرا اد نماشتا (کتابِ روانِ آدمی)؛ ۵)اِسفَر مَلوشی (دینی یا نجومی)؛ ۶)سیدرا اد مَصوَتَا (کتاب تعمید). [۱۵]
آداب و سنن

صابئین مندایی روزانه پنج بار نماز بجای می‌آورند. در دین آنها آب روان و جاری قداست و پاکی ویژه‌ای دارد و برای بسیاری از فرایض از آب روان استفاده می‌گردد. ازین رو غالباً صابئین در کنار رودخانه‌های پرآب زندگی می‌کنند. شغل اصلی آنها زرگری و طلافروشی و نقره کاری ست. در زمان ازدواج برای محرم شدن عروس و داماد باید در آب رفته و غسل کنند. غسل سنت پیغمبرشان یحیی‌ست که او خود به یحیای معمدان یا باپتیست معروف بوده‌است.

کتاب صابئین بنام گنزاربا یا صحف آدم است که توسط ملکا هیبل زیوا (جبرائیل رسول) بر اولین پیامبر صابئین یعنی آدم نازل شد و ادیان الهی دیگر بعد از دین صابئین به وجود آمدند. در کتاب مقدس صابئین آمده است:

    هازن هو رازا و سیدرا اد من هو لاقدمی

    ترجمه: این است راز و کتاب اول که پیش از آن کتابی نبود.

[نیازمند منبع]

پیامبران صابئین آدم، شیتل، نوح، سام و یحیی است. دین صابئین بر پایه توحید و معاد و نبوت است. قبله صابئین رو به شمال است و اعتقاد آنان این است ترازوی عدل الهی در شمال قرار دارد و عرش اعلا در شمال قرار دارد، چون صابئین تمام مراسم دینی خود را رو به شمال انجام می‌دهند و ستاره جدی در شمال قرار دارد این شبه را برای بعضی از محققین ایجاد نموده بود که صابئین ستاره جدی را می‌پرستند.[نیازمند منبع]
پیروان امروزی

از آنجاییکه مندائیان همواره در ایران و عراق مورد تبعیض قرار گرفته[۱۶] و [۱۷]، سالهای اخیر مهاجرت تعداد کثیری از این اقلیت به کشورهای دیگر را به خود دیده‌است. امروزه مندائیان را در اقصی نقاط جهان همچون سیدنی و سن آنتونیو، تگزاس در شمارش نسبتاً انبوه می‌توان دید.

عرفان‌گرایی

گنوستیسیزم (به انگلیسی "gnostikos" ،به عربی "الغنوصیة‎" )، مذهبی است که در قرن دوم میلادی در کشور روم توسعه یافت. گنوستیک‌ها به ثنویت اعتقاد داشتند اما میان ثنویت مزدایی و دو پرستی گنوستیک‌ها فرق وجود دارد. بنابر اعتقاد مزدیسنان هر یک از دو عالم مذکور هم معنوی است و هم مادی ولی گنوستیک‌ها بالعکس عالم روح را عین عالم نور و جهان ماده را عین جهان ظلمت می‌دانستند. نتیجه این قسم اعتقادات نسبت به عالم این شد که بدبینی به اصل خلقت رواج گرفت و پیروان این فکر به زهد و ترک مایل شدند. بی شک قبل از قرن دوم میلادی نیز هم افکار گنوستیکی وجود داشته‌است زیرا که در میان یهودیان اسکندریه هم این افکار رایج بوده‌است. از قرن دوم به بعد گنوستیک‌ها برای تأئید اقوال خویش به کتب مقدس عیسوی استناد می‌جستند. مسلک بازیلید، مسلک والانتن، و مسلکی که مرقیون و تصوفی که اوفیت‌ها، ناسن‌ها و الکزائیت‌ها آورده اند از انواع فرقه های گنوستیک هستند. این فرقه ها در عقاید و رسوم مذهبی باهم اختلاف دارند ولی با این وجود خط فکری مشترکی در تمامی آنها به چشم می‌خورد.[۱]

بنابر قول گنوستیک‌ها خدا در ماوراء عالم محسوس و حتی در آنسوی جهان معقول است. او پدری است که از نام و نشان و گمان برتر است و فکر بشری را به دامن کبریای او دسترس نیست. جهان به واسطهٔ اشراقات دائمی که از ذات این خدای اصلی صادر می‌شود، بوجود می‌آید و مراتب این تجلیات نزولی است یعنی هر یک از اشراقات نسبت به ماقبل خود فرومایه‌تر است تا منتهی گردد به عالم مادی که آخرین اشراق و ناپاک‌ترین تجلیات است ولی در این جهان مادی شوقی هست که او را به مبداء الهی باز پس می‌کشاند. ماده یعنی عالم جسمانی منزلگاه شر است اما یک بارقهٔ الهی که در طبیعت انسان به ودیعه است. راه نجات را به او نشان می‌دهد و او را در حرکت صعودی که از میان افلاک می‌کند، دستگیری نموده، به عالم نور می‌رساند. این اعتقاد گنوستیک‌های متأخر راجع به اساس نظام جهان است. آنها انسان یا انسان نخست را وجودی نیم خدا می‌دانستند و ظاهراً این مفهوم را از اساطیر ایرانی (کیومرث) گرفته بودند. بعضی از گنوستیک‌ها انسان نخست را آدم دانسته‌اند و بعضی او را مسیح ازلی گفته‌اند و طایفه‌ای بر آن بودند که حقیقت انسان نخست در آدم حلول کرده و پس از آن به صورت مسیح ظاهر شده‌است. اوست نخستین مولود خدای بزرگ که در ماده نزول کرده و جان جهان محسوب است. او را نیم خدا و عقل و کلمه هم می‌گفتند. با ایجاد این انسان، قوس نزول در ماده شروع شده و بوسیلهٔ او نزاع و کوشش برای نجات صورت می‌گیرد اما نجات میسر نیست، مگر با عنایت الهی، از این جاست که در همهٔ کتاب‌های گنوستیک ظهور یک نفر رهاننده وعده داده شده‌است. همین اعتقاد بود که گنوستیک‌ها را پیرو دین مسیح کرد زیرا که منجی موعد را عیسی مسیح دانسته‌اند.[۲]

بعضی از فرق گنوستیک برآنند که عیسی خلاص کنندهٔ صوفیا از قید ماده است. مقصود از صوفیا عقل آسمانی است که در ماده افتاده‌است. فرقهٔ «والانتینی» معتقد بودند که میان خدای منجی موسوم به سوتر و صوفیا ازدواج و عروسی واقع شده‌است و به یاد این واقعه جشن مذهبی که عبارت از عید حجلهٔ عروسان بود، می‌گرفتند اساطیر و قصصی که راجع به تکوین جهان ساخته شده، همه برای تعبیر و تأویل مراسم عبادتی بوده‌است. اجراکنندگان این مراسم در طی انجام وظایف خود جدال عظیمی را که همهٔ آفرینش برای نجات خود در پیش دارند، برأی‌العین مشاهده می‌کرده‌اند که چگونه به وسیلهٔ معرفت رهایی میسر تواند شد و زنجیرهای ماده تواند گسیخت. عرفان علم حقیقی است نه علم فکری دانشی است که از راه قلب و به طریق کشف و شهود تحصیل می‌شود و طریق آن توجه به باطن و مشاهدهٔ امور معنوی با چشم دل است که انسان را صاحب معرفت عالی می‌کند و در نشاط جدیدی متولد می‌سازد. بنا بر قول شدر، معرفت دانش حقیقی است که به سبب حق بودنش انسان را نجات می‌بخشد.

