واحد نجومی

واحد نجومی[۱] یا یکای کیهانی که با نمادهای au، AU یا a.u نمایش داده می‌شود؛ یکای طول است و برابر است با ۱۴۹٫۵۹۷٫۸۷۰/۷ کیلومتر (۹۲٫۹۵۵٫۸۰۷/۲۷ مایل) یا تقریبا برابر با فاصلهٔ زمین تا خورشید یا حدود ۱۵۰ میلیون کیلومتر. نماد ua از طرف اداره بین‌المللی اوزان و مقیاس‌ها و استاندارد بین‌المللی ISO/IEC ۸۰۰۰۰ پیشنهاد شد؛ درحالی که اتحادیه بین‌المللی اخترشناسی au را پیشنهاد کرد، و درحال حاضر au در کشورهای انگلیسی زبان معمول‌تر است. در حالت عمومی حروف بزرگ زمانی به عنوان نماد استفاده می‌شوند که پس از یک دانشمند که به صورت فردی کار می‌کرده‌است انتخاب شده باشند؛ نمادهای au یا a.u می‌توانند به معنی یکاهای اتمی[۲] یا حتی یکاهای قراردادی[۳] باشند، اما با این حال نماد AU برای اشاره به یکای کیهانی امروزه به طور گسترده استفاده می‌شود. ثابت کیهانی که مقدارش برابر با یک واحد کیهانی است با نام یکای فاصله خوانده می‌شود و نماد آن A است.

محتویات

    ۱ تعریف
    ۲ تعریف جدید
    ۳ پانویس
    ۴ منابع

تعریف

نماد AU در اصل به عنوان طول نیم‌قطر بزرگ مدار بیضی شکل گردش زمین به دور خورشید در نظر گرفته شده بود. در سال ۱۹۷۶ اتحادیه بین المللی اخترشناسی بازگشتی به تعریف AU داشت و خواست که آن را به صورت دقیق‌تر بیان دارد. تعریف شد که AU طولی است که در آن ثابت گرانشی گاوس (k) مقداری برابر با ۰٫۰۱۷۲۰۲۰۹۸۹۵ دارد درحالی که تمام یکاهای اندازه‌گیری، یکاهای کیهانی طول، جرم و زمان‌اند. تعریف معادل دیگری که ارائه شده‌است عبارت است از: شعاع یک مدار دایره‌ای نیوتنی غیر آشفته حول خورشید که ذره‌ای با جرم بینهایت کوچک با بسامد زاویه‌ای ۰٫۰۱۷۲۰۲۰۹۸۹۵ رادیان در روز روی آن حرکت می‌کند. یا طولی که ثابت گرانشی خورشیدمرکز آن برابر است با ۰٫۰۱۷۲۰۲۰۹۸۹۵۲AU۳/d۲. حدودا برابر است با فاصله زمین تا خورشید.

قدر مطلق (ستاره‌شناسی)

قدر مطلق (به انگلیسی: absolute magnitude) در علم اخترشناسی معیاری برای روشنایی یک جرم آسمانی‌ست. در مورد اجرام خارج از منظومه شمسی، قدر مطلق برابر با قدر ظاهری جرم آسمانی‌ست به شرط آن که در فاصله ۱۰ پارسک یا ۳۲٫۶ سال نوری از ناظر قرار داده شود و هیچ‌گونه جذب نور به وسیلهٔ غبار میان‌ستاره‌ای رخ ندهد.[۱] قدر مطلق را با M و قدر ظاهری را با m نشان می‌دهند.

قدر ظاهری به فاصلهٔ ناظر تا جسم بستگی دارد. از این رو قدر مطلق به دلیل نیاز به مقیاسی مستقل از فاصله در ستاره‌شناسی تعریف شده‌است.

با استفاده از قدر مطلق می‌توان درخشندگی ستارگان را با یکدیگر مقایسه کرد. هنگامی که خورشید در فاصلهٔ ۱۰ پارسِکیِ زمین قرار گیرد، قدری نزدیک به ۴٫۸ خواهد داشت و با چشم غیر مسلح به سختی دیده خواهد شد. بالاترین قدر مطلق ۹- برای ابرغول‌ها و ۱۹ برای کوتوله‌های سفید است.[۱]

محتویات

    ۱ ستارگان و کهکشان‌ها، قدر مطلق (M)
        ۱.۱ فرمول قدر و فاصله
    ۲ اجرام منظومه شمسی، قدر مطلق (H)
    ۳ منابع
    ۴ جستارهای وابسته

ستارگان و کهکشان‌ها، قدر مطلق (M)

در مورد ستارگان و کهکشان‌ها، فاصله استