قسمت موهومی

در ریاضیات، قسمت موهومی یا بخش موهومی یا مؤلفهٔ موهومی (به انگلیسی: Imaginary Part)، برای یک عدد مختلط، مؤلفهٔ دوم در زوج مرتب نشان‌دهندهٔ آن عدد مختلط است. برای مثال، برای عدد مختلط z = (x, y) یا به بیان دیگر z = x+iy (که x و y اعداد حقیقی هستند)، قسمت موهومی عدد z برابر است با y. در مقابل، قسمت حقیقی، مؤلفهٔ نخست در زوج مرتب نشان‌دهندهٔ عدد مختلط است. بنابراین برای عدد مختلط z = (x, y) ، قسمت حقیقی برابر است با x.

قسمت موهومی عدد مختلط z با {Im{z و قسمت حقیقی آن با {Re{z نشان داده می‌شود.

عدد موهومی

یک عدد موهومی، یک عدد به شکل bi\, است به طوری که b\, یک عدد غیر صفر و حقیقی، همچنین i\, نیز به صورت i^2=-1\, (که به آن واحد موهومی نیز می‌گویند) تعریف شده باشد، است. یک عدد موهومی را می‌توان به یک عدد حقیقی مانند a\, اضافه کرد که پس از آن یک عدد مختلط به شکل a+bi\, که در آن a\, و b\, به ترتیب، قسمت حقیقی و قسمت موهومی است تشکیل شود. همچنین می‌توان گفت که اعداد موهومی، اعداد مختلطی هستند که قسمت حقیقی آن‌ها صفر باشد. مربع یک عدد موهومی، یک عدد حقیقی منفی است.

نرم (ریاضیات)

تابع حقیقی \|.\| تعریف شده بر فضای برداری X را نُرم نامیم اگر در سه خاصیت زیر صدق کند:

    به ازای هر x\in X، \|x\|\ge0، و \|x\|=0 اگر و فقط اگر x=0
    به ازای هر x و \alpha\in\mathbb R، \|\alpha x\|=|\alpha| \|x\|
    به ازای هر y\in X و x، \|x+y\| \le \|x\|+\|y\| (نابرابری مثلثی)

اگر خاصیت اول از تعریف نرم را حذف کنیم، تابع جدیدی به دست می‌آید که به آن نیم‌نرم می‌گوییم.

فضای برداری X مجهز به نرم \|.\| را یک فضای برداری نرم‌دار می‌نامیم. از آنجایی که دامنهٔ تعریف نرم، فضایی برداری است، بسته به اینکه اعضای فضای برداری چه باشند، نرم ممکن است برای بردار، ماتریس، یا تابع، تعریف شود. ورودی نرم، عضوهای فضای برداری و خروجی آن عدد حقیقی مثبتی است پس برد هر نرم، مجموعه اعداد حقیقی مثبت می‌باشد. هر نرم در فضای برداری تعریف شده بر آن، متری القا می‌کند. بنابراین هر فضای نرم‌دار، یک فضای برداری متری است.
انواع نرم
p–نرم

فرض کنید 1\le p<\infty باشد، p–نرم به صورت زیر تعریف می شود:

    \|\mathbf{x}\|_p := \bigg( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \bigg)^{1/p}.

بردار واحد

بردار واحد یا بردار یکه، برداری در فضای برداری نرم‌دار است که طول آن ۱ می‌باشد. هرگاه v بردار دلخواهی در یک فضای برداری نرم‌دار باشد و ||v|| = ۱ آنگاه v یک بردار واحد نام دارد و گوییم نرمالی شده است.

هر بردار ناصفر را می‌توان با تقسیم کردن بر نرمش به یک بردار واحد تبدیل کرد: u = v||v|| در این حالت بردار u یک بردار واحد است و می‌گوییم بردار v را نرمالی کرده‌ایم.

قانون گاوس

قانون گاوس در فیزیک با نام قضیه شار گاوس هم شناخته شده که قانونی است در ارتباط با توزیع بار الکتریکی که پیامد آن میدان الکتریکی است قانون گاوس توضیح می‌دهد که:

شار الکتریکی کل در هر سطح بسته‌ای برابر است با بار کل احاطه شده توسط آن سطح

این قانون توسط کارل فردریک گاوس در سال ۱۸۳۵ فرمولبندی شد ولی در سال ۱۸۶۷ منتشر گشت. این قانون یکی از چهار معادله ماکسول است که اساس الکترودینامیک کلاسیک را تشکیل می‌دهند، سه تای دیگر عبارت اند از:قانون گاوس برای مغناطیس، قانون القاء فارادی، و قانون آمپر به تصحیح ماکسول. از قانون گاوس می‌توان برای استخراج قانون کولن استفاده کرد و بالعکس. با اعمال مناسب قضیه واگرایی به قانون کولن , قانون گاوس نتیجه می‌شود.
قانون گاوس معمولاً به فرم انتگرالی زیر بیان می‌شود:

    \oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0},

که در آن سمت چپ تساوی انتگرال سطحی است که نشر شار الکتریکی را از سطح بسته S بیان می‌کند، و سمت راست تساوی بار کل محصور شده در همان سطح S تقسیم بر ثابت الکتریکی است.