اکثر گنوستیک‌ها که از طریقهٔ آنها کم و بیش آگاهی داریم، از مردم ولایات شرقی ممالک روم بوده‌اند. یکی از فرقه‌های گنوستیک بین النهرین و بابل فرقهٔ مندائی یا ماندائی است و دیگر فرقه که در کتب عرب آنها را مغتسله نامیده‌اند و یکی از مأخذ کیش مانوی محسوب است. عرب همهٔ فرقه‌های گنوستیک مشرق را که افکارشان در زمان اسلام هم رواجی داشته‌است، به نام حنیف یا صابئین خوانده‌است.

الفهرست (ابن ندیم)

کتابِ الفهرست، نوشتهٔ محمد ابن اسحاق ابن ندیم است. این کتاب در ۳۷۷ ه. ق. به انجام رسید. کتاب، دربر گیرندهٔ اطلاعاتِ گسترده‌ای است دربارهٔ کتاب‌ها و خطوطِ دورهٔ ساسانی. همچنین، مرجع بسیار درخوری است در مورد مانی و آیین مانی. این کتاب را فهرس العلوم نیز نامیده‌اند.

اصول اقلیدس (کتاب)

کتاب اصول هندسهٔ اقلیدس (زبان یونانی باستان: Στοιχεῖα Stoicheia، انگلیسی: Euclid's Elements) حدود ۳۰۰ قبل از میلاد توسط اقلیدس اسکندرانی تالیف شد.

آنچه موجب تعجب و تحسین صاحب‌نظران است دستیابی به این ره‌آورد عظیم علمی با متد گفتاری است.

محتویات

    ۱ اهمیت کتاب
    ۲ نام اصلی کتاب
    ۳ پانوشت‌ها
    ۴ منابع

اهمیت کتاب

اصول هندسه اقلیدس، که آن را در کنار شاهکارهای علمی بشر مثل نظریه جاذبه عمومی نیوتن و نسبیت اینشتن و کشف DNA قرار داده‌اند، نقطه عطفی در روند تکاملی علوم بشری است، یعنی اقلیدس موفق شد زحمات علمی نوابغ جهان ریاضی قبل از خودش را ساماندهی دقیق علمی کند و سامانه اصل موضوعی (Axiomatic system) را برای آیندگان به ارمغان آورد، به طوری که پس از قرنها فرزندان علمی او در قرن بیستم بهترین روش علمی را روش اصل موضوعی او تشخیص داده و آن را به علوم دیگر غیر هندسه نیز سرایت دادند.

ساختمان علمی این کتاب هم تا زمان کشف هندسه‌های نااقلیدسی به عنوان هندسه مطلق حکمفرمائی می‌کرد.[۱]
نام اصلی کتاب

ابن ندیم در فن دوم مقاله هفتم از کتاب معروف الفهرست می‌گوید: «اقلیدس صاحب جومطریا (Geometry) که به معنای هندسه‌است می‌باشد، او پسر نوقطرس پسر برنیقس است، از پیشگامان در هندسه‌است و جلوتر از ارشمیدس می‌زیسته‌است، نام کتاب او اسطورشیا به معنای اصول هندسه‌است.»

هم‌نهشتی (هندسه)

در هندسه دو شکل هم‌نهشت هستند اگر هم شکل و هم‌اندازه باشند.

نظریه گروه‌ها

شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعه گروه‌ها اختصاص دارد نظریه گروه‌ها نامیده می‌شود. گروه از جمله مهم‌ترین ساختارهای جبری است که نقش اساسی در جبر مجرد دارد و در علوم مختلف مانند بلور شناسی، فیزیک، کوانتم و... از اهمیت بالایی برخوردار است.

فکر تشکیل نظریه گروه‌ها زمانی شکل گرفت که ریاضیدانان مشاهده کردند ساختارهایی را که مطالعه می‌کنند در خواصی مشترک هستند و اگر بتوانند همه این خواص را در مورد یک ساختار مشخص بررسی کنند در حقیقت بخش وسیعی از ساختارهای مشابه را مطالعه کرده‌اند و به این ترتیب در زمان صرفه جویی می‌شود.

محتویات

    ۱ مرور تاریخی
    ۲ گروه‌ها
        ۲.۱ گروه دوری
        ۲.۲ گروه جایگشتی
        ۲.۳ گروه متناهی
        ۲.۴ گروه آبلی
        ۲.۵ گروه آبلی متناهی
        ۲.۶ گروه خارج قسمتی
        ۲.۷ گروه متقارن
        ۲.۸ گروه دووجهی
    ۳ اصطلاحات موجود در نظریه گروهها
    ۴ تعاریف و ویژگی‌های مقدماتی
        ۴.۱ توان در گروه‌های ضربی
        ۴.۲ مرتبه گروه
        ۴.۳ زیرگروه
        ۴.۴ قضایای مقدماتی
    ۵ هم‌ریختی و یک‌ریختی
        ۵.۱ هم مجموعه‌ها
    ۶ قضایای پیشرفته در نظریه گروه‌ها
        ۶.۱ قضیه لاگرانژ
        ۶.۲ قضیه پوانکاره
        ۶.۳ قضیه کیلی
        ۶.۴ قضایای سیلو
        ۶.۵ قضیه برنساید
        ۶.۶ لم برنساید
        ۶.۷ قضایای ایزومورفیسم
        ۶.۸ لم جوردن-هولدر
    ۷ نمونه‌هایی از گروههای مهم
    ۸ کاربرد گروهها
        ۸.۱ نظریه گروه در شیمی
    ۹ همچنین ببینید
    ۱۰ منابع

مرور تاریخی

نظریه گروه‌ها به‌وسیله چهارشاخه عمده از ریاضیات جبر کلاسیک، نظریه اعداد، هندسه و آنالیز رشد و گسترش یافت. جبر کلاسیک در سال ۱۷۷۰ با کارهای ژوزف لویی لاگرانژ برروی معادلات چندجمله‌ای پایه‌گذاری شد.

نظریه اعداد به‌وسیله کارل فردریش گاوس در سال ۱۸۰۱ مورد مطالعه و گسترش هرچه بیشتر قرار گرفت و سی. اف. کلاین در زمینه هندسه و ارتباط تبدیلات هندسی و گروه‌ها کارهای بسیار انجام داده‌است به طوری که او را پدر این بخش از نظریه گروه‌ها می‌دانند و بنیانگذار شاخه آنالیز نیز هنری پوانکاره، اس. لی لای و سی. اف کلاین هستند.

