تکانه

در فیزیک، تکانه، اندازهٔ حرکت یا مقدار حرکت کمیتی برداری است. حاصل‌ضرب جرم شیء در سرعت آن در هر لحظه، تکانهٔ شیء در آن لحظه‌است. یعنی

    \mathbf{p} =m\mathbf{v}

که در آن، m جرم، \mathbf{v} سرعت و \mathbf{p} تکانه‌است. در دستگاه SI، تکانه بر حسب واحد kg.m/s اندازه‌گیری می‌شود. در تعریف بالا فقط حرکت انتقالی مد نظر است؛ از اینرو، می‌توان از ابعاد شیء صرف نظر کرده و آن را به عنوان یک ذره به حساب آورد. تکانه کمیتی برداریست پس هم دارای اندازه و هم دارای جهت است. در ضمن، تکانه کمیتی موضعی است، بدین معنا که در هر نقطه از مسیر حرکت و یا در هر لحظه[۱] مقدار دارد. از آنجا که در مطالعهٔ حرکت دورانی با مفهوم مشابهی موسوم به تکانهٔ زاویه‌ای روبرو می‌شویم، بهتر است به جای تکانه از عبارت تکانهٔ خطی استفاده کنیم.

محتویات

    ۱ تکانهٔ خطی ذره
    ۲ تکانهٔ خطی سیستم بس ذره‌ای
    ۳ قانون پایستگی تکانهٔ خطی
    ۴ تکانهٔ خطی در نسبیت خاص
    ۵ تکانهٔ خطی تعمیم یافته
    ۶ تکانهٔ خطی در مکانیک کوانتومی
    ۷ پانویس
    ۸ منابع

تکانهٔ خطی ذره

نیوتن در کتاب اصول، قانون دوم حرکت خود را بر اساس مفهوم تکانهٔ خطی بیان کرده‌است: برآیند همهٔ نیروهای وارد شده بر یک ذره با نرخ تغییرات زمانی تکانهٔ خطی ذره برابر است. بنابراین:

    \mathbf{F} = {\mathrm{d}\mathbf{p} \over \mathrm{d}t} \,\!

که در آن، F نشان دهندهٔ برآیند همهٔ نیروهاست. بدیهی است که اگر هیچ نیرویی به ذره وارد نشود و یا برآیند نیروهای وارد بر آن صفر باشد، تکانهٔ خطی، و به تبع آن، سرعت ذره با گذشت زمان ثابت خواهند ماند. سرعت کمیتی برداریست و ثابت ماندن آن بدین معناست که هم اندازه و هم جهت آن ثابت می‌مانند؛ در نتیجه، ثابت ماندن سرعت معادل با انجام حرکت مسقیم الخط یکنواخت است. بنابراین، اگر \mathbf{F}=0 باشد حرکت ذره مسقیم الخط یکنواخت خواهد بود.[۲]

با جایگزینی \mathbf{p} =m\mathbf{v} و محاسبهٔ مشتق حاصل ضرب داریم:

    \mathbf{F} = {\mathrm{d}(m\mathbf{v}) \over \mathrm{d}t} ={\mathrm{d}m \over \mathrm{d}t}\mathbf{v}+ m{\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t} \,\!

با فرض آن که جرم سیستم ثابت باشد، جملهٔ اول در طرف راست معادلهٔ بالا حذف می‌شود و می‌توان نوشت:

    \mathbf{F} = {\mathrm{d}(m\mathbf{v}) \over \mathrm{d}t} = m{\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t} = m\mathbf{a} \,\!

تکانهٔ خطی سیستم بس ذره‌ای

تکانهٔ خطی یک سیستم بس ذره ای(سیستم متشکل از دو یا چند ذره) به صورت حاصل جمع تکانه‌های خطی تک تک ذرات تشکیل دهندهٔ سیستم تعریف می‌شود:

    \mathbf{P} = \sum_{i = 1}^N \mathbf{p}_i = \mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2+ \cdots +\mathbf{p}_N=m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2+ \cdots +m_N\mathbf{v}_N \,\!

مرکز جرم یک سیستم بس ذره‌ای به صورت زیر تعریف می‌شود:

    M\mathbf{r}_{cm} = \sum_{i = 1}^N m_i\mathbf{r}_i = m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2+ \cdots +m_N\mathbf{r}_N \,\!

که در آن، M جرم کل سیستم(مجموع جرم‌های همهٔ ذرات تشکیل دهندهٔ سیستم) است:

    M = \sum_{i = 1}^N m_i = m_1 + m_2 + \cdots +m_N \,\!

