تقسیم

تَقسیم یا پارِش یا بَخش یکی از چهار عمل اصلی در ریاضی است که وارونهٔ عمل ضرب است.

به طور ویژه، اگر «c» ضرب‌در «b» برابر «a» را اینگونه بنویسیم:

    c \times b = a\,

اگر b برابر صفر نباشد، پس «a» بخش بر (تقسیم بر) «b» برابر «c»، اینگونه نوشته می‌شود:

    \frac ab = c

برای نمونه:

    \frac 63 = 2

هنگامی که:

    2 \times 3 = 6\,.

در گزارهٔ بالا٬ «a» را «مقسوم»٬ «b» را «مقسوم علیه» و «c» را «خارج قسمت» می‌گویند.

تقسیم بر صفر (یا بخش بر صفر) درصورتی که «b» صفر باشد تعریف نشده است.

نیم

نیم یا نصف هر چیز، یک بخش (قسمت) از آن است، به شرطی که آن را دقیقا به ۲ بخش مساوی تقسیم کرده باشیم.

در زبان ریاضی، «نیم»، کسر ساده‌نشدنی حاصل از تقسیم عدد ۱ بر ۲ است.

کسر

در ریاضیات، بَرخه (کسر) به کمیتی گفته می‌شود که متناظر با حاصل تقسیم دو عدد صحیح باشد. در واقع، بَرخه (کسر) یا «شمار بَرخه (عدد کسری)» نام دیگر عدد گویا است.

نمونه: ۳/۴

۳ را بَرخه شمار (صورت کسر، شماران) و ۴ را بَرخه نام (مخرج کسر، نامان) می‌نامند. نامان (مخرج کسر) عددی است که در زیر یک کسر (برخه) نوشته می شود و نشانگر نام یا تعداد همه اقلام کسر است. شماران (صورت کسر) عددی است که در بالای کسر(برخه) قرار می گیرد و نشانگر تعداد یک مجموعه از یک کل است.

بَرخهٔ (کسر) متعارفی نوعی خاصی از بَرخه (کسر) است که بنا بر تعریف، هم صورت(شماران) و هم مخرج(نامان) آن اعداد صحیح هستند (مخرج باید مخالف باشد). به عنوان مثال، اعداد ۴/۳ و ۹/۶- کسر متعارفی هستند، ولی ۴/۱٫۲ و ۵/۳/۲/۱ کسر متعارفی نمی‌باشند.
تاریخ پیدایش بَرخه (کسر) متعارفی

بَرخه (کسر) متعارفی در جریان اندازه‌گیری و زمانی پدید آمد که ناچار شدند واحد اندازه‌گیری را بشکنند؛ چرا که برای ادامه اندازه‌گیری، نتوانستند از واحد استفاده کنند. این موضوع، به ویژه از پیدایش بَرخه‌های (کسرهای) مشخص، پیش از پیدایش مفهوم کلی بَرخه (کسر)، روشن می‌شود.

زمان زیادی لازم بود تا "نیم" و «یک چهارم» به صورت ۱/۲ و ۱/۴ برای هر نوع واحدی (طول، حجم، وزن، زمان) به کار رود.

در هزاره دوم پیش از میلاد بود که بشر توانست از بَرخه (کسر)، همچون بخشی از واحد، استفاده کند. در بابل کهن، حتی نمادهای خاصی برای برخی بَرخه های (کسرهای) متعارفی وجود داشت.

گویا صفت فاعلی از مصدر گفتن می‌باشد و در ریاضی هر شمار بَرخه‌ای (کسر ای) مانند و یا هر عددی که بتوان آن را به شکل یک بَرخه (کسر) نوشت را یک عدد گویا می‌نامیم. مانند ۲-، ۰ ، ۳+ ،۲/۳ -، ۲۵/- که به ترتیب به شکل بَرخه‌های (کسرهای) می‌توان نوشت. به طور کلی هر عددی که بتوان آنرا به صورت بَرخه (کسر) نوشت، به طوریکه صورت و مخرج آن متعلق به اعداد صحیح باشند و مخرج آن مخالف صفر باشد یک عدد گویا می‌گویند. مجموعه اعداد گویا را با حرف Q حرف اول کلمهٔ Quotient به معنی «خارج قسمت» نمایش می‌دهند.

.۱- بین هر دو عدد گویا بی شمار عدد گویا می‌توان یافت

مثال  بین دو عدد گویا  سه عدد دیگر بنویسید .

           ابتدا دو عدد را هم مخرج می‌کنیم.

۲- اگر دو عدد گویا داشته باشیم عدد گویا ی بین این دو عدد است یعنی مثال  بین دو عدد گویا چهار عدد دیگر بنویسید. حل:

۳- اگر دو عدد گویا ی مساوی باشند، آنگاه (خاصیت طرفین وسطین) مثال 

۴- اگر بَرخه‌ای (کسری) برابر صفر باشد، صورت آن برابر صفر است. مثال  عدد x را بیابید به طوریکه حاصل برابر صفر باشد. حل :

۵-اگر بَرخه‌ای (کسری) برابر یک باشد، صورت و مخرج آن برابرند.

 مثال  عدد x را بیابید به طوریکه حاصل بَرخه (کسر) برابر یک باشد.

حل :

۶- تقسیم عدد گویا : (روش دور در دور نزدیک در نزدیک) مثال  (روش دور در دور نزدیک در نزدیک)

۷-دو عدد گویا معکوس یکدیگرند، هر گاه حاصل ضرب آن‌ها برابر یک باشد. مثال  معکوس یکدیگرند؛ و .

عدد گویا

اعداد گویا یا اعداد منطقی در حقیقت همان کسرها (نه همه کسرها) هستند که دارای علامت‌های مثبت و منفی هستند. درواقع اعداد صحیح،طبیعی و اعداد حسابی همه زیر مجموعه‌ای از اعداد گویا هستند. اعداد گویا را می‌توان روی محور نمایش داد. مخرج تمامی اعداد طبیعی یک است و علامت آن‌ها مثبت در نتیجه همهٔ آنان کسر هستند. اعداد اعشاری را می‌توان جزو اعداد گویا به حساب آورد زیرا هر عدد اعشاری را می توان به صورت کسری نوشت که مخرج آن یکی از توانهای مثبت 10 و صورت آن یک عدد صحیح باشد. برای نمایش آنان روی محور می‌توان آنان را به کسر تبدیل نمود. اعداد گویا حاصل تقسیم دو عدد (تقسیم یک عدد صحیح بر یک عدد طبیعی[۱]) هستند. بی نهایت کسر بین دو عدد گویا وجود دارد. اعداد گویا با علامت مثبت بزرگتر از اعداد گویا با علامت منفی هستند. اعداد گویا از منفی بی نهایت تا مثبت بی نهایت ادامه دارند. ضمنا نماد اعداد گویا Q می باشد.

اشتباه نسبتاً رایج، گاهی اعداد کسری را با اعداد گویا یکی می‌دانند. این در حالی‌ست که، اعداد گویا فقط کسرهایی هستند که از تقسیم دو عدد صحیح حاصل‌آمده باشد. به عنوان نمونه، نسبت \frac{\sqrt{3}}{2} کسر هست، ولی، گویا نیست، بلکه اصم یا عدد گنگ است.

بطور کلی می توان اعداد گویا را بدین سان نمایش داد : {x/y|x,y ϵZ ,y≠0|}


مقایسه ی اعداد گویا: برای مقایسه اعداد گویای مثبت پس از هم مخرج کردن آنها، صورتهایشان را مقایسه میکنیم؛ هر کدام که بزرگتر بود، آن عدد بزرگتر است. برای هم مخرج کردن، صورت و و مخرج هر یک از اعداد گویا را در مخرج دیگری ضرب میکنیم.
مثال: کدام یک از از اعداد گویای \frac{5}{11} = \frac{3}{7} بزرگتر هستند؟
پاسخ:

\frac{5}{11} = \frac{5 * 7}{11 * 7} = \frac{35}{77} , \frac{3}{7} = \frac{3 * 11}{7 * 11} = \frac{33}{77}


از آنجا که 33<35 است، پس \frac{35}{77} > \frac{33}{77} یعنی \frac{5}{11} > \frac{3}{7}
نکته: بین دو عدد گویای مثبت که صورتشان برابر است، عددی که مخرجش کوچکتر است، از عدد دیگر بزرگتر میباشد.


جمع و تفریق اعداد گویا: برای جمع و تفریق اعداد گویا ابتدا مخرج کسرها را یکسان میکنیم، سپس یکی از مخرج ها را نوشته و صورت ها را با هم جمع یا تفریق میکنیم.

فرم کلی:
\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+/-bc}{bd}.

مثال:
\frac{4}{3} + \frac{2}{5} = \frac{20+6}{15} = \frac{26}{15}

\frac{5}{6} - \frac{5}{4} = \frac{20-30}{24} =\frac{-10}{24}


ضرب و تقسیم اعداد گویا:برای ضرب اعداد گویا، صورت‌ها را در هم و مخرج‌ها را نیز درهم ضرب می‌کنیم. اما برای تقسیم دو عدد گویا، عدد اول را در معکوس عدد دوم ضرب می‌کنیم.

فرم کلی:
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}.

مثال:
\frac{2}{5} \cdot \frac{14}{35} = \frac{2 \cdot 14 }{5 \cdot 35} = \frac{28}{175}

\frac{5}{7} \div \frac{3}{5} = \frac{5 \cdot 5 }{7 \cdot 3} = \frac{25}{21}


بدست آوردن عدد یا اعداد گویا بین دو عدد گویا: مخرج کسرهای دو عدد گویا را یکسان میکنیم. سپس کسری می‌نویسیم که مخرج آن با مخرج کسرها یکسان و صورت آن عددی بین عددهای صورت‌های دو عدد گویا باشد.

مثال:
عدد یا اعداد گویای بین عددهای \frac{1}{2} , \frac{2}{3} پیدا کنید.

اول یکسان سازی ....
\frac{1}{2} = \frac{1 * 3}{2 * 3} = \frac{3}{6} , \frac{2}{3} = \frac{2 * 2}{3 * 2} = \frac{4}{6}


سپس صورت و مخرج این کسرها را در 4 ضرب می‌کنیم. پس، باید بین \frac{12}{24} , \frac{16}{24} اعداد گویا را بیابیم.

اعداد \frac{13}{24} , \frac{14}{24} , \frac{15}{24} بین اعداد مورد نظر ما هستند.


روش ساده تر نوشتن یک کسر بین دو کسر گویا این است که صورت دو کسر را با هم جمع کنیم و در صورت کسر جدید بنویسیم و مخرج دو کسر را نیز جمع کرده و در مخرج کسر جدید بنویسیم. کسر جدید بین دو کسر خواهد بود.
مثال:

عدد یا اعداد گویای بین عددهای \frac{1}{2} , \frac{2}{3} پیدا کنید.

\frac{1}{2} < \frac{1 + 2}{2 + 3} < \frac{2}{3}




\frac{1}{2} < \frac{3}{5} < \frac{2}{3}

فضای اقلیدسی

فضای برداری \mathbb{R}^k با ضرب داخلی و نرم \|\mathbf{x}\| = \bigg(\sum_{i=1}^k x_i^2 \bigg)^{1/2} که \mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_k)\in\mathbb{R}^k، را فضای اقلیدسی k بعدی می‌نامیم.

\Bbb{R} ، فضای اقلیدسی یک‌بعدی یا همان خط حقیقی است. \Bbb{R} \times \Bbb{R} یا \mathbb{R}^2 نیز فضای اقلیدسی دو بعدی است که به آن صفحه اقلیدسی یا دستگاه مختصات دکارتی می‌گوییم. با تعمیم این مفاهیم فضای اقلیدسی nبعدی یا \mathbb{R}^n و به همین ترتیب فضای اقلیدسی بینهایت بعدی، \mathbb{R}^\omega تعریف می‌شوند.

فضاهای با بعد بالاتر در زمینه‌هایی مانند نسبیت، مکانیک آماری و مکانیک کوانتمی کاربرد دارند. در مکانیک کوانتمی حتی فضاهای با بعد نامتناهی نیز کاربرد دارند.
تعاریف و اصطلاحات

یک نقطه در فضای دو بعدی عبارت است از جفت مرتبی از عددهای حقیقی مانند (x_1 ,x_2). به همین طریق یک نقطه در فضای سه بعدی، سه‌تایی مرتبی از عددهای حقیقی مانند (x_1,x_2,x_3) است. بنابراین می‌توان nتایی مرتبی از عددهای حقیقی مانند (x_1,x_2,\ldots,x_n) را به عنوان نقطه‌ای در فضای nبعدی در نظر گرفت.

فضای متری

در ریاضیات فضای متری یا فضای متریک به مجموعه‌ای گفته می‌شود که مفهومی از نوع فاصله (distance) (موسوم به متری) مابین اعضاء آن تعریف شده باشد.

محتویات

    ۱ انگیزه‌ها
    ۲ توپولوژی یک فضای متری
    ۳ مثال
    ۴ جستارهای وابسته
    ۵ منابع

انگیزه‌ها

از جملهٔ کارآترین ابزار و شیوه‌های گسترش و پیشرفت در ریاضیات (و در بسیاری از میدان‌ها و زمینه‌های دیگر حیات انسانی) تجرید، و از آن هم مهم‌تر، تعمیم است.

فضای متری یکی از مفاهیم مهم توپولوژی و آنالیز ریاضی است.

زوج مرتب (X,d) \, را که در آن X مجموعه‌ای از نقاط و d یک تابع حقیقی d\colon \mathbb{X} \times \mathbb{X} \to \mathbb{R} می‌باشد یک فضای متریک گویند هرگاه:

        ۱. d(p,q) \geq 0 (فاصله هیچ گاه منفی نمی‌تواند باشد)
        ۲. d(p,q) = 0 \iff p=q (فاصله صفر است اگر و تنها اگر هر دو شیء یکی باشند)
        ۳. d(q,p) = d(p,q) \, (بدون بستگی داشتن به مقادیر p،q همواره دارای خاصیت تقارنی است)
        ۴. d(p,q) + d(q,r) \geq d(p,r) (نامساوی مثلث یا قضیهٔ حمار)


این خاصیت‌ها به طور شهودی مفهوم فاصله را بیان می‌کند. مثلاً فاصله بین دو نقطه همیشه مقداری مثبت است و یا فاصله بین دو نقطه p و q برابر با فاصله q تا p است. همچنین بر اساس نامساوی مثلث، مسیر مستقیم p تا q کوتاهتر از مسیری است که از p به r و سپس از r به q طی می‌کنیم.

توجه کنید که هر فضای متری یک فضای توپولوژیک نیز هست.
توپولوژی یک فضای متری

فرض کنیم (X,d) \, یک فضای متری باشد. یک زیر مجموعهٔ V \subset X را باز گوییم هرگاه به ازای هر نقطه x \in V عددی مانند \varepsilon > 0 وجود داشته باشد به گونه‌ای که گوی به مرکز x و شعاع \varepsilon، یعنی : K_{\varepsilon}(X) := \{y \in X\; | \; d(x,y) < \varepsilon \} نیز مشمول V باشد. مجموعهٔ توپولوژیک d متشکل از همهٔ مجموعه‌های باز X را توپولوژی فضای متری (X,d) \, می‌نامند.
مثال

روی یک فضا مترهای مختلفی می‌توان تعریف کرد مثلاً \mathbb{R} (مجموعه اعداد حقیقی) با تابع فاصله d(x,y)=|x-y| \, (به طوریکه x و y عضو X) یک فضای متری ست. به طور کلی فضای اقلیدسی \mathbb{R}^n با متر d(x,y)=\Vert x-y \Vert فضای متری ست. این متر را متر معمولی روی \mathbb{R}^n می‌نامیم.
متر گسسته که در آن d(x,y) = 0 اگر x=y و در غیر این صورت d(x,y) = 1 تعریف می‌شود مثال ساده اما بسیار مهمی است.این متر برروی همه مجموعه‌های ناتهی می‌تواند تعریف شود.این مفهوم به ویژه نشان می‌دهد که برای هر مجموعه ناتهی یک فضای متریک مخصوص و مربوط به آن وجود دارد. با اعمال این متر روی مجموعه‌ها هر عضو مجموعه مانند یک گوی باز می‌ماند بنابراین هر زیر مجموعه از آن هم باز و هم بسته خواهد بود و این فضا دارای توپولوژی گسسته می‌باشد.

مجموعه بسته

در هندسه، توپولوژی و شاخه‌های مربوط به ریاضیات، مجموعه بسته مجموعه‌ای است که متمم آن یک مجموعه باز باشد. در واقع در یک فضای توپولوژیک یک مجموعه بسته می‌تواند مجموعه‌ای تعریف شود که شامل تمام نقاط حدی خود باشد. در یک فضای متریک کامل, مجموعه بسته مجموعه‌ای است که نسبت به عمل حدگیری بسته باشد. یعنی حد هر دنباله از اعضای مجموعه، در خود مجموعه قرار گیرد.

محتویات

    ۱ تعاریف معادل برای مجموعه بسته
    ۲ ویژگی‌های مجموعه‌های بسته
    ۳ مثال‌هایی از مجموعه‌های بسته
    ۴ اطلاعات بیشتری از مجموعه‌های بسته
    ۵ جستارهای وابسته
    ۶ منابع

تعاریف معادل برای مجموعه بسته

در یک فضای توپولوژیک یک مجموعه بسته است اگر و فقط اگر با بستار خود برابر باشد.
ویژگی‌های مجموعه‌های بسته

یک مجموعه بسته دارای نقاط مرزی خود می‌باشد. به عبارت دیگر اگر بیرون از یک مجموعه بسته باشید و به مقدار کوچکی به هر طرف حرکت کنید، باز هم خارج از مجموعه قرار می‌گیرید. توجه کنید که اگر مرز مجموعه، تهی نیز باشد این مسئله باز هم برقرار خواهد بود، برای مثال، اعداد گویایی که مربع آن‌ها از ۲ کم‌تر باشد.
اشتراک نامتناهی مجموعه از مجموعه‌های بسته، بسته است.
اجتماع متناهی مجموعه از مجموعه‌های بسته، بسته است.
مجموعه تهی و تمام فضا بسته هستند. در حقیقت در مجموعه X و گردایه F از زیرمجموعه‌های آن که این ویژگی‌ها را دارند، F یک گردایه‌ای از مجموعه‌های بسته برای توپولوژی یکتایی روی مجموعه X خواهد بود. همچنین خاصیت اشتراک پذیری این امکان را به ما می‌دهد که بتوانیم بستار مجموعه A را در فضای X به صورت کوچکترین زیرمجموعه بسته X که شامل A باشد، تعریف کنیم. همین‌طور بستار یک مجموعه می‌تواند از اشتراک تمام مجموعه‌های شامل آن مجموعه نیز به دست آید.
مجموعه‌هایی که از اجتماع تعداد شمارا مجموعه بسته ساخته می‌شوند، لزوما بسته هستند.
مثال‌هایی از مجموعه‌های بسته

    بازه بسته [a,b] از اعداد حقیقی بسته است.
    بازه واحد ([۱، ۰]) در فضای متریک اعداد حقیقی بسته است، و مجموعه اعداد گویای داخل مجموعه ([۱، ۰]) در فضای اعداد گویا بسته است، در صورتی که مجموعه اعداد گویای داخل مجموعه ([۱، ۰]) در فضای متریک اعداد حقیقی بسته نیست.
    بعضی مجموعه‌ها نه باز هستند و نه بسته، برای مثال مجموعه نیمه بستهٔ [۱، ۰).
    بعضی مجموعه‌ها هم باز و هم بسته‌اند، که مجموعه‌های بست-باز نامیده می‌شوند.
    مجموعه نیمه بسته (∞+،۱] بسته است.
    مجموعه کانتور یک مجموعه بسته غیرعادی است از این جهت که شامل تمام نقاط مرزی است و در هیچ‌جا متراکم نیست.
    مجموعه‌های تک عضوی (و در نتیجه مجموعه‌های متناهی) در فضاهای هاستروف بسته هستند.
    اگر X و Y فضاهای توپولوژیک هستند، تابع f از X به Y پیوسته است اگر و فقط اگر تصویر وارون هر زیر مجموعه بسته از Y در X نیز بسته باشد.

اطلاعات بیشتری از مجموعه‌های بسته

در توپولوژی عمومی، مجموعه A بسته است اگر و فقط اگر شامل نقاط مرزی خود باشد.
مفهوم مجموعه بسته تحت تعریف مجموعه باز تعریف می‌شود. یک مفهوم که درکی از فضای توپولوژیک ایجاد می‌کند و همچنین از فضاهای دیگری که ساختاری توپولوژیک دارند، مانند فضای متریک، فضای یکنواخت.

نقطه حدی

در ریاضیات، نقطهٔ انباشتگی یا نقطهٔ حدیِ مجموعهٔ S در فضای توپولوژیک X، نقطه‌ای مانند x (درون فضای X و نه لزوماً مجموعهٔ S) است که هر همسایگی آن، شامل نقطه‌ای از S غیر از x باشد یا S را در نقطه‌ای بجز x قطع کند. توجه شود که در این تعریف همسایگی دلخواه نقطه حدی باید محذوف باشد (یعنی شامل خود نقطه x نباشد) همچنین نقطه حدی می‌تواند عضو مجموعه S باشد یا نباشد و این موضوع در تعریف مذکور تأثیری ندارد. مجموعهٔ نقاط حدی S را با 'S نشان می‌دهیم و به آن مجموعهٔ مشتق S می‌گوییم.

نقطهٔ حدی در تعریف مفاهیمی چون حد، بستار و مجموعه بسته پدیدار می‌گردد.
نگاره نقاط دنباله xn = (-۱)n·nn+۱ از اعداد گویا را نشان می‌دهد. ۱ و ۱- نقاط حدی آن هستند.

محتویات

    ۱ مثال‌ها
    ۲ قضیه‌ها
    ۳ دانستنی‌ها
    ۴ پانویس
    ۵ منابع

مثال‌ها
نگاره اعداد گویای مثبت را نشان می‌دهد. بنابر قضیه چگالی، هر نقطه در مجموعه اعداد حقیقی یک نقطه حدی مجموعه اعداد گویا است.

    با در نظر گرفتن خط حقیقی \mathbb R، اگر A = (۰,۱] آنگاه نقطهٔ ۰ یک نقطهٔ حدی A است. همچنین ۱۲ نیز نقطه حدی دیگر آن است. در واقع هر نقطهٔ بازهٔ [۰,۱] یک نقطه حدی A است. ولی هیچ عضو دیگر \mathbb R نقطه حدی A است.[۱]
    یک مجموعه متناهی دارای نقطه حدی نیست.[۲]
    مجموعه نامتناهی \mathbb N (مجموعه اعداد طبیعی) نقطه حدی ندارد.[۲]
    تنها نقطه حدی مجموعهٔ A=\left \{\frac{1}{n} : n \in \mathbb N\right \} نقطهٔ ۰ است. هیچ‌یک از نقاط دیگر A نقطهٔ حدی آن نیست.[۲]

قضیه‌ها

    فرض کنید (M,d) یک فضای متریک باشد، A ⊆ M و p ∈ M آن‌گاه احکام زیر معادلند:

        p یک نقطه حدی A است.
        هر همسایگی p شامل تعدادی نامتناهی نقطه از A است.
        دنباله‌ای مانند (xn) از نقاط A وجود دارد که همواره xn ≠ p ولی \lim_{n \to \infty}x_n = p.[۳]

دانستنی‌ها

    نقطهٔ p در فضای متری X را یک نقطهٔ تراکم مجموعهٔ E ⊂ X نامند هرگاه هر همسایگی p تعداد شمارش ناپذیری نقطه از E را داشته باشد. نقطه تراکم نوع خاصی از نقطه حدی است.[۴]
    هرگاه p ∈ S و p نقطهٔ حدی S نباشد، آنگاه p یک نقطهٔ تنهای S نام دارد.
    S بسته است هرگاه هر نقطهٔ حدی S یک نقطه از S باشد.[۵]
    S کامل است هرگاه S بسته و هر نقطهٔ آن یک نقطه حدی آن باشد.

مجموعه کانتور

مجموعه کانتور در ریاضیات مجموعه‌ای از نقاط است که به روی یکپاره خط واحد که دارای خواص ویژه‌ای است قرار گرفته‌اند. این مجموعه در سال ۱۸۷۴ توسط هنری جان استفن اسمیت شناخته شد و درسال ۱۸۸۳ به وسیله گئورگ کانتور معرفی گردید.
اگر چه خود کانتور مجموعه را به طور عمومی و انتزاعی تعریف کرد اما رایج ترین و مدرن ترین ساختار, مجموعه کانتور سه تایی است که به وسیلهٔ تقسیم پاره خط به سه قسمت و برداشتن قسمت وسط ساخته می‌شود.

محتویات

    ۱ ساختار و فرمول مجموعه سه تایی
    ۲ ترکیب
    ۳ خواص
        ۳.۱ کاردینال
    ۴ خودمتشابه
    ۵ خواص توپولوژیکی و تحلیلی
    ۶ جستارهای وابسته
    ۷ منابع

ساختار و فرمول مجموعه سه تایی

مجموعه کانتور سه تایی به این صورت ساخته می‌شود که به طور مداوم پاره خط را به سه قسمت تقسیم کرده و قسمت وسط را برداریم. مثلاً درفاصلهٔ [۰٬۱] مرحلهٔ اول برداشتن بازهٔ (۲⁄۳, ۱⁄۳) است که در این صورت [۱⁄۳, 0] ∪ [1, ۲⁄۳] باقی می‌ماند. در مرحلهٔ بعد این کار بر روی بازه‌های باقی‌مانده تکرار می‌شود. در این جا داریم:
[۱⁄۹, 0] ∪ [۱⁄۳, ۲⁄۹] ∪ [۷⁄۹, ۲⁄۳] ∪ [1, ۸⁄۹]. این روند تا بی نهایت ادامه پیدا می‌کند و مجموعهٔ nام برابر می‌شود با:

C_{n} = \frac{C_{n-1}}{3} \cup \left(\frac{2}{3}+\frac{C_{n-1}}{3}\right).
مجموعه کانتور سه تایی تمام نقاط بازهٔ [۰٬۱] که در این روند حذف نشده‌اند را داراست.
۶ مرحلهٔ اول این روند در زیر نشان داده شده‌است:

Cantor ternary set, in seven iterations

فرمول دقیق مجموعه کانتور برابر است با:

C=[0,1] \setminus \bigcup_{m=1}^\infty \bigcup_{k=0}^{3^{m-1}-1} \left(\frac{3k+1}{3^m},\frac{3k+2}{3^m}\right).
ترکیب

چون مجموعه کانتور مجموعه‌ای از نقاط تعریف می‌شود مقدار فاصلهٔ واحد باقی‌مانده را می‌توان با کم کردن طول کل پیدا کرد. مجموع یک تصاعد هندسی است.

\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \cdots = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\right) = 1.

بنابراین مقدار باقی‌مانده برابر است با: 1 – 1 = ۰ این محاسبه نشان می‌دهد که مجموعه کانتور نمی‌تواند هیچ بازه‌ای با طول غیر صفر را در بر بگیرد. در واقع ممکن است عجیب به نظر برسد که چیزی باقی بماند چون مجموع طول بازه‌های حذف شده برابر با طول بازهٔ اصلی است. با این وجود نگاه دقیق تر به روند نشان می‌دهد که باید چیزی باقی‌مانده باشد. از ان جا که برداشتن وسط سه قسمت از مجموعه‌های باز(مجموعه‌ای که نقاط پایانی ان مشخص نیست) انجام می‌گیرد بنابراین با برداشتن پاره خط (۲⁄۳, ۱⁄۳) از بازهٔ [۰٬۱] دو نقطهٔ ۱/۳ و ۲/۳ باقی می‌مانند. باقی مراحل این نقاط پایانی را خارج نمی‌کنند. از انجا که بازه‌های حذف شده همیشه برای بازه‌های باقی‌مانده داخلی هستند بنابراین مجموعه کانتور تهی نیست و در واقع شامل تعداد نامحدود از نقاط است.
ممکن است این طور به نظر برسد که فقط نقاط پایانی باقی می‌مانند اما این گونه نیست. برای مثال نقطهٔ ۱/۴ در یک سوم ابتدایی قرار دارد و در مرحلهٔ اول حذف نمی‌شود. در مرحله دوم در یک سوم انتهایی, سپس در یک سوم ابتدایی و به همین ترتیب این روند تا بی نهایت بین یک سوم ابتدایی و انتهایی ادامه دارد. از انجا که این عدد هیچ گاه در یک سوم وسط قرار نمی‌گیرد, هیچ وقت حذف نمی‌شود و همچنین هیچ یک از نقاط پایانی یک سوم وسط هم نیست. عدد۳/۱۰ نیز به همین شکل در مجموعه کانتور قرار دارد و جز نقاط پایانی هم نیست.
در کاردینال بیشتر اعضای مجموعه کانتور نقاط پایانی بازه‌های حذف شده نیستند.
خواص
کاردینال

می توان نشان داد که به همان تعداد نقطه که در ابتدای کار داشتیم, در پایان فرایند باقی‌مانده, به همین دلیل مجموعه کانتور غیر قابل شمارش است. برای دیدن این نشان می دهیم یک تابع fاز مجموعه کانتور c به بازه ی بسته ی [0,1] وجود دارد که پوشاست. بنابراین کاردینال c کمتر از کاردینال [0,1] نیست. همچنین از انجا که c زیر مجموعه ی [0,1] است, کاردینال ان بزرگتر نیست. بنابراین دو کاردینال باید با هم برابر باشند.

برای ساختن این تابع نقاط در بازه ی [0,1] را در مبنای 3 در نظر بگیرید. به خاطر داشته باشید که برخی از نقاط بیش از یک نمایش پیدا خواهند کرد. به عنوان مثال عدد 1/3 که میتوان ان را هم به شکل 0.13 و هم به فرم ...0.022223 نوشت , و یا 2/3 که هم به شکل 0.23 و هم ...0.122223 نوشته می شود.وقتی که ما یک سوم وسط را برمی داریم, این شامل اعدادی در مبنای سه به شکل 0.1xxxxx...3 است که xxxxx...3 اکیداً بین ...000003 و...222223 قرار دارند. بنابراین اعدادی که بعد از مرحله ی اول قرار می گیرند شامل این موارد هستند:

    اعداد به فرم 0.0xxxxx...3
    0.13 =1/3= 3....0.22222
    0.23 =2/3= 3....0.12222
    اعداد به فرم 0.2xxxxx...3

این مطلب را می توان به این شکل خلاصه کرد که اعدادی در مبنای سه که اولین رقم بعد از نقطه اعشار ان ها 1 نیست ,اعدادی هستند که بعد از مرحله ی اول باقی می مانند.

مرحله ی دوم اعداد به شکل 0.01xxxx...3 و 0.21xxxx...3 حذف می شوند(با دقت به نقاط پایانی) و می توان به این نتیجه رسید که اعدادی که باقی می مانند در مبنای سه هستند که یکی از دو رقم ابتدایی ان ها 1 نیست. با ادامه دادن این راه, عددی که در مرحله ی nام باقی می ماند باید فرمی در مبنای سه داشته باشد که رقم nام ان 1 نباشد. پس یک عدد برای این که در مجموعه کانتور باشد, در هیچ مرحله ای نباید حذف شود و یک نمایش عددی تماماً شامل اعداد 0 و 2 داشته باشد. لازم به ذکر است اعدادی مانند 1 و 1/3 = 0.13 و 7/9 = 0.213 که در مجموعه کانتور هستند اعدادی در مبنای سه هستند که تماماً شامل 0 و 2 اند : 1= 3....0.2222 , 1/3= 3....0.22222 , 7/9= 3....0.20222 .

حدس زده شده است که همه اعداد جبری گنگ, طبیعی هستند. از انجا که اعداد مجموعه کانتور طبیعی نیستند نشان می دهد که همه اعضای مجموعه کانتور یا گویا و یا غیر جبری اند.

تابع از C به [0,1] به وسیله ی بردن اعدادی که به طور کامل از 0 و 1 تشکیل شده‌اند و جایگزین کردن 1ها به جای تمام 2ها و تفسیر دنباله به عنوان نمایش باینری یک عدد حقیقی تعریف می شود. در فرمول , f \bigg( \sum_{k=1}^\infty a_k 3^{-k} \bigg) = \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{2} 2^{-k}

برای هر عدد y در بازه ی [0,1] نمایش دودویی ان می تواند با جایگزین کردن 2 به جای تمام 1ها به نمایش در مبنای 3 عدد x در C در بیاید. به این ترتیب f (x) = y و y در برد f قرار می گیرد. برای مثال اگر y = 3/5 = 0.100110011001...2 ما می نویسیم x = 0.200220022002...3 = 7/10 . در نتیجه f پوشاست. مقدار( f (x برای دو نقطه پایانی یک سوم وسط که برداشته می شود مساوی است. مثلاً 7/9= 3....0.20222 و 8/9= 3....0.220000 می بینیم (f (7/9) = 0.101111...2 = 0.112 = f (8/9.

بنابراین به همان تعداد که عدد در بازه ی [0,1] است در مجموعه کانتور هم هست و مجموعه کانتور غیر قابل شمارش است. چون مجموعه نقاط پایانی بازه های حذف شده قابل شمارش است پس باید تعداد غیر قابل شمارش عدد در مجموعه کانتور وجود داشته باشد که نقاط پایانی نیستند. همانطور که در بالا ذکر شد یک مثال از چنین عددی 1/4 می باشد که می شود در مبنای 3 به این شکل نوشته شود 3....0.020202020

مجموعه کانتور از هر بازه ای که گرفته شده به تعداد همان بازه نقطه دارد و خودش هیچ بازه ای با طول غیر صفر را در بر نمی‌گیرد. اعداد گنگ همین ویژگی را دارند اما مجموعه کانتور ویژگی اضافه ی بسته بودن را نیز داراست بنابراین بر خلاف اعداد گنگ در هیچ بازه ای متراکم نیست.
خودمتشابه

مجموعه کانتور نمونه ای فرکتال است. این مجموعه خودهمانند است چون با دو کپی از خود یکسان است . بطور دقیقتر دو تابع وجود دارد , تغییر دهنده ی چپ و راست. f_L(x)=x/3 و f_R(x)=(2+x)/3 , که باعث می شود مجموعه کانتور ویژگی هم‌ریختی داشته باشد f_L(C)\cong f_R(C)\cong C .