اما اویلر(Euler)، گاوس(Gauss)، لاگرانژ(Lagrange)، آبل(Abel) و ریاضیدان فرانسوی گالوا(Galois) اولین کسانی بودند که در زمینه نظریه گروه‌ها به تحقیق پرداخته بودند. خصوصاً گالوا بدلیل قضیه اساسی خود که رابطی بین گروه‌ها و حلقه‌ها است و امروزه آن را قضیه گالوا می‌خوانند بسیار مورد توجه است.

اگرچه مفهوم گروه تبدیل‌ها در مطالعه هندسه به کندی صورت گرفته است، اما کار اصلی در گسترش مفهوم گروه از مطالعه معادلات چندجمله‌ای حاصل شده است. یونانیان قدیم از روش‌های حل معادله درجه دو آگاه بودند. در قرن شانزدهم قدم‌هایی برای حل معادلات درجه سوم و چهارم روی Q برداشته شد. اولین کاربرد گروهها در توصیف تأثیر جایگشتهای ریشه‌های یک معادله چند جمله‌ای بوده‌است که به‌وسیله لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفته‌است که بر مبنای همین او توانست نظریه جانشانی را سازمان دهد.

او کشف کرد که ریشه‌های همه مواردی را که او امتحان کرده‌است توابعی گویا از ریشه‌های معادلات متناظرشان هستند. لئونارد اویلر(۱۷۰۷-۱۷۸۳) و ژوزف لویی لاگرانژ(۱۷۳۶-۱۸۱۳) هر دو، با ادامه کار با چند جمله‌ای‌های درجه پنجم و بالاتر سعی کردند معادله درجه پنجم کلی را حل کنند. لاگرانژ دریافته بود که بین درجه n معادله چند جمله‌ای و گروه جایگشتی Sn باید رابطه‌ای وجود داشته باشد. پس از او رافینی در تلاش برای اثبات عدم وجود راه حل مستقیم برای حل معادلات درجه پنجم و بالاتر گامهای دیگری را در زمینه نظریه گروهها برداشت.

اما این نیلس هنریک آبل(۱۸۰۲-۱۸۲۹) بود که سرانجام ثابت کرد پیدا کردن فرمولی برای حل معادله درجه پنجم کلی، تنها با جمع و تفریق و ضرب و تقسیم و ریشه گیری ممکن نیست.

در طی همین دوران، اواریست گالوا (۱۸۱۱-۱۸۳۲) ریاضیدان معروف فرانسوی وجود شرط لازم و کافی برای حل چند جمله‌ای درجه پنجم یا بالاتر با ضرایب گویا، به وسیله رادیکال‌ها را تحقیق کرد. در کار گالوا ساختارهای گروهی و هیات‌ها به کار می‌روند.گالوا نخستین اثر خود را در مورد نظریه گروهها در سن ۱۸ سالگی(۱۸۲۹)منتشر ساخت. اما کمک‌های او تا قبل از انتشار مجموعه مقالاتش در سال ۱۸۴۶ مورد توجه قرار نگرفت.

به دنبال دستاوردهای گالوا، نظریه گروه‌ها جای خود را در بسیاری از زمینه‌های ریاضی باز کرد. مثلا، ریاضی‌دان آلمانی فلیکس کلاین (۱۸۴۹-۱۹۲۹) در آنچه که به برنامه ارلانگر معروف است، سعی کرد که تمام هندسه‌های موجود را بر حسب گروه تبدیل‌هایی که تحت آن‌ها ویژگی‌های هندسه ناوردا بودند تدوین کند.

بعد از او آرتور کیلی و آگوستین لویی کوشی به اهمیت کارهای گالوا پی بردند و به تحقیقات بیشتر در این زمینه پرداختند. از جمله ریاضیدانانی که در قرن نوزدهم در زمینه نظریه گروهها کار می‌کردند می‌توان برتراند، چارلز هرمیت، فروبنیوس و لئوپارد کرونکر و امیل ماتیو را نام برد.

تا آن زمان اصول موضوع معینی برای تعریف گروه وجود نداشت. در سال ۱۸۵۴ کیلی اولین اصول موضوع را برای گروهها ارائه داد اما تعریف وی به زودی فاقد ارزش شد. در سال ۱۸۷۰، کرونکر مجدداً اصول موضوعی را برای گروهها پایه گذاشت. همچنین اچ. وبر در سال ۱۸۸۲، تعریفی برای گروه‌های متناهی و در سال ۱۸۸۳ تعریفی برای گروههای نامتناهی انجام داد.

والتر فون دایک در سال ۱۸۸۲ اولین تعریف مدرن از گروه را ارائه داد.

مطالعه گروههای لای و زیرگروههای گسسته شان و گروههای تبدیلی در سال ۱۸۸۴ به طور منظم توسط سوفوس لای شورع شد.

در طی قرن بیستم پژوهش‌های بسیار زیادی برای تحلیل ساختار گروه‌های متناهی صورت گرفت. در دهه‌های اخیر، ریاضیدانان در جست و جوی همه گروه‌های ساده متناهی و توضیح نقش آن‌ها در ساختار تمام گروه‌های متناهی بوده‌اند. از جمله پشگامان این بسط، والترفیت، جان تامسن، دانیل گورنشتین، می‌شاییل آشباخر و رابرت گریس هستند.

امروزه نظریه گروهها به بنیادی‌ترین نظریه‌ها در جبر مجرد تبدیل شده‌است و منبع تحقیقات فراوانی برای ریاضیدانان است.
گروه‌ها

ابتدا یادآوری می‌کنیم که یک ساختمان جبری عبارت است از یک مجموعه به همراه یک یا چند عمل دوتایی و رابطه که روی آن مجموعه تعریف شده‌است. گروه نیز از جمله ساختمان‌های جبری است.

گروه یک ساختار جبری بر روی یک گروه ناتهی است که نسبت به یک عمل دوتایی بسته باشد و نسبت به آن عمل دارای خاصیت شرکت پذیری باشد. هم چنین وجود عنصر همانی و عنصر عکس در این ساختار الزامیست. به موجب این تعریف:
اگر G مجموعه ناتهی و ο عملی دوتایی روی G باشد، آن‌گاه (G,ο) را یک گروه می‌نامیم اگر شرایط زیر برقرار باشد:

    برای هر a ο b ∈ G، a,b ∈ G. (بسته بودن G نسبت به عمل ο)
    برای هر a ο (b ο c) = (a ο b) ο c، a,b,c ∈ G. (ویژگی شرکت پذیری)
    برای هر a ∈ G، یک e∈G وجود دارد که a ο e = e ο a = a. (وجود عنصر همانی)
    برای هر a ∈ G، یک b∈G وجود دارد که a ο b = b ο a = e. (وجود عنصر عکس) گروه‌ها را می‌توان بسته به ویژگی‌های آن دسته‌بندی کرد:

گروه دوری

گروه G را دوری می‌گویند اگر یک عنصر x ∈ G وجود داشته باشد به قسمی که برای هر a ∈ G، برای مقداری از n متعلق به N، داشته باشیم: a = xn

مفهوم گروه دوری به مفهوم وابسته‌ای منجر می‌شود. فرض کنید گروه G را داریم، اگر a ∈ G، مجموعه S= {an>|k∈Z}۰ را در نظر می‌گیریم. از مطالب ذکر شده به عنوان قضیه می‌توان به این نتیجه رسید که S زیر گروه G است. این زیر گروه را زیر گروه تولید شده به وسیله a می‌نامند و با <a> نمایش می‌دهند.