قانون گاوس همچنین فرم دیفرانسیلی به شکل زیر دارد:

    \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

که در آن E · ∇ دیورژانس میدان الکتریکی است و ρ چگالی بار است. فرم انتگرالی و دیفرانسیلی با قضیه دیورژانس به هم مرتبط می‌شوند. هر یک از این اشکال دیفرانسیلی و انتگرالی را می‌توان به دو فرم دیگر بیان کرد: از دید ارتباط بین میدان الکتریکی E و بار الکتریکی کل، یا از دید جابجایی میدان الکتریکی D و بار الکتریکی آزاد. قانون گاوس تشابه ریاضیاتی زیادی با تعدادی از قوانین فیزیک در سایر زمینه‌ها دارد، مثل قانون گاوس در مغناطیس و قانون گاوس در جاذبه. در واقع، هر «قانون مربع معکوس» را می‌توان به شکل مشابهی با قانون گاوس فرمولبندی کرد: برای مثال، خود قانون گاوس خود اساساً برابر با مربع معکوس قانون کولن است، و قانون گاوس برای جاذبه اساساً با مربع معکوس قانون جاذبه نیوتون برابر است.

محتویات

    ۱ از دیدگاه بار کل
        ۱.۱ فرم انتگرالی
        ۱.۲ به کارگیری فرم انتگرالی
        ۱.۳ فرم دیفرانسیلی
        ۱.۴ هم ارزی فرم دیفرانسیلی و انتگرالی
    ۲ از دیدگاه بار آزاد
        ۲.۱ بار آزاد در مقابل بار مقید
        ۲.۲ فرم انتگرالی
        ۲.۳ فرم دیفرانسیلی
    ۳ بیان هم ارزی بار کل و بار آزاد
        ۳.۱ در مواد خطی
    ۴ ارتباط با قانون کولن
        ۴.۱ استخراج قانون گاوس از قانون کولن
        ۴.۲ استخراج قانون کولن از قانون گاوس
    ۵ منابع

از دیدگاه بار کل
فرم انتگرالی

برای حجم V با سطح S، قانون گاوس بیان می‌کند که

    \Phi_{E,S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}

که ΦE,S شار الکتریکی در S است، Q بار کل در حجم V است، و ε۰ ثابت الکتریکی است. شار الکتریکی از انتگرال گیری روی سطح S بدست می‌آید:

    \oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}

که E میدان الکتریکی است و  dA نشانگر برداری از المان بی نهایت کوچک سطح می‌باشد و (.) به عنوان ضرب داخلی برداری به کار می‌رود.
به کارگیری فرم انتگرالی

اگر میدان الکتریکی همه جا معلوم باشد، قانون گاوس کار را خیلی راحتتر می‌کند، در اصل، برای یافتن توزیع بار الکتریکی: باری را که در هر ناحیه داده شده می‌تواند با یکپارچگی میدان الکتریکی و یافتن شار استنباط کرد. با این حال، بیشتر اوقات، این مشکل معکوسی است که باید حل شود: یعنی توزیع بار الکتریکی معلوم است، و میدان الکتریکی باید محاسبه شود. این خیلی مشکل تر است، زمانی که شما شار کل عبوری از سطح را می‌دانید، که این تقریباً هیچ اطلاعاتی در مورد میدان الکتریکی نمی‌دهد، که خود می‌تواند از روی الگوی پیچیده‌ای خودسرانه وارد و خارج سطح شود.
فرم دیفرانسیلی

شکل دیفرانسیلی، قانون گاوس بیان می‌دارد که:

    \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

که · ∇نشان دهنده واگرایی یا همان دیورژانس، E میدان الکتریکی، و ρ چگالی بار کل است، و ε۰ ثابت الکتریکی است. این معادله از لحاظ ریاضی بنا به قضیه دیورژانس با فرم انتگرالی معادل است.
هم ارزی فرم دیفرانسیلی و انتگرالی

فرم‌های دیفرانسیلی و انتگرالی از دیدگاه ریاضی معادل اند، از طریق قضیه دیورژانس. به بیان دقیق تر: فرم انتگرالی قانون گاوس به این صورت است که:

    \oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}

برای هر سطح بسته S که بار Q را در بر می‌گیرد. با قضیه دیورژانس، این معادله برابر است با:

    \iiint\limits_V \nabla \cdot \mathbf{E} \ \mathrm{d}V = \frac{Q}{\varepsilon_0}

برای هر حجم V که بار Q را در بر می‌گیرد. با توجه به ارتباط بین بار الکتریکی و چگالی بار، این تساوی معادل است با:

    \iiint\limits_V \nabla \cdot \mathbf{E} \ \mathrm{d}V = \iiint\limits_V \frac{\rho}{\varepsilon_0} \ \mathrm{d}V

برای هر حجم V. برای این که این معادله به طور همزمان برای هر حجم ممکن V برقرار باشد، این شرط لازم و کافی است که معادلات زیر انتگرال برابر باشند. بنابراین، این تساوی معادل است با

    \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.