تکرار f_L و f_R می تواند به شکل درخت دودویی نامحدود مشاهده شود. هر گره ی درخت می تواند به عنوان زیر درخت برای یک گره ی چپ یا راست در نظر گرفته شود. مجموعه \{f_L,f_R\} با هم با ترکیب تابع به شکل یک مونوئید دوتایی است. automorphisms درخت دودویی چرخش های یایپربولیک ان است. بنابراین مجموعه کانتور یک فضای همگن است به این معنا که برای هر دو نقطه ی x و y در مجموعه کانتور C یک هم ریختی h:C\to C with h(x)=y وجود دارد. بعد هاسدورف مجموعه کانتور برابر با (ln(2)/ln(3) = log3(2 است.
خواص توپولوژیکی و تحلیلی

با توجه به گفته‌های بالا مجموعه کانتور غیرقابل شمارش است اما اندازه لبسگ ۰ دارد. از آنجا که مجموعه کانتور مکمل اجتماع از مجموعه‌های باز است، خودش یک زیر مجموعه بسته از حقیقی‌ها و در نتیجه یک فضای متریک کامل است. همچنین از انجا که کاملاً محدود به فضاست طبق قضیه هاینه بورل یک مجموعه فشرده است.

برای هر نقطه در مجموعه کانتور و هر همسایگی دلخواه نقطه، اعداد دیگری در مبنای ۳ وجود دارند. از این رو هر نقطه در مجموعه کانتور یک نقطهٔ حدی (یا نقطهٔ تجمعی) است، اما هیچ‌یک نقطهٔ داخلی نیستند. مجموعهٔ بسته‌ای که تمام نقاط ان نقطهٔ حدی است در توپولوژی مجموعهٔ کامل نامیده می شودو زیر مجموعه‌ای بسته از یک بازه بدون هیچ نقطهٔ داخلی در هیچ جای مجموعه چگال نیست.

هر نقطه در مجموعهٔ کانتور یک نقطهٔ حدی در مکمل مجموعهٔ کانتور است.

مجموعه نامتناهی

در ریاضیات (نظریه مجموعه‌ها)، به مجموعه‌ای که متناهی نباشد یعنی تعداد اعضای آن بینهایت باشد، مجموعه نامتناهی گویند. یک مجموعه نامتناهی می‌توان شمارا یا ناشمارا باشد.

مجموعه ای که با خارج کردن اعضای آن بالاخره آن مجموعه خالی می شود را مجموعه متناهی می گویند.

مجموعه ای که با خارج کردن اعضای آن هیچگاه آن مجموعه خالی نمی شود را مجموعه نامتناهی می گویند.

مجموعه ای که عضو ابتدایی یا انتهایی آن معلوم باشد را باپایان می گویند.

مجموعه ای که عضو ابتدایی یا انتهایی آن معلوم نباشد را بی پایان می گویند.

چند مثال:

    مجموعه اعداد طبیعی، مجموعه اعداد گویا و مجموعه اعداد جبری مجموعه‌های نامتناهی شمارایند.
    مجموعه اعداد حقیقی، مجموعه اعداد مختلط و مجموعه کانتور مجموعه‌های نامتناهی ناشمارایند.

بی‌نهایت (ریاضی)

بینهایت مفهومی است که در رشته‌های مختلف ریاضیات (با تعبیرات مختلف) به‌کار می‌رود و معمولاً به معنای «فراتر از هر مقدار» است. معمولاً نشانه بینهایت در ریاضیات ∞ است.
نماد بینهایت در حالت های مختلف

بی نهایت از واژه لاتین finites به معنی محدود گرفته شده ( علامت \infty ) چیزی است که "محدود" نیست، که در آن هیچ محدودیت فضایی و زمانی وجود ندارد.

در آنالیز حقیقی بینهایت به معنای حدی بیکران است. x \rightarrow \infty یعنی متغیر x فراتر از هر مقدار در نظرگرفته شده رشد می‌کند.

در آنالیز مختلط نیز همین علامت با همین نام به‌کار می‌رود. در این رشته x \rightarrow \infty یعنی قدر متغیر مختلط x (که آن را با |x| نشان می‌دهند) بیش از هر مقدار در نظر گرفته شده رشد می‌کند.

در نظریه مجموعه‌ها مفهوم بینهایت با اعداد ترتیبی و اعداد اصلی مربوط است. عدد اصلی مجموعه اعداد طبیعی را با \aleph_0 نمایش می‌دهند و می‌خوانند «الف صفر» (از اولین حرف الفبای عبری به‌نام «الف»). این عدد «تعداد» عددهای مجموعه اعداد طبیعی را نشان می‌دهد، که «بینهایت» است. جالب است که بدانید که عدد اصلی مجموعه‌های N و Z و Q یکسان هستند ولی عدد اصلی مجموعه R برابر عددی است که آن را الف می‌خوانند. خوب است بدانید که الف برابر دو به توان الف صفر می‌باشد. بینهایت دارای دو مفهوم فیزیکی و ریاضی است که کاملاً با یکدیگر متفاوتند.