در این جا تعداد اعضای S را مرتبه a می‌نامند و با σ(a)0 نمایش می‌دهند که در واقع |<a>| می‌باشد. در صورتی که |<a>| نامتناهی باشد می‌گوییم که a مرتبه نامتناهی دارد.

در این جا قضایای تعیین کننده روابط بین گروه و زیرگروه‌های آنها را بیان می‌کنیم.

    فرض کنید a ∈ G و & sigma;(a) = n. اگر k ∈ Z و ak = e آنگاه n|k.
    درصورتی که G یک گروه دوری باشد.
        اگر G متناهی باشد، آنگاه با (+,Z) یکریخت است.
        اگر مرتبه G برابر با n باشد، آنگاه با (+,Zn) یکریخت است.
    هر زیرگروه یک گروه دوری، گروهی دوری است.

گروه جایگشتی

گردایه تمام جایگشت‌های مجموعه‌ای ناتهی چون A، با عمل ضرب (ضرب جایگشت‌ها) تشکیل یک گروه می‌دهد که به آن گروه جایگشتی Permutation Group می‌گویند.
اگر A مجموعه متناهی {۱و۲و.... وn} باشد، آنگاه گروه تمام جایگشتهای A، گروه متقارن روی n حرف است و با Sn نمایش داده می‌شود. (گروه متقارن=Symmetric Gtoup)
تعداد عضوهای گروه sn برابر است با !n) n فاکتوریل). گروه های جایگشتی
گروه متناهی

گروه متناهی گروهی است که به مرتبه آن (به مرتبه گروه در همین مقاله مراجعه کنید) نتوان عددی نسبت داد.(تعداد اعضا محدود نباشند)
گروه آبلی

گروه آبلی یا تعویض پدیر گروهی است که علاوه بر خصوصیت‌های بالا، تعویض پذیر نیز باشد. صفت آبلی به افتخار ریاضیدان نروژِی، نیلس هنریک آبل اختیار شده‌است. برای هر a,b ∈ G، داریم a ο b = b ο a
گروه آبلی متناهی

گروه‌های آبلی متناهی، گروهی است که علاوه بر مرتبه متناهی دارای خاصیت جابجایی در عمل بین اعضای خود باشد.
گروه خارج قسمتی

        گروه خارج قسمتی

گروه متقارن

اگر A مجموعه متناهی {۱و۲و.... وn} باشد، آنگاه گروه تمام جایگشتهای A، گروه متقارن روی n حرف است و با Sn نمایش داده می‌شود. (گروه متقارن Symmetric Group)
تعداد عضوهای گروه sn برابر است با !n) n فاکتوریل).
به عنوان مثال ۳ جایگشت از s6 را رائه می دهیم:
گروه های متقارن
گروه دووجهی

گیریم n عددی صحیح باشد و n\ge 3 . تقارنهای دورانی و محوری n ضلعی منتظم را در نظر بگیریدچند وجهیها n تقارن دورانی وجود دارد : این تقارنها عبارت اند از \rho _{n-1},...,\rho _1,\rho _0 که \rho _k دوران (در جهت حرکت عقربه های ساعت)حول مرکز O به اندازه زاویه2k\pi /n است. همچنین n تقارن محوری وجود دارد : این تقارنها عبارت اند از تقارن نسبت به هر یک از n محوری که از O و یک راس یا نقطه وسط یک ضلع چند ضلعی می گذرند.
پس در مجموع 2n تقارن داریم، این 2n تقارن دورانی و محوری تحت عمل ترکیب ، به عنوان عمل ضرب ،(یعنی به ازای دو تقارن f و g حاصلضرب fg به معنای این است که « ابتدا f عمل می کند و سپس g » )تشکیل گروه می دهند. این گروه را گروه دووجهی مرتبه 2n می نامند، و با D_{2n} نشان می دهند.
اصطلاحات موجود در نظریه گروهها

عمل دوتایی - گروه آبلی - زیرگروه - مرکز گروه - هم مجموعه‌ها - مرکز ساز گروه - نرمال ساز گروه - زیرگروه نرمال - مرتبه گروه - مرتبه عضو - گروه دوری - گروه خارج قسمت - گروه متقارن - همومورفیسم - قضایای ایزومورفیسم - حاصل ضرب مستقیم - تزویج - معادله کلاسی - قضیه کیلی - قضیه لاگرانژ - قضیه کوشی - قضایای سیلو
تعاریف و ویژگی‌های مقدماتی

    در صورتی که برای عمل گروه نشانه‌ای در نظر نگیریم به صورت پیش فرض ضربی خواهد بود.

توان در گروه‌های ضربی

برای هر عنصر توان را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
a۰ = e.

n ≥۰، an+1 = an.a
از طرف دیگر چون هر عنصر گروه عکسی دارد، باید a-n در نظر گرفته شود، برای n ∈ Z+ تعریف می‌کنیم:
همچنین برای am.an = am+nm,n∈ Z وam)n = amn) می‌باشند.(در مورد گروه با عمل با خواص جمعی خواص متناظر با این موارد مشاهده می‌شود.)
مرتبه گروه

    وقتی G گروه متناهی است، تعداد عنصرهای آن را مرتبه G می‌نامند و با |G| نمایش می‌دهند.

مثلا برای Zn,+)| = n ،n ∈ Z+v)| و برای هر عدد اول p، داریم: Zp*,.)| = p-1)|
زیرگروه

زیرمجموعه ناتهی H از گروه G را زیرگروه G می‌گوییم هرگاه H تحت عمل گروه G تشکیل یک گروه بدهد. اگر H زیرگروه G باشد می‌نویسیم H⊆G.

توجه داشته باشید که از آن جا که H خود یک گروه‌است، سایر خواص یک گروه را داراست.
قضایای مقدماتی

    برای هر گروه G
        عنصر همانی G یکتاست.
        عکس هر عنصر G یکتاست.
        اگر ac = ab، a,b,c ∈ G در این صورت b = c.(حذف از چپ)
        اگر ca = ba، a,b,c ∈ G در این صورت b = c.(حذف از راست)
        برای هر ab)۲ = b۲a۲، a,b ∈ G) اگر و تنها اگر گروه G آبلی باشد.
    اگر H زیرمجموعه‌ای ناتهی از گروه G باشد، H زیرگروه G است اگر و فقط اگر:

    H تحت عمل G بسته باشد یعنی برای هر a,b∈H داشته باشیم ab∈H
    H تحت معکوس هر عضو بسته باشد، یعنی اگر a∈H آنگاه a-۱∈H

    شرط تناهی این وضعیت را بهتر می‌کند:

اگر G گروه باشد و π ≠ H ⊆ G و H متناهی باشد، آن گاه H زیرگروه G است اگر و تنها اگر H تحت عمل دودوی G بسته باشد.