پس معادلات دیفرانسیل و انتگرال معادل هستند.
از دیدگاه بار آزاد
بار آزاد در مقابل بار مقید

بار الکتریکی که در ساده‌ترین موقعیت‌های کتاب درسی بیان می‌شود در میان بار الکتریکی آزاد طبقه بندی می‌شود، برای مثال، باری که در الکترواستاتیک جابجا می‌شود، یا باری که روی صفحه‌های خازن ذخیره می‌شوند. در عوض بار مقید فقط در مورد چارچوب دی الکتریک بیان می‌شود و موادی که قابلیت قطبی شدن دارند.(تمام مواد تا حدی قابلیت قطبش دارند.) زمانی که موادی این چنین در یک میدان الکتریکی خارجی قرار می‌گیرند، الکترون‌ها در قید اتم‌های خود می‌مانند، اما در پاسخ به میدان الکتریکی یک تغییر فاصله میکروسکوپی با اتم خود می‌دهند، بنابر این الکترون‌های یک سمت بیشتر از سمت دیگر اتم می‌شود. همه این جابجایی‌های میکروسکوپیک جمع می‌شوند تا یک شبکه توزیع بار را تشکیل دهند، و این به منزله وجود بار مقید است. همه بارها از دیدگاه میکروسکوپیک اساساً یکسان هستند، اغلب دلایل عملی برای تمایز بین بار مقید و بار آزاد وجود دارد. یکی از دلایل اساس قانون گاوس است، که از لحاظE، در اکثر موارد در معادلات برای محاسبات و استفاده از D باید بار را به صورت بار آزاد در نظر بگیریم.
فرم انتگرالی

این فرمولبندی از قانون گاوس بیان می‌دارد که، برای هر حجمV در فضا، با سطح S، رابطه زیر برقرار است:

    \Phi_{D,S} = Q_{\mathrm{free}},\!

که ΦD,S شار جابجایی میدان الکتریکی D از سطح S، و 'Qfree بار آزادی است که در حجم V قرار دارد. شار ΦD,S مشابه شار میدان الکتریکی ΦE,S که شار E از سطح S است تعریف شده. به ویژه که آن از انتگرال سطح بدست می‌آید

    \Phi_{D,S} = \oint_S \mathbf{D} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}.

فرم دیفرانسیلی

فرم دیفرانسیلی قانون گاوس، که فقط شامل بارهای آزاد می‌شود، بیان می‌دارد:

    \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{D} = \rho_{\mathrm{free}}

که D · ∇ دیورژانس جابجایی میدان الکتریکی است، و ρfree چگالی بار آزاد می‌باشد. فرم دیفرانسیلی و فرم انتگرالی از لحاظ ریاضیاتی معادل اند.
بیان هم ارزی بار کل و بار آزاد
در مواد خطی

در مواد همگن، ایزوتروپیک، ناپاشنده خطی یک ارتباط ساده و زیبا بین E و D هست:

    \varepsilon \mathbf{E} = \mathbf{D}

که ε ضریب گذر دهی الکتریکی ماده‌است. تحت این شرایط هنوز یک جفت از فرمول‌های قانون گاوس باقی است:

    \Phi_{E,S} = \frac{Q_{\mathrm{free}}}{\varepsilon}
    \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_{\mathrm{free}}}{\varepsilon}

ارتباط با قانون کولن
استخراج قانون گاوس از قانون کولن

قانون گاوس می‌تواند از قانون کولن استخراج شود، قانون کولن بیان می‌دارد که میدان الکتریکی حاصل از بار ثابت است:

    \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{e_r}}{r^2}

که:er بردار یکه شعاعی است، r شعاع است، :\epsilon_0 هم ثابت الکتریکی است، q بار ذره‌است، که فرض شده در مبدا قرار دارد.

با استفاده از این بیان قانون کولن، ما میدان کل را در فاصله r با استفاده از انتگرال گیری برای جمع تمام میدان‌ها در r از بارهای بی نهایت خورد در فضای s را داریم:

    \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{s})(\mathbf{r}-\mathbf{s})}{|\mathbf{r}-\mathbf{s}|^3} d^3 \mathbf{s}

اگر ما از هر دو طرف تساوی دیورژانس بر حسب r بگیریم داریم

    \nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{s}}{|\mathbf{s}|^3}\right) = 4\pi \delta(\mathbf{s})

که (δ(s تابع دلتای دیراک است، حاصل به شکل زیر بدست می‌دهد:

    \nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\epsilon_0} \int \rho(\mathbf{s})\ \delta(\mathbf{r}-\mathbf{s})\ d^3 \mathbf{s}

با استفاده از خاصیت غربالگری تابع دلتای دیراک می‌رسیم به:

    \nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \rho(\mathbf{r})/\epsilon_0

که همان فرم دیفرانسیلی قانون گاوس هست، درست همان طور که انتظار داشتیم.
استخراج قانون کولن از قانون گاوس

به صرف گفتار، قانون کولن را نمی‌توان از قانون گاوس استخراج کرد چون قانون گاوس هیچ اطلاعاتی در مورد کرل یا تاو E نمی‌دهد. با این وجود، قانون کولن می‌تواند از قانون گاوس اثبات شود، بعلاوه، میدان الکتریکی حاصل از بار نقطه‌ای به شکل کروی متقارن است(این فرض مثل خود قانون کولن است، که وقتی بار ثابت است دقیقاً صحت دارد، و وقتی بار در حرکت باشد تقریباً درست است).