با توجه تعریف به بردار سرعت، اگر از طرفین معادلهٔ بالا نسبت به زمان مشتق بگیریم، به نتیجهٔ زیر می‌رسیم

    M\mathbf{V}_{cm} = \sum_{i = 1}^N m_i\mathbf{v}_i = m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2+ \cdots +m_N\mathbf{v}_N \,\!

بنابراین، به جای مطالعهٔ حرکت تک تک ذرات تشکیل دهندهٔ سیستم، می‌توان فرض کرد که ذره‌ای با جرم کل M در مرکز جرم سیستم قرار گرفته و با سرعت \mathbf{V}_{cm} در حال حرکت است. تکانهٔ خطی این ذره برابر تکانهٔ خطی کل سیستم خواهد بود:

    \mathbf{P} = \mathbf{P}_{cm} = M\mathbf{V}_{cm} \,\!

با مشتق گیری از رابطهٔ بالا نسبت به زمان، قانون دوم نیوتون برای سیستم بس ذره‌ای به شکل حاصل می‌شود:

    \mathbf{F} = {\mathrm{d}\mathbf{P} \over \mathrm{d}t} = {\mathrm{d}\mathbf{P}_{cm} \over \mathrm{d}t} \,\!

طرف چپ معادلهٔ بالا نشان دهندهٔ برآیند همهٔ نیروهای داخلی و خارجی وارد بر همهٔ ذرات تشکیل دهندهٔ سیستم است. در یک سیستم N ذره‌ای، هر یک از ذرات تشکیل دهنده، هم تحت تاءثیر محیط و هم تحت تاءثیر (N-1) ذرهٔ دیگر (همهٔ ذرات سیستم به جز خودش) است. پس هر ذره، علاوه بر نیروهایی که از طرف محیط سیستم به آن وارد می‌شود، (N-1) نیرو از (N-1) ذرهٔ داخل سیستم دریافت می‌کند.

    \mathbf{f}_i = \mathbf{f}_{i}^{ext} + (\mathbf{f}_{1\rightarrow i}^{int}+\mathbf{f}_{2\rightarrow i}^{int}+ \cdots +\mathbf{f}_{(i-1)\rightarrow i}^{int} + \mathbf{f}_{(i+1)\rightarrow i}^{int} + \cdots + \mathbf{f}_{N\rightarrow i}^{int}) \,\!

در این معادله، \mathbf{f}_{i}^{ext} برآیند نیروهای خارجی وارد شده به ذرهٔ iام و \mathbf{f}_{j\rightarrow i}^{int} نیروی وارد شده از ذرهٔ j ام به ذرهٔ i ام هستند. بنا به قانون سوم نیوتن، اگر ذرهٔ j ام نیروی \mathbf{f}_{j\rightarrow i}^{int} را به ذرهٔ i ام وارد کند، ذرهٔ i ام نیز نیروی \mathbf{f}_{i\rightarrow j}^{int} = -\mathbf{f}_{j\rightarrow i}^{int} را به ذرهٔ j ام وارد خواهد کرد. در نتیجه، در محاسبهٔ نیروی کل وارد بر کل سیستم N ذره‌ای، علاوه بر نیروهای خارجی، N نیروی داخلی هم داریم که دو به دو همدیگر را حذف می‌کنند. بنابراین،

    \mathbf{F} = \mathbf{F}_{ext} = \sum_{i=1}^N \mathbf{f}_{i}^{ext} = \mathbf{f}_{1}^{ext} + \mathbf{f}_{2}^{ext} + \cdots + \mathbf{f}_{N}^{ext} \,\!

یعنی این که، نیروهای داخلی سیستم اثری بر رفتار کل سیستم ندارند و در مطالعهٔ دینامیک سیستم کافی است فقط نیروهای خارجی را در نظر بگیریم.

    \mathbf{F}_{ext} = {\mathrm{d}\mathbf{P} \over \mathrm{d}t} = {\mathrm{d}\mathbf{P}_{cm} \over \mathrm{d}t} \,\!

قانون پایستگی تکانهٔ خطی

اگر هیچ نیروی خارجی بر سیستم اثر نکند و یا برآیند نیروهای خارجی وارد بر سیستم صفر باشد، تکانهٔ خطی سیستم با گذشت زمان ثابت می‌ماند. به زبان ریاضی:

    \mathbf{F}_{ext} = 0 \Rightarrow {\mathrm{d}\mathbf{P} \over \mathrm{d}t} = 0 \Rightarrow \mathbf{P} = Const. \,\!