    فرض کنید (G,ο) و (*,H) دو گروه باشند. عمل دوتایی. را بر G×H به نحو زیر تعریف می‌کنیم:

(g۱,h۱).(g۲,h۲) = (g۱οg۲,h۱*h۲)

در این صورت، (. ,G×H) یک گروه‌است و حاصل ضرب مستقیم G و H خوانده می‌شود.
هم‌ریختی و یک‌ریختی

در صورتی که (G,ο) و (*,H) دو گروه باشند و f:G→H، در صورتی که برای هر a,b ∈ G داشته باشیم: f(aοb) = f(a)*f(b)0 آنگاه f را هم‌ریختی گروهی می‌نامند. اگر بدانیم که ساختارهای داده شده گروه هستند f را فقط همریختی می‌خوانیم.

    فرض کنید (G,ο) و (*,H) گروههایی به ترتیب با عناصر همانی eG و eH باشند، اگر f:G→H در این صورت:
        f(eG) = eH
        برای هر a ∈G، f(a-۱) = [f(a)]-۱
        برای هر a ∈G و هر n ∈Z، f(an) = [f(a)]n
        برای هر زیر گروه S از f(S)، G زیر گروه Hاست.

اگر f:(G,ο) &→ (H,*)۰ یک هم‌ریختی باشد، f را یک یک‌ریختی می‌نامند اگر و تنها اگر f یک به یک و پوشا باشد. در این حالت می‌گویند G و H گروه‌های یکریختند.
هم مجموعه‌ها

هم مجموعه‌ها در نظریه گروه‌ها، از مفاهیم اساسی برای تعریف گروه خارج قسمت هستد و در سراسر نظریه گروه‌ها به آنها برخورد می‌کنیم. در صورتی که H زیر گروه G باشد، آنگاه برای هر a ∈ G مجموعه aH={ah|h ∈ H}۰ را هم مجموعه چپ H در G می‌نامند. مجموعه Ha={ha|h ∈ H}۰ هم مچموعه راست H در G است. (به همین ترتیب در صورتی که عمل گروه دارای خواص جمعی باشد مجموعه‌های H+a={h+a|h ∈ H}۰ و a+H={a+h|h ∈ H}۰ هم مجموعه‌های چپ و راست خواهند بود.)

    اگر H زیر گروهی از گروه متناهی G باشد، آنگاه برای هر a,b ∈ H داریم:
        |aH| = |H|
        aH = bH یا aH ∩ bH = Φ

از کاربردهای اولیه هم مجموعه‌ها در اثبات قضایایی نظیر قضیه لاگرانژ است که جلوتر به آن اشاره می‌شود.
قضایای پیشرفته در نظریه گروه‌ها
قضیه لاگرانژ

قضیه لاگرانژ بیان می‌کند که اگر G یک گروه متناهی و H زیرگروه G باشد، مرتبه H مرتبه G را عاد می‌کند. قضیه لاگرانژ با استفاده از مفهوم هم مجموعه‌ها به راحتی قابل استفاده‌است. فرع‌های زیر از قضیه لاگرانژ قابل استنباط هستند:

    اگر G گروهی متناهی باشد، و a ∈ G، آنگاه |o(a)| |G.
    هر گروهی که مرتبه آن یک عدد اول باشد، گروهی دوری است.
    اگر G گروهی متناهی از مرتبه n باشد و x∈G آنگاه xn=e.

برای اثبات این مطلب زیرگروه دوری تولید شده توسط x یعنی <x> را در نظر می‌گیریم. فرض می‌کنیم <x> از مرتبه m باشد. در این صورت قضیه لاگرانژ ایجاب می‌کند که m|n پس عدد صحیح k وجود دارد که n=mk.

از طرفی m مرتبه عضو (کوچک‌ترین عدد صحیح مثبت که اگر x به توان آن برسد حاصل عضو خنثی گروه G شود) x است پس xm=e

بنابراین:

    x^n=x^{mk}=(x^m)^k=e^k=e

این نتیجه علاوه بر کاربردهایش در مورد گروه‌ها، برای ارائه برهانی جبری برای قضیه کوچک فرما و قضیه اویلر استفاده می‌شود.
قضیه پوانکاره

قضیه پوانکاره بیان می‌کند که اگر G یک گروه باشد و K,H زیرگروههای G با اندیس متناهی در G باشند، [G:H\cap K]\le [G:H][G:K]
قضیه کیلی

قضیه کیلی بیان می‌کند که هر گروه G با زیرمجموعه‌ای از گروه متقارن روی G ایزومورف است.
قضایای سیلو

قضایای سیلو:
قضیه برنساید

فرض کنیم G یک گروه متناهی باشد و X یک G- مجموعه متناهی. اگر r تعداد مدار های X تحت G باشد ،آنگاه: r.|G|=\sum_{g\in G}|X_g|
لم برنساید

لم برنساید روشی را بیان می‌کند برای شمارش افرازهای یک مجموعه به وسیله یک گروه از تبدیلات برای اطلاعات بیشتر می‌توانید به صفحه مربوطه مراجعه کنید.
قضایای ایزومورفیسم

قضایای ایزومورفیسم بیان می‌کند که
لم جوردن-هولدر

لم جوردن-هولدراز قرار زیر است
نمونه‌هایی از گروههای مهم

مثالهای زیادی از گروهها وجود دارد. یه عنوان مثال مجموعه اعداد صحیح به همراه عمل جمع یک گروه‌است که آبلی نیز می‌باشد. در این قسمت چند نمونه از گروهها را که معمولاً در بررسی‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرند را معرفی می‌کنیم. خواننده می‌تواند گروه بودن هر نمونه را بررسی کند.

    گروه چهارتایی کلاین

فرض کنید {V={a,b,c,d یک مجموعه چهارعضوی باشد. عمل * را روی V به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
جدول گروه چهار تایی کلاین *     a     b     c     d
a     a     b     c     d
b     b     a     d     c
c     c     d     a     b
d     d     c     b     a

در این صورت V گروهی آبلی و متناهی به نام گروه چهارتایی کلاین تشکیل می‌دهد.(گروه کلاین مربوط به تقارنهای مستطیل می‌باشد)

    گروه اعداد صحیح به هنگ m

می‌دانید اگر m عددی طبیعی باشد، رابطه همنهشتی به هنگ m یا \equiv _m یک رابطه هم‌ارزی روی مجموعه اعداد صحیح \mathbb{Z} تعریف می‌کند که مجموعه خارج قسمت آن (مجموعه همه کلاس‌های هم‌ارزی رابطه هم‌ارزی) را با \mathbb{Z}_m نشان می‌دهیم. اگر برای هر عدد صحیح a کلاس هم‌ارزی a را با \bar{a} نشان دهیم، در این صورت:

    \mathbb{Z}_m=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},... ,\bar{m-1}\}

حال عمل ⊕ موسوم به جمع نیمی یا جمع با پیمانه m را به صورت

    \forall \bar{a},\bar{b}\in \mathbb{Z}_m:\bar{a}\oplus \bar{b}=\overline{a+b}

تعریف می‌کنیم. در این صورت خواننده آشنا با نظریه همنهشتی به سادگی می‌تواند بررسی کند که \mathbb{Z}_m به همراه عمل ⊕ یک گروه‌است.