قرار دادن S در فرم انتگرالی قانون گاوس سطح کره‌ای به دست می‌دهد به شعاع r، که بار نقطه‌ای Q در مرکز قرار دارد:

    \oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = Q/\varepsilon_0

با فرض تقارن کروی، حاصل انتگرال مقدار ثابتی می‌شود که می‌توان از زیر انتگرال خارج کرد، و نتیجه می‌دهد:

    4\pi r^2\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = Q/\varepsilon_0

که \hat{\mathbf{r}} بردار یکه شعاعی است که سمت بار نقطه‌ای را که در فاصله r هست نشان می‌دهد، دوباره با استفاده از تقارن کروی، E در راستای شعاعی را به دست می‌دهد:

    \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}

که اساساً معادل قانون کولن می‌باشد.

کارل فریدریش گاوس

کارل فریدریش گاوس (به آلمانی: Carl Friedrich Gauß) ‏ (۳۰ آوریل ۱۷۷۷ - ۲۳ فوریه ۱۸۵۵) ریاضیدان بزرگ آلمانی است. او به عنوان یکی از برترین ریاضی‌دانان همهٔ ادوار شناخته شده‌است، و شاید بتوان گفت که برترین آن‌هاست.[نیازمند منبع] به دلیل تحقیقات و دستاوردهای بی‌مانند و بی‌شمار گاوس، به او لقب «شاهزادهٔ ریاضی‌دانان» را داده‌اند. گاوس هم به ریاضیات لقب «ملکهٔ علوم» را داده بود.

محتویات

    ۱ روزگار کودکی و نوجوانی
    ۲ جوانی و میان سالی
    ۳ کهن سالی، مرگ و پس از آن
    ۴ زندگی خانوادگی
    ۵ منش و شخصیت
    ۶ جستارهای وابسته
    ۷ منابع

روزگار کودکی و نوجوانی

گرچه گاوس شهزاده همه ریاضیدانان نامیده شده است اجداد او از شاهی و شاهزادگی بسیار فاصله داشتند. از پدر و مادری بسیار فقیر در خانه ای فوق العاده حقیر در شهر براونشوایگ در آلمان در تاریخ 30 آوریل 1777 تولد یافت. به گفته خود گاوس، مادرش روز دقیق تولدش را به خاطر نداشت. او فقط می‌دانست که چهارشنبه هشت روز قبل از عید پاک بوده‌است.

پدربزرگ پدری او دهقان فقیری بود که در سال 1740 در شهر براونشوایگ مستقر گردید و در این شهر با شغل باغبانی زندگی را به سختی می گذرانید. دومین نفر از سه پسر او به نام گرهارت دیدریش که در سال 1744 متولد شد، پدر گاوس بود. غیر از این افتخار بزرگ زندگی گرهارت،که گاهی باغبان، زمانی محافظ ترعه شهر و وقتی آجرپز بود، بدون هیچ واقعه قابل ملاحظه ای از هر قبیل سپری شد.

چهره ای که از پدر گاوس حفظ شده است از آن مردی درستکار است که راستی و شرافت در او به درجه وسواس رسیده بود. اندامی سنگین داشت و سختگیری او نسبت به پسرش گاهی تا درجه وحشیگری پیش می رفت و کلام او نیز به قدر دستش سخت و سنگین بود. درستی و استقامت او موجب تسهیل کار وی در امر معاش گردید، لیکن این سهولت هرگز تا مرحله آسایش نرسید.

نبوغ گاوس از دوران کودکی آشکار شد. گفته می‌شود که هوش سرشار او زمانی آشکار شد که در سه سالگی اشتباهی را که پدرش در محاسبهٔ دارایی‌ها، بر روی کاغذ، انجام داده بود در ذهنش تصحیح کرد. داستان دیگری که دربارهٔ هوش بسیار او گفته می‌شود آن است که آموزگارش، در دبستان، برای سرگرم کردن شاگردان به آنان گفت اعداد بین ۱ تا ۱۰۰ را با هم جمع کنند؛ گاوس خردسال پاسخ درست را تنها در چند ثانیه با به کارگیری یک بینش ریاضیاتی چشمگیر به دست آورد. رهیافتی که او به کار بست چنین بود: او دانست که با جمع کردن دو به دو عبارت‌ها از دو سر فهرست شماره‌ها، پاسخ هر یک از این جمع‌ها برابر خواهد شد:

100+1=101; 99+2=101, 98+3=101, ...

برای جمع کل هم خواهیم داشت:

50×101=5050
مجسمه گاوس در شهر براونشوایگ

در حالی که هنوز یک نوجوان بود، گاوس به اکتشافات چشمگیری دست یافت از جمله روش کمترین مربعات برای اداره داده‌های تجربی. در ٣٠ مارس ١٧٩۶ او در سن ١٩ سالگی با نشان دادن اینکه یک ١٧-ضلعی باقاعده توسط پرگار و خط‌کش نا مدرج قابل رسم است توانست مشکلی را حل کند که ٢٠٠٠ سال قبل از آن فکر اقلیدس را مغشوش کرده بود. گاوس نشان داد که یک n-ضلعی بدین صورت قابل رسم است اگر و فقط اگر n به صورت 2^kp_1p_2...p_t نوشته می‌شود، وقتی k \geq 0 و p_i اعداد اول هستند بشکل 2^m+1.