نتیجهٔ حاصل به قانون پایستگی تکانهٔ خطی معروف است. هم نیرو و هم تکانهٔ خطی کمیت‌هایی برداریند، بنابراین در هر جهتی که مولفهٔ نیروی برآیند صفر باشد مولفهٔ تکانهٔ خطی در آن جهت با گذشت زمان پایسته می‌ماند(مستقل از این که در جهات دیگر پایسته هست یا نه). به عنوان نمونه، در دستگاه مختصات دکارتی سه بعدی، که

    \mathbf{F}_{ext} = F_x\mathbf{i} + F_y\mathbf{j} + F_z\mathbf{k} \qquad \mathbf{P} = P_x\mathbf{i} + P_y\mathbf{j} + P_z\mathbf{k} \,\!

هر یک از مولفه‌های نیرو صفر باشند مولفهٔ متناظر تکانهٔ خطی پایسته خواهد بود؛ فارغ از این که دو مولفهٔ دیگر پایسته هستند یا نه. نیروی پیشرانه ی حاصل از موتور جت و پدیدهٔ پس زنی تفنگ نمونه‌هایی از اثر قانون پایستگی تکانهٔ خطی می‌باشند. در هر دوی این مثال‌ها، جزئی از سیستم، به بهای پرتاب جزء دیگر در یک جهت، در جهت مخالف پس زده می‌شود.

در موتور جت سوخت با هوای وارد شده از دهانهٔ جلویی موتور مخلوط می‌شود و گاز متراکم داغی در اثر سوختن حاصل می‌گردد. گاز داغ و بدنهٔ موتور اجزای تشکیل دهندهٔ یک سیستم دو جزئی هستند. این سیستم دو جزئی تکانهٔ خطی مشخصی دارد؛ وقتی گاز داغ با فشار به سمت بیرون هدایت می‌شود، تکانهٔ خطی هر دو جزء تغییر می‌کند. چون نیروهای مبادله شده بین گاز و موتور نیروهای داخلی سیستم دو جزئی هستند و هیچ نیروی خارجی در امتداد حرکت موتور جت بدان وارد نمی‌شود، تکانهٔ خطی کل سیستم دو جزئی ثابت می‌ماند. بنابراین، تغییر تکانهٔ اجزا به گونه ایست که کل تغییرات صفر باشد؛ اگر \Delta\mathbf{p}_1 و \Delta\mathbf{p}_2 به ترتیب نشان دهندهٔ تغییرات تکانهٔ خطی گاز و بدنه باشند، داریم:

    \Delta\mathbf{p}_1 + \Delta\mathbf{p}_2 =0 \quad \Rightarrow \quad \Delta\mathbf{p}_1 = -\Delta\mathbf{p}_2 \,\!

به ازای تغییر سرعتی که به تودهٔ گاز خروجی در یک جهت داده می‌شود خود موتور جت در جهت مخالف شتاب می‌گیرد.[۳]

پدیدهٔ پس زنی تفنگ را هم به همین ترتیب می‌توان مورد بحث قرار داد. فرض کنید قبل از شلیک، تفنگ و گلوله هر دو ساکن باشند؛ اگر جرم تفنگ و گلوله را، به ترتیب با M و m، و سرعت‌های آن دو بعد از شلیک را به ترتیب با V و v نشان دهیم:

    0 = m \mathbf{v} + M \mathbf{V} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{V} = - {m \over M} \mathbf{v} \,\!

پس، در اثر شلیک گلوله، تفنگ سرعتی در خلاف جهت شلیک گلوله و متناسب با نسبت جرم گلوله به تفنگ پیدا می‌کند.
در این پویانمایی می‌توان قانون پایستگی انرژی و قانون پایستگی تکانه را بین دو جسم برخوردکننده با جرم برابر مشاهده کرد.

قانون پایستگی تکانهٔ خطی، با این که در این مقاله به صورت نتیجه‌ای از قانون دوم نیوتن بیان شده، در واقع یکی از قوانین پایه‌ای طبیعت است.
تکانهٔ خطی در نسبیت خاص

در نظریهٔ نسبیت خاص، تکانهٔ خطی به شکلی بازتعریف می‌شود که قانون پایستگی تکانهٔ خطی برقرار باشد. p=m/√1-v^2/c^2