به همین صورت گروهی دیگری را به همراه عمل ضرب به پیمانه m با کمی تغییر می‌تواند ساخت.
کاربرد گروهها

گروه‌ها در زمینه علوم گوناگون مانند بلورشناسی، کوانتم و فیزیک و... دارای کاربردهای فراوان هستند. به عنوان مثال در شیمی و بلورشناسی گروهها برای طبقه‌بندی ساختار بلورها و چندوجهی‌های منظم، تقارن‌های ملکولی استفاده می‌شوند.

بعلاوه از گروهها در زمینه رمزنگاری و مسایل امنیتی نیز استفاده فراوان می‌شود.

همچنین از مفاهیم موجود در این نظریه همانند قضایای سیلو، زیرگروههای نرمالف گروههای آبلی و... در شاخه‌های گوناگون ریاضیات چون هندسه جبری، توپولوژی جبری، مسایل ترسیم پذیری، نظریه جبری اعداد و.. استفاده می‌شود.
نظریه گروه در شیمی

با توجه به تقارن موجود در ترکیبات شیمیایی، ترکیبات به گروههای مختلف تقارنی تقسیم می‌شوند. هر گروه خواص دارد که در طیف بینی کاربرد دارد.

عمل دوتایی

عمل دوتایی از مهم‌ترین و پرکاربردترین مفاهیم در جبر مجرد است.

محتویات

    ۱ آشنایی
    ۲ عمل دوتایی
    ۳ مثال هایی از اعمال دوتایی
    ۴ بسته بودن نسبت به یک عمل
    ۵ ویژگی‌های اعمال دوتایی
        ۵.۱ شرکت‌پذیری
        ۵.۲ نیم‌گروه
        ۵.۳ جابجایی
        ۵.۴ عضو خنثی
        ۵.۵ عضو معکوس
    ۶ جستارهای وابسته
    ۷ منابع

آشنایی

شاید تابه حال فرایندهای زیادی را دیده باشید که طی آن دو چیز با هم ترکیب می‌شوند و شی سوم متمایزی را حاصل می‌دهند.

مثلاً تصور کنید در یک کلاس درس معلم کلاس می‌گوید "ب"، "آ" و دانش آموزان باهم فریاد می‌زنند "با". این بار معلم می‌گوید "ب"، "و" و اینبار دانش‌آموزان فریاد می‌زنند "بو" و یا در مثالی دیگر در طبیعت ملکول‌های هیدروژن و اکسیژن با هم ترکیب شده و ماده سومی چون آب را پدید می‌آورد.

این‌ها همگی نمونه‌هایی از اعمالی دوتایی هستند که در طی آنها دو عنصر شرکت کننده عنصر سومی را پدید می‌آورند.

اعمال دوتایی و به دنبال آن ساختارهای جبری از مهم‌ترین و مقدماتی‌ترین مفاهیم در جبر مجرد هستند. در ادامه به تعریف دقیق یک عمل دوتایی در جبر می‌پردازیم و ویژگی‌های آنها را بررسی می‌کنیم.
عمل دوتایی

یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G تابعی است چون *: G \times G \to G از G×G به توی G که به هر عضو (a،b) از G×G یک عضو یکتا چون C از G را نسبت می‌دهد.

لازم به یادآوری است که G×G حاصل ضرب دکارتی G در خودش است.

با توجه به تعریف یک عمل دوتایی، یک عمل دوتایی چون * روی یک مجموعه ناتهی G باید واجد شرایط زیرباشد:

    عمل دوتایی روی کل دامنه خود یعنی G×G تعریف شده باشد.
    عمل دوتایی * یک تابع خوش تعریف از G×G به توی G باشد یعنی به هر عضو G×G عنصر یکتایی از G را نسبت می‌دهد.
    حاصل ترکیب دو عضو (a،b) تحت یک عمل دوتایی باید متعلق به G باشد. به عبارت دیگر مجموعه G نسبت به عمل دوتایی خود بسته باشد.
    عمل دوتایی را که سبب ترکیب هر دو عضو مجموعه ناتهی G می‌شود، معمولاً با * یا ° نمایش میدهیم.

برای نمایش اینکه، * یک عمل دوتایی تعریف شده در مجموعه ناتهی G باشد می‌نویسم (*،G) و برای هر (a،b) عضو G×G، حاصل عمل * روی زوج مرتب (a،b) را به صورت (a،b)* یا معمول‌تر به فرم a*b نشان می دهیم و معمولاً برای سهولت در نوشتن a*b را نیز به صورت ab می‌نویسیم.

همچنین معمولاً یک عمل دوتایی روی یک مجموعه را با دو نماد جمعی + و ضربی . نشان می‌دهیم که نباید آنها را با جمع و ضرب اعداد خلط کرد.

اگر عمل دوتایی را به فرم جمعی نشان دهیم حاصل عمل + را روی (a،b) به صورت a+b نشان می‌دهیم و اگر عمل عمل را با نماد ضربی نشان دهیم حاصل عمل را به صورت a.b یا ab نشان می‌دهیم.
مثال هایی از اعمال دوتایی

    مجموعه اعداد صحیح را در نظر بگیرید، ضابطه عمل * را روی \mathbb{Z} را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

    \forall a,b \in \mathbb{Z} : a*b = a+b

که همان عمل جمع اعداد صحیح است و به آسانی دیده می‌شود * یک عمل دوتایی است.

    مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید. * با ضابطه زیر، یک عمل دوتایی است:

    \forall n,m \in \mathbb{N} : n*m= n^m

اما عمل فوق در اعداد صحیح و اعداد گویا عمل دوتایی نمی‌باشد. زیرا به عنوان مثال

    (2)^{-1}=\frac{1}{2}\not \in \mathbb{Z}

یا

    (2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\not \in \mathbb{Q}

"در مثالهای بالا به علت نداشتن شرط بسته بودن عمل دوتایی نیست"

ولی در مجموعه اعداد حقیقی عمل فوق، یک عمل دوتایی است.

    عمل * را در مجموعه دلخواه A به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

    \forall a,b \in A : a*b = \left ( \frac{a+ b^2 }{a-b} \right )

عمل * که در بالا تعریف شده در مجموعه اعداد گویا یک عمل دوتایی نیست . چرا که به ازای a=b جواب a*b تعریف نشده می‌شود.
بسته بودن نسبت به یک عمل

مجموعه اعداد صحیح و عمل جمع اعداد را در نظر بگیرید. عمل جمع اعداد یک عمل دوتایی روی مجموعه اعداد صحیح است و بدیهی است که با توجه به تعریف عمل دوتایی روی \mathbb{Z} برای هر دو عدد صحیح a و b عدد a+b نیز عددی صحیح است.

حال مجموعه اعداد صحیح زوج \mathbb{Z}_E که زیرمجموعه‌ای از \mathbb{Z} است را در نظر بگیرید. برای هر دو عضو این مجموعه چون m و n چون مجموع دو عدد زوج، عددی زوج است عدد m+n زوج است پس متعلق به مجموعه اعداد صحیح زوج است.

به عبارت برای هر m,n\in \mathbb{Z}_E داریم m+n\in \mathbb{Z}_E

در این حالت اصطلاحاً می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح زوج تحت عمل جمع بسته است.