در ١٠ ژوئیه گاوس نیز کشف کرد که هر عدد صحیح مثبت را می‌توان بصورت مجموع حداکثر سه عدد مثلثی (اعدادی بشکل \sum^N_1 n) نوشت. سپس در دفترچه خود این کلمات معروف را نوشت: « EUREKA. number = Δ + Δ + Δ ».
جوانی و میان سالی
تمبر یادبود کارل فریدریش گاوس - انتشار در سال ١٩٧٧- آلمان شرقی.

گاوس در رسالهٔ دکترا خود قضیه اساسی جبر را اثبات نمود. این قضیهٔ مهم می‌گوید که هر چندجمله‌ای درجهٔ n، با به شمار آوردن ریشه‌های تکراری، دارای n جواب است. در ١٧٩٩، گاوس ثابت کرد که \mathbb{C} (اعداد مختلط) یک میدان بسته جبری است. این امر در آن زمان بسیار مهم بود و از این روی قضیه اساسی جبر نام‌گذاری شده است. گاوس تا آخر عمرش سه اثبات دیگر بر قضیهٔ بنیادین جبر ارائه کرد.
کهن سالی، مرگ و پس از آن
Carl Friedrich Gauss on his Deathbed, 1855.jpg

در فیزیک او مقالاتی در زمینهٔ نظریه لنزها و مویینگی، و همراه با ویلهلم وبر، فیزیکدان نامدار، برای ساخت دستگاه نوین مشاهدهٔ مغناطیس زمین و دگرگونی‌های آن، در ارتباط بود. نخستین مقالهٔ او در زمینهٔ الکترومغناطیس در سال ١٨٣٣ میلادی چاپ شد. ابزارهایی که آنان اختراع کردند «دستگاه انحراف مغناطیسی» و «مغناطیس سنج بایفیلار» و تلگراف الکترومغناطیسی بودند.
زندگی خانوادگی
10 DM Serie4 Vorderseite.jpg

زندگی شخصی گاوس در سایهٔ مرگ زودهنگام نخستین همسرش، یوآنا اوستاف، در سال ١٨٠٩ میلادی و در پی آن مرگ پسر یک ساله‌اش، لوییس، در سال ١٨١٠، تاریک شده بود. این رویدادها گاوس را به چنان افسردگی فرو برد که هرگز نتوانست از آن رهایی یابد.

او با یکی از دوستان همسرش که مینا والدک نام داشت ازدواج کرد، ولی این ازدواج دوم هم چندان فرخنده نبود. هنگامی که همسر دومش در سال ١٨٣١ میلادی پس از یک بیماری طولانی، درگذشت یکی از دخترانش، ترزه، نگهداری خانه و پرستاری از گاوس را تا پایان زندگی او پذیرفت.

گاوس شش فرزند داشت.
منش و شخصیت
پرتره گاوس توسط جنسون (١٨٤٠)
محل دفن گاوس

گاوس به کمال در اخلاق و انسانیت باور داشت و نیز بسیار کوشا بود. او بسیار کم به نشر کارهایش می‌پرداخت چرا که از انتشار کارهایی که رسیدگی و ویرایش نشده اند سر باز می‌زد، که این هم هماهنگ با شعار «کم ولی پربار» اوست. از سوی دیگر، گاوس را از آنجا که از ریاضیدانان جوانی که خواهان پیروی از او بودند پشتیبانی نمی‌کرد نکوهش می‌کنند. او بسیار کم، و شاید هرگز، با ریاضیدان دیگری همکاری نکرد. گرچه گاوس چند دانشجو را پذیرفت ولی همه بیزاری او از تدریس را می‌دانستند (گفته شده است که او تنها در یک سخنرانی علمی حضور داشت، که در سال ١٨٢٨ میلادی در برلین برگزار شد). چندین تن از دانشجویان او ریاضیدانانی نامدار شدند که ریچارد ددکیند، یوهان دیریکله، برنهارت ریمان، فریدریش بسل، ارنست کومر، فردیناند آیزنشتاین، گوستاو کیرشهوف از آن دسته بودند. پیش از مرگ سوفی ژرمین، گاوس اعطای مدرک افتخاری به ژرمین را پیشنهاد داد.


نیکلای لوباچفسکی وقتی هندسه نااقلیدسی را ایجاد کرد ، به محاسبه مسائل ریاضی و هندسی آن مانند مسائل برداری در هندسه نااقلیدسی پداخت ، نتیجه کار خود را باافتخار به گاوس فرستاد و نظرش را پرسید.گاوس که از نوجوانی به ریاضیات می پرداخت و مسائل ریاضی و هندسی هندسه نااقلیدسی لوباچفسکی را در زمان جوانی خود پیدا کرد چیزی در حدود 20 سال قبل!او به لوباچفسکی گفت که بله این ها که مسائل مسلم ریاضی هستند . خوب است چاپ کنید!گاوس مانند نیوتون اکتشافات خود را معمولا چاپ نمی کرد از این رو بساری از مسائی که به او نسبت می دهند بعد از مرگش و از بین کاغذ ها پیدا شده اند و البته بسیاری از پیشرفت های مهم هم ازبین رفته اند.پیش بینی می شود که اگر گاوس مطالب خود را چاپ می کرد برای سال ها دانش بشری جلو تر بود.گاوس فیزیک دان هم بود و فرمول هایی در ضمینه مکانیک و الکتریسیته هم دارد.فرمول او در مورد اجسام متقارن بسیار مسئله را ساده می کند و همراه قانون کولن در الکتریسیته کارساز است.