مفهوم فیزیکی بینهایت، دارای تعریف دقیقی نیست و در جای‌های مختلف دارای تعاریف متفاوت است. به عنوان مثال، می‌گوییم که اگر جسم در کانون عدسی محدب قرار گیرد، تصویر در بینهایت تشکیل می‌شود. حال دو عدسی با فواصل کانونی متفاوت در نظر بگیرید و اجسامی را روی کانون این دو عدسی قرار دهید. طبق قاعده، تصاویر هر دو در بینهایت تشکیل می‌شود. اما قطعا تصویر این دو دقیقا در یک نقطه تشکیل نمی‌شود؛ یعنی بینهایت برای این دو عدسی متفاوت است.

به عنوان مثالی دیگر، دو منبع گرمایی، مثلاً دو اتو با درجه حرارتهای متفاوت را در نظر بگیرید. فاصله‌ای که در آن، دیگر اصلاً گرمای اتو را احساس نکنیم، برای این دو اتو متفاوت است، به عبارت دیگر، بینهایت برای این دو اتو تفاوت دارد.

اما مفهوم بینهایت، در ریاضیات کاملاً متفاوت با بینهایت فیزیکی است. علامت بینهایت در ریاضیات، است. در ریاضیات می‌گوییم: «بینهایت مقداری است که از هر مقدار دیگر بیشتر است.» به عنوان مثال، بینهایت را در اعداد طبیعی در نظر می‌گیریم و می‌گوییم: بینهایت از ۱، ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰ و هر عدد دیگر که در نظر بگیرید، بزرگ‌تر است.

این مفهوم، دقیقا همان مفهومی است که در «حد در بینهایت» در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، در تابع، وقتی می‌گوییم، یعنی این که x از هر عدد انتخاب شده بزرگ‌تر است.

یکی از مهم‌ترین مباحثی که بینهایت در آن دارای کاربرد است، نظریه مجموعه هاست. به عنوان مثال می‌دانیم که تعداد اعضای مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه اعداد صحیح و طبیعی و ... بینهایت است. (تعداد اعضای هر مجموعه را عدد اصلی می‌نامند) در ریاضیات پیشرفته ثابت می‌شود که عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی و صحیح با یکدیگر برابر نیست.
اصل موضوع اقلیدس

اصل موضوع اقلیدس: هر کل از هر جزء خود اکیدا بزرگ‌تر است.

اگرچه در دنیای طبیعی این اصل درست است، اما پس از ظهور مفهوم مجموعه مثال‌های نقضی برای آن پیدا شد. مثلاً واضح است که تعداد اعداد طبیعی با تعداد اعداد زوج طبیعی برابر است (کافی است هر عدد طبیعی را با دو برابرش متناظر کنیم)، در حالی که اعداد زوج طبیعی، جزءی از همه اعداد طبیعی هستند.

البته این نکته را نباید فراموش کرد که : مجموعه اعداد طبیعی یک کل می‌باشد که با کل اعداد زوج طبیعی مطابق است اما مفهوم اعداد طبیعی یک کلی است که همواره بیشتر از مفهوم کلی اعداد زوج طبیعی است و منظور از بیشتر به لفظ دقیق تر پیشتر میباشد که در تصور مفهوم دوم یعنی اعداد زوج به مفهوم اول نیاز است و عکس این قضیه صحیح نیست . در جمع بندی باید گفت : مجموعه اعداد طبیعی با مجموعه هر عددی حتی یک برابر است زیرا با فرمولی که با هر متغیر ورودی تغییر می‌کند همواره به عدد ثابتی خواهیم رسید که مثلا میتوان گفت : مجموع اعدا طبیعی به ازائ هر عدد خود یک عدد یک دارد. والبته بودن یانبودن مصداق برای مفاهیم عام با فلسفه محض است و نه با ریاضیات چنانکه بودن یا نبودن عدد و مقدار با فلسفه است و نه با ریاضی .
بینهایت از نگاه ددکیند

اشتباه بودن اصل موضوع اقلیدس در زمینه ریاضیات مورد بحث بود، تا این که ریچارد ددکیند تعریفی از مفهوم بینهایت ارائه داد. ددکیند هر چیزی را که اصل موضوع اقلیدس برای آن صادق نباشد، بینهایت نامید. پس طبق تعریف ددکیند، بینهایت هر چیزی است که با جزئی از خود هم‌اندازه باشد.

این، شاید اولین تعریف از بینهایت در زمینه نظریه مجموعه باشد. ددکیند مجموعه‌ای را که بینهایت عضو داشته باشد، نامتناهی نامید. پس طبق این تعریف، یک مجموعه را نامتناهی گوییم هرگاه با یک زیرمجموعه سره از خودش هم‌اندازه باشد. مجموعه متناهی، مجموعه‌ایست که نامتناهی نباشد.
بینهایت از نگاه کانتور

در اواخر قرن نوزده، جرج کانتور به‌طور رسمی نظریه مجموعه را ارائه داد. براساس نظریه کانتور، مجموعه A را k عضوی گوییم (k\in \mathbb{N}) هرگاه یک تناظر یک به یک بین A و مجموعه \{1,2,\cdots, k\} وجود داشته باشد. مجموعه متناهی مجموعه‌ایست که یا تهی باشد و یا (به ازای یک k\in \mathbb{N}،) k عضوی باشد. و بالاخره مجموعه نامتناهی مجموعه‌ایست که متناهی نباشد.

به عبارت دیگر، طبق تعریف کانتور، بینهایت هر چیزی است که نتوان آن را شمرد.

نکته قابل توجه این است که تعریف‌های ددکیند و کانتور از مفهوم بینهایت با هم معادل‌اند؛ به عبارت دیگر، می‌توان نشان داد که یک مجموعه نامتناهی است اگر و تنها اگر با یک زیرمجمموعه سره از خودش هم‌اندازه باشد.