اما همواره برای هر زیرمجموعه Z چنین نیست. مثلاً مجموعه اعداد صحیح فرد \mathbb{Z}_O را در نظر بگیرید. مجموع دو عدد صحیح فرد عددی زوج است که دیگر به مجموعه اعداد صحیح فرد تعلق ندارد پس برای هر a,b\in \mathbb{Z}_O داریم a+b\not \in \mathbb{Z}_O در این حالت می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح فرد تحت عمل جمع بسته نمی‌باشد.

اگر G یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف شده روی G باشد و E زیرمجموعه‌ای ناتهی از G باشد، می گوییم E تحت عمل G بسته است در صورتیکه به ازای هر a،b∈E داشته باشیم a*b∈E.

به عنوان مثال:
ویژگی‌های اعمال دوتایی

یک عمل دوتایی روی یک مجموعه می‌تواند دارای برخی ویژگی‌های خاص باشد.
شرکت‌پذیری

فرض کنید * یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G باشد. در این صورت می‌گوییم عمل * روی G شرکت‌پذیر است هرگاه برای هر a،b،c متعلق به مجموعه G داشته باشیم: a*(b*c)=(a*b)*c

به عنوان مثال:

    در مجموعه اعداد صحیح عمل * را به صورت زیر بیان می‌کنیم:

    \forall a,b \in \mathbb{Z} : a*b= (a+b)-c

\mathbb{Z} تحت عمل * شرکت پذیر است. به عنوان نمونه : (a+b)-c = a+(b-c)

    روی مجموعه اعداد صحیح عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم :

    \forall a,b \in \mathbb{Z} : a*b= a+b+ab به عنوان نمونه : (a+b)+ab=a+(b+ab)

عمل * روی \mathbb{Z} خاصیت شرکت پذیری دارد.

    عمل تفاضل در مجموعه اعداد حقیقی خاصیت شرکت پذیری ندارد.

نیم‌گروه

مجموعه (*،G) یک نیم‌گروه است هر گاه عمل * روی G شرکت پذیر باشد. به عنوان مثال مجموعه اعداد طبیعی به همراه عمل جمع یک نیم گروه است ولی مجوعه اعداد صحیح به همراه عمل تفاضل یک نیم گروه نمی‌باشد.

    هرگاه \mathcal{F} مجموعه توابع پیوسته به روی اعداد حقیقی باشد، آنگاه \mathcal{F} تحت عمل جمع توابع، یک نیم‌گروه است.
    مجموعه توابع تعریف شده روی اعداد حقیقی تحت عمل ترکیب توابع، یک نیم‌گروه است.

جابجایی

فرض کنید G مجموعه‌ای ناتهی و * یک عمل دوتایی روی G باشد. در این صورت عمل * را روی G جابجایی می‌گوییم هرگاه برای هر دو عضو a و b متعلق به مجموعه G داشته باشیم a*b=b*a.

به عنوان مثال عمل جمع اعداد روی اعداد طبیعی عملی جابجایی است و عمل تفریق روی مجموعه اعداد حقیقی دارای خاصیت جاجایی نمی‌باشد.
عضو خنثی

فرض کنید G مجموعه‌ای ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف در G باشد. در این صورت عضو e متعلق مجموعه G را عضو خنثی یا همانی G نسبت به عمل * می‌گوییم هرگاه برای هر a متعلق به مجموعه G داشته باشیم: e*a=a*e=a

اگر e عضو G چنان باشد که برای هر a عضو G داشته باشیم a*e=a آنگاه e را عضو خنثی راست می‌گوییم و اگر برای هر a متعلق به G داشته باشیم e*a=aآنگاه e را عضو خنثی چپ می‌گوییم.

به عناون مثال در مجموعه اعداد صحیح به همراه عمل جمع عدد صحیح صفر عضو خنثی عمل جمع است و عضو خنثی ضرب در مجموعه ماتریس‌های مربعی از مرتبه n ماتریس همانی است.

حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا یک مجموعه نسبت به یک عمل دوتایی می‌تواند دارای دو عضو خنثی باشد؟ قضیه زیر بیان می‌کند عضو خنثی یک ساختمان جبری در صورت وجود یکتاست.

قضیه
    عضو خنثی یک ساختمان جبری در صورت وجود منحصربه‌فرد است.
برهان
    فرض کنید (*،G) یک ساختمان جبری با دو عضو خنثی e۱ و e۲ باشد. نشان میدهیم e۱=e۲

چون e۲∈G و e۱ عضو خنثی G نسبت به عمل * است داریم

    e_1*e_2=e_2

و چون e۱∈G و e۲ عضو خنثی G است داریم:

    e_1*e_2=e_1

که دو تساوی اخیر نشان می‌دهد e۱=e۲ و حکم ثابت می‌شود.
عضو معکوس

فرض کنید G یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی روی G باشد و e عضو خنثی G نسبت به عمل * باشد. در این صورت عضو a متعلق به G را نسبت به عمل * وارون پذیر (معکوس پذیر) می‌نامیم هرگاه عضوی چون b موجود باشد که a*b=b*a=e.

همچنین اگر b چنان موجود باشد که a*b=e گوییم b معکوس راست a است و اگر bچنان باشد که b*a=e آنگاه b را معکوس چپ a مِی‌نامیم.

عملگر

در ریاضیات، یک عملگر تابعی است که بر تابعی دیگر اعمال می‌شود. در مواردی ممکن است یک عملگر را یک عمل ریاضی گویند مانند «عمل جمع» که در اصل عملگر جمع می‌باشد.[نیازمند منبع]

در علوم کامپیوتر پس از تعریف متغیرها و مقدار دادن به آنها٫ عملیاتی روی آنها انجام می‌شود. انجام عملیات توسط عملگر صورت می‌گیرد.‌

تقسیم بندی عملگر در زبان برنامه نویسی C به دسته‌های زیر تقسیم می‌شود:

۱)عملگر محاسباتی

۲)عملگر رابطه ای

۳)عملگر منطقی

۴) عملگر بیتی

ضرب دکارتی

ضرب دکارتی یا حاصلضرب دکارتی (Cartesian product) دو مجموعه عملگری در ریاضیات است که برای ایجاد زوج مرتب از اعضای دو مجموعه عمل‌وند آن به‌کار می‌رود. با استفاده از این عمل تمام ترکیبات ممکن دوتایی از اعضای دو مجموعه ایجاد خواهد شد. در زوج‌های مرتّب تولید شده عضو نخست از اولین مجموعه و عضو دو از دومین مجموعه انتخاب می‌شود.
تعریف

حاصلضرب دکارتی مجموعه‌های X و Y به صورت X \times Y \! نوشته شده و تعریف زیر را دارا است:

X\times Y = \{(x,y) | x\in X\;\mathrm{and}\;y\in Y\} \!

رابطه

رابطه یک زیرمجموعه از ضرب دکارتی تعدادی مجموعه است. می‌توان گفت رابطه مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب nتایی است که با توجه به تعدادی از ورودی‌های می‌توان رابطه و زوج مورد نظر خود را انتخاب نمود.