وبر (یکا)

در فیزیک, وبر(به انگلیسی: weber) (نماد: Wb; ˈveɪbɚ, ˈwiːbɚ) یکای شار مغناطیسی است. این یکا به نام ویلهم وبر (1804 – 1891) فیزیک‌دان آلمانی نامگذاری شده‌است.
تعیین

به طور رسمی،

    وبر (یکای شارش مغناطیسی) — مقدار شارشی است که از یک منبع الکترومغناطیس با یک ولت اختلاف پتانسیل و در یک ثانیه بدست آید.[۱]

ابعاد این یکا برابر است با \frac{\mbox{kg} \cdot \mbox{m}^2}{\mbox{s}^2 \cdot \mbox{A}}. البته می‌توان برحسب ولت-ثانیه نیز بیان کرد (\mbox{V} \cdot \mbox{s})، یا ژول بر آمپر \dfrac{\mbox{J}}{\mbox{A}}.

وبر یکای بزرگی است به همین دلیل آن به جای آن از ماکسول استفاده می‌کنند.


چگالی شارش یا وبر بر متر مربع برابر یک تسلا است.

هانری (یکا)

هانری (به انگلیسی: Henry) (نماد: H) برای بیان میزان خودالقایی سیم‌لوله‌ها به کار می‌رود. که به افتخار جوزف هنری دانشمند آمریکایی که مستقلا ولی همزمان با مایکل فارادی به کشف القای الکترومغناطیسی نائل آمده بود، گذاشته شده‌است. ضریب خودالقایی خلا ۴π×۱۰−۷ H/m (هنری بر متر) است.
تعریف

    \mbox{H} = \dfrac{\mbox{m}^2 \cdot \mbox{kg}}{\mbox{s}^{2} \cdot \mbox{A}^2} = \dfrac{\mbox{Wb}}{\mbox{A}} = \dfrac{\mbox{V} \cdot \mbox{s}}{\mbox{A}} = \dfrac{\mbox{J/C} \cdot \mbox{s}}{\mbox{C/s}} = \dfrac{\mbox{J} \cdot \mbox{s}^2}{\mbox{C}^2} = \dfrac{\mbox{m}^2 \cdot \mbox{kg}}{\mbox{C}^2} = \Omega \cdot s

واحدها
A = آمپر
V = ولت
C = کولون
J = ژول
Wb = وبر
kg = کیلوگرم
m = متر
s = ثانیه
Ω = اهم

تراوایی مغناطیسی

تراوایی مغناطیسی یکی از ویژگی‌های هر محیط است که به آن ضریب نفوذپذیری مغناطیسی نیز می‌گویند. این ضریب رابطهٔ بین چگالی شار مغاطیسی (B) و شدت میدان مغناطیسی (H) را تعیین می‌کند. واحد تراوایی مغناطیسی هانری بر متر است.

ضریب شکست

ضریب شکست[۱] n یک محیط در نورشناسی، مقیاسی است بدون بعد برای نشان دادن آنکه سرعت نور یا هر پرتو دیگر در آن محیط چه مقدار نسبت به خلأ کاهش می‌یابد. ضریب شکست چنین تعریف می‌شود

    n=\frac{c}{v}

که در آن c سرعت نور در خلأ و v سرعت نور در مادهٔ مورد نظر است. بطور مثال، ضریب شکست شیشه در حدود ۱٫۵ است و این بدان معنا است که سرعت نور در شیشه ۰٫۶۷=(۱٫۵)/۱ برابر سرعت نور در خلأ است.

از نظر تاریخی نخستین جایی که به این پدیده اشاره شد در قانون شکست نور اسنل بود، sinθ۱n۱= sinθ۲n۲، که در آن θ۱ و θ۲ زوایای برخورد پرتو با سطح مشترک دو محیط نوری است. n۱ و n۲ ضرایب شکست این دو محیط هستند.

گاهی به دلیل ضریب شکست بالا یا زاویه تابش زیاد، هنگام تابش از محیط غلیظ به رقیق، به جای این که شکست نور اتفاق بیفتد، نور در محیط غلیظ بازتاب می‌گردد (مانند آینه) که به این پدیده بازتاب کلی گفته می‌شود. زاویه بروستر که زاویهٔ بحرانی بازتاب کلی است و نیز بازتابندگی یک سطح از کمیت‌هایی هستند که به ضریب شکست وابسته‌اند. این موضوع در معادله فرسنل توضیح داده شده.[۲]

n به صورت ضریب کاهش طول موج و سرعت تابش نسبت به مقدار آن‌ها در خلاء تعریف می‌شود. برای یک طول موج خاص در خلأ مانند λ۰، طول موج در محیط تازه λ=λ۰/n خواهد بود. با توجه به این‌ها نتیجه می‌گیریم که ضریب شکست خلأ ۱ است. از نظر تاریخی محیط‌های مرجع دیگری نیز معمول بوده‌اند (مانند هوا در فشار و درجهٔ حرارت استاندارد).