زوج مرتب

زوج مرتب (به انگلیسی: Ordered pair) به مجموعهٔ دو شئ گفته می‌شود هرگاه که یکی از آن‌ها را بتوان به عنوان عضو اوّل و دیگری را به منزلهٔ عضو دوّم از یکدیگر تمیز و تشخیص داد.

زوج مرتب از جمله مفاهیم بنیادی در نظریه رابطه‌ها است. برای تعریف یک رابطه نیاز به تعریف نوعی ترتیب در مورد عناصر موجود در آن رابطه داریم و زوج مرتب ابزاری برای تعریف این ترتیب است. هدف ما تعریف زوج مرتب به گونه‌ای قابل قبول از نظر نظریه مجموعه‌ها است. به طور اجمالی و شهودی، یک زوج مرتب از دو شی a، b را به صورت زوج (a، b) تعریف می‌کنیم که در آن ترتیب قرار گرفتن مولفه‌ها اهمیت دارد.

محتویات

    ۱ تعریف زوج مرتب
    ۲ تعمیم مفهوم زوج مرتب
    ۳ بحث در مورد تعریف زوج مرتب
    ۴ جستارهای وابسته
    ۵ منابع

تعریف زوج مرتب

فرض کنید {A = {a، b، c، d و می‌خواهیم اعضای مجموعه A را به صورت c، b، a، d مرتب کنیم. اما این یعنی چه؟ ممکن است مفهوم ترتیب و مرتب کردن اعضای A را به صورت داده شده به صورت شهودی درک کنید اما چگونه می‌توان این کار را به گونه‌ای قابل قبول برای نظریه مجموعه‌ها تعریف نمود.

شاید یکی از راههای مرتب کردن اعضای A به صورت c،b،a،d این باشد که از هر نقطه خاص از این ترتیب، مجموعه همه عناصر موجود در آن نقطه و یا قبل از آن را در نظر بگیریم. در این صورت زیرمجموعه‌های {c}،{c،b}،{c،b،a}،{c،b،a،d} را از A بدست می‌آوریم و با ادامه این کار به مجموعه:

        \mathcal{C} = \{\{c\}, \{c, b\}, \{c, b, a\}, \{c, b, a, d\}\}

خواهیم رسید. این مطلب امیدوار کننده‌است که با استفاده تعریفی غیر دقیق و شهودی از ترتیب روی اعضای مجموعه A به مجموعه‌ای معتبر از نظر نظریه مجموعه‌ها رسیدیم. حال ببینیم آیا می‌توان با استفاده از اعضای \mathcal{C} به ترتیبی که مورد نظر ماست برسیم.

ابتدا با توجه به اعضای مجموعه \mathcal{C} عضوی را که زیرمجموعه همه عناصر دیگر است را پیدا می‌کنیم.{c} چنین عضوی است و هیچ عضو دیگر چنین خاصیتی را ندارد، پس می‌توان c را به عنوان اولین عضو در نظر گرفت. حال {c} را کنار می‌گذاریم و عضوی از \mathcal{C} را پیدا می‌کنیم که زیرمجموعه سایر اعضای \mathcal{C} باشد. {c، b} چنین عضوی است و هیچ عضو دیگر قادر به براوردن این ویژگی نسیت. پس می‌توان b را به عنوان عضو دوم در ترتیب در نظر گرفت. به ادامه این روند می‌توان a و d را نیز به ترتیب بدست آورد.

پس نتیجه می‌گیریم که ممکن است که مفهوم دقیق ترتیب بین اعضای یک مجموعه را ندانیم اما می‌توان هر ترتیب روی اعضای A را طوری به مجموعه‌ای از زیرمجموعه‌های A مانند \mathcal{C} نسبت داد که ترتیب اولیه به طور یگانه از \mathcal{C} بدست آید.

حال که روشی برای تعریف ترتیب بین اعضای یک مجموعه یافتیم و آن را در مورد مجموعه‌ای چهار عضوی بکار بردیم همه چیز در مورد یک زوج (مجموعه دو عضوی) حداقل دوبرابر ساده تر خواهد بود و آماده برای تعریف زوج مرتب هستیم.

اگر {A = {a، b و در ترتیب مورد نظر a اولین عضو و b دومین عضو باشد، در این صورت \mathcal{C} = \{\{a\}, \{a, b\}\} معرف این ترتیب خواهد بود. این مجموعه را زوج مرتب a و b می‌نامیم که در آن a مولفه اول و b مولفه دوم است و برای نمایش آن از این پس از نماد (a, b) استفاده می‌کنیم.

    این تعریف از زوج مرتب به ریاضیدان لهستانی، کوراتوفسکی منسوب است.

هرچند این تعریف معقول و قانع کننده باشد ولی باید ثابت کنیم که این تعریف خاصیت اصلی یک زوج مرتب را برآورده می‌کند، یعنی اگر (a، b) و (x، y) دو مجموعه باشند به طوری که (a، b)=(x، y) آنگاه a = x و b = y.

    برهان

اگر (a، b) = (x، y) پس الگو:A, {a, b}} = Hammer (Last Stone First End), {x, y}}. حال اگر a = b در این صورت (a, b) همان مجموعه تک عضوی \{\{a\}\} است و لذا (x, y) نیز مجموعه‌ای تک عضوی خواهد بود پس x = y. حال چون (a}∈(x, y} پس a = x و لذا در این حالت همه x, y, a, b باهم برابرند.

حال اگر a ≠ b در این صورت از فرض الگو:A, {a, b}}= Hammer (Last Stone First End), {x, y}} نتیجه می‌شود {a} = {x} پس a = x. بعلاوه داریم {a, b} = {x, y} و چون a = b و b نمی‌تواند برابر x باشد(چرا؟) پس b = y. ولذا برهان کامل است.∎
تعمیم مفهوم زوج مرتب

می توان مفهوم زوج مرتب را به چند تایی مرتب تعمیم داد. به عنوان مثال، سه تایی مرتب (a, b, c) را با استفاده از مفهوم زوج مرتب به صورت (c, (a, b)) تعریف می کنیم. به همین صورت یک n تایی مرتب را به صورت بازگشتی به صورت

    (a_1, a_2, a_3, ..., a_n)=((a_1, a_2, a_3, ..., a_{n-1}), a_n)

تعریف می کنیم.
بحث در مورد تعریف زوج مرتب

واقعیت این است که تعریفی که از زوج مرتب ارائه دادیم ضمن تامین اهداف ما دارای خواصی است که تا حدی ناخوشایند و عجیب به نظر می‌رسند. به عنوان مثال قضیه قبل در مورد زوج مرتب خاصیتی مطلوب و مورد انتظار است ولی این مطلب که (a, b}∈(a, b} تا حدی دور از انتظار و ناخوشایند است.

اما به هر حال این تعریف کار خود را انجام داده‌است و به تحکیم مفهوم زوج مرتب کمک کرده‌است و در هیچ جای دیگر از آن استفاده نخواهد شد. آنچه در مورد زوجهای مرتب نیاز به دانستن دارد این است که به‌وسیله مولفه اول و دوم خود تعیین می‌شوند و می‌توان به‌وسیله آن نظریهٔ رابطه‌ها و تعریف حاصل ضرب دکارتی دو مجموعه را تعریف نمود.