ضریب شکست مواد مختلف در طول موج‌های متفاوت فرق می‌کند. به این پدیده پاشش می‌گویند که منجر به شکافتن نور سفید در منشورها، رنگین‌کمانها و ابیراهی رنگی‌ها می‌شود.
ضریب شکست منفی

ضریب شکست منفی به طور معمول در مواد طبیعی وجود ندارد، ولی در بعضی فرامواد این خاصیت دیده می‌شود. ضریب شکست منفی زمانی به وجود می‌آید که ثابت گذردهی خلاء ε و تراوایی مغناطیسی μ ماده در یک فرکانس مشخص به طور همزمان منفی باشند.

عدسی

عدسی، یا لنز (به انگلیسی: Lens) از ابزارهای نوری است که نور در اثر عبور از آن می‌شکند و همگرا یا واگرا می شود. عدسی‌ها از ماده‌های شفاف مانند شیشه و پلاستیک ساخته می‌شوند. عینک طبی و ذره‌بین و لنز دوربین‌های عکاسی و دوربین دوچشمی همه با عدسی ساخته شده اند. عدسی ها از نظر شیوه شکست نور در آن ها به دو دسته همگرا (محدب یا کوژ) و واگرا (مقعر یا کاو) تقسیم می شوند. یک عدسی ساده تنها از یک عنصر نوری تشکیل شده است. یک عدسی مرکب از یک مجموعه عدسی ساده که یک محور مشترک دارند تشکیل شده است. مزیت عدسی مرکب نسبت به عدسی ساده این است که بسیاری از بیراهش های نوری در آن قابل رفع هستند در حالی که این کار تنها با یک عدسی ساده امکان پذیر نیست. کاربرد عدسی تنها به امواج نوری محدود نمی‌شود، هر ابزاری که سایر امواج الکترومغناطیسی در اثر عبور از آن بشکند نیز عدسی خوانده میشود، به طور مثال لنز پارافین برای امواج مایکروویو وجود دارد.

محتویات

    ۱ تاریخچه
    ۲ ساختار
    ۳ گونه‌های عدسی از نظر کارکرد
    ۴ گونه‌های عدسی از نظر ساختار
    ۵ عدسی‌های مرکب
    ۶ عیوب عدسی ها
    ۷ عدسی های اصلاح شده
    ۸ تصاویر غیر واقعی
    ۹ دستگاه‌های نوری دارای عدسی
    ۱۰ عدسی چشم
    ۱۱ فرمول عدسی‌ها
    ۱۲ توان عدسی
    ۱۳ منابع

تاریخچه

قدیمی ترین عدسی عدسی نمرود است که به ٢٧٠٠ سال قبل و دوره آشوریان بر میگردد. از این عدسی احتمالاً برای متمرکز کردن نور خورشید برای روشن کردن آتش یا برای درشت نمایی استفاده می شده است. بعضی محققان استدلال می کنند که بر اساس شواهد باستان شناسی، از عدسی ها به طور گسترده در عهد عتیق استفاده می شده است. به طور مثال صنعت نگاران برای انجام کارهای ظریف یا برای تصدیق کردن اثر مهر از آن ها استفاده می کرده اند. اولین کسی که از عدسی استفاده علمی نمود، ابن هیثم پدر علم فیزیک نور است که در رساله خود به شرح آن پرداخته. بعدها گالیله و کمال‌الدین فارسی و ابوریحان بیرونی به مطالعه و کاربرد آن پرداختند.
ساختار

    کراون
    فلینت

گونه‌های عدسی از نظر کارکرد

عدسی همگرا: در عدسی همگرا، پرتوهای تابش، پس از شکست و گذر از عدسی، به هم نزدیک می‌شوند (یعنی همگرا می‌شوند). در عدسی‌های همگرا، لبه‌ها نازکتر از وسط آن است و به طور معمول برای کاربردهای متفاوت به شکل‌های دو کوژ، کوژتخت و هلالی همگرا ساخته می‌شوند. این عدسی از اتّصال دو منشور که از قاعده به یکدیگر وصل شده‌اند تشبیه شده‌است. از این نوع عدسی در میکروسکوپ ها (تمام قسمت‌ها) تلسکوپ ها (برخی قسمت‌ها) و عینک افراد دوربین یا آستیگمات (ترکیب عدسی‌های محدّب با چینش مخصوص) استفاده می‌شود. این نوع عدسی شیئ را بزرگتر نشان می‌دهد.

عدسی واگرا: در عدسی‌های واگرا، پرتوهای تابش، پس از شکست و گذر از عدسی، از هم دور می‌شوند (یعنی واگرا می‌شوند). لبهٔ این عدسی‌ها پهن‌تر از وسط آن است و به شکل‌های دو کاو، کاو تخت و هلالی واگرا ساخته می‌شوند. این نوع عدسی را می‌توان به دو منشور که از زاویهٔ مقابل قاعده به یکدیگر وصل شده‌اند تشبیه کرد. از این عدسی می‌توان به عنوان عینک برای افراد نزدیک بین و نزدیک بین-آستیگمات استفاده نمود. این نوع عدسی شیئ را کوچکترنشان می‌دهد.
گونه‌های عدسی از نظر ساختار
عدسی‌های مرکب
عدسی‌های گوناگون بر پایهٔ ساختار

عدسی‌ها را بر پایهٔ ساختار اینگونه بخش‌بندی می‌کنند:

    عدسی کوژ - تخت: آنچنان عدسی است که یک طرف آن کوژ و یک طرف آن تخت می‌باشد. این عدسی‌ها در تلسکوپ‌ها استفاده می‌شود. در صورتی که از سمت تخت آن چیزی را مشاهده کنید اشیاء کمی حالت wide پیدا می‌کنند (خطوط منحنی می‌شوند)
    عدسی دو کوژ: آنچنان عدسی است که هر دو طرف آن کوژ می‌باشد. این عدسی در ذرّه ین، میکروسکوپ و تلسکوپ استفاده می‌شود. تصویر از هر دو طرف یکسان است مگر این که بر آمدگی یک طرف از دیگری کمتر یا بیشتر باشد.
    عدسی هلالی (کوژ): آنچنان عدسی است که یک طرف آن کوژ و طرف دیگرش کاو باشد. این عدسی در عینک‌ها استفاده می‌شود و تصویر از هر طرف آن به نوعی wide می‌باشد.
    عدسی تخت - کاو: آنچنان عدسی است که یک طرف آن کاو و طرف دیگرش تخت باشد. این عدسی‌ها در برخی عینک‌های بسیار ته استکانی استفاده شده و تصویر از سمت تخت آن wide و از سمت فرو رفتهٔ آن تنها کوچک می‌شود.
    عدسی دو کاو: آنچنان عدسی است که هر دو طرف آن کاو باشد. تصویر از هر دو طرف یکسان است مگر این که یک سمت از دیگری فرورفته تر یا برجسته تر باشد.
    عدسی هلالی (کاو): آنچنان عدسی است که یک طرف آن کوژ و طرف دیگرش کاو باشد. این عدسی در عینک‌ها استفاده شده و تصویر از هر سمت آن به نوعی مایل می‌باشد.

عیوب عدسی ها
عدسی های اصلاح شده
تصاویر غیر واقعی

اگر ذره بینی را نزدیک صفحه‌ای از یک کتاب بگیرید، شکلی بزرگتر از آنچه روی صفحه کتاب است می‌بینید. زیرا پرتوهای نور بازتاب شده از صفحه کتاب، پس از عبور از عدسی از هم دور می‌شوند. پرتوهای نوری که از اجسام دور می‌آیند، پس از عبور از ذره بین به هم نزدیک می‌شوند. اگر محیط به قدر کافی تاریک باشد، می‌توانید این پرتوها را روی یک صفحه کاغذ ببینید. اگر کاغذ را در فاصله مناسبی از عدسی بگیرید، آنها تصویری متمرکز می‌سازند.
دستگاه‌های نوری دارای عدسی

بیش‌تر دستگاه‌های نوری شامل دو گونه عدسی می‌باشند که یکی را که نور، نخست بر آن می‌تابد و در ورودی دستگاه کار گذاشته می‌شود عدسی شیئی و دومی را که در خروجی دستگاه قرار دارد و نور از آن خارج می‌شود عدسی چشمی گویند. از جمله از این دستگاه‌ها میکروسکوپ نوری، زیر دریایی، میکروسکوپ پلاریزان، دوربین‌های دو چشمی، دوربینها، انواع عینکها و... را می‌توان نام برد.
عدسی چشم

عدسی چشم، یک عدسی همگرای دوکوژ بزرگ است که از ماده‌ای ژله مانند، انعطاف‌پذیر و شفاف ساخته شده‌است. ضریب شکست عدسی چشم تقریباً ۴۳۷/۱ است.[نیازمند منبع]این عدسی با خم کردن پرتوهای نور، آنها را در پشت چشم متمرکز می‌سازد. ماهیچه‌های چشم، هنگامی که اجسام دور را می‌بینیم، عدسی‌ها را می‌کشند و تخت تر (نازکتر) می‌کنندهنگام دیدن اجسام نزدیک هم، عدسی‌ها را ضخیم تر می‌کنند.
فرمول عدسی‌ها

این فرمول‌ها برای محاسبهٔ فواصل مختلف بکار برده می‌شوند:

۱- نسبت یک به روی p بعلاوه نسبت یک به روی q مساوی است با نسبت یک به روی F که در اینجا P فاصله شئ تا عدسی و q فاصله تصویر تا عدسی است و F فاصلهٔ کانونی است عدسی‌های واگرا علامت F منفی ودر عدسی‌های همگرا علامت F مثبت می‌باشد. ۲- F=r/2 یا بر عکس آن r=2*F توجه کنید r شعاع عدسی است.

۳- فرمول بزرگنمایی خطی آینه m برابر است با نسبت 'A'B به AB و مساوی است با q به روی p M = بزرگنمایی خطی (میزان چند برابر شدن تصویر) AB = طول شئ و 'A'B = طول تصویر

توجه: در همهٔ فرمولها همهٔ واحد با باید از یک نوع باشند مثلآ همهٔ موارد بر حسب سانتی متر باشند.
توان عدسی

توان عدسی برابر است با حاصل تقسیم عدد یک بر روی فاصله کانونی(بر حسب متر) و واحد توان عدسی دیوپتر می‌باشد.توان عدسی برای عدسی‌های همگرا مثبت و برای عدسی‌های واگرا منفی در نظر گرفته می‌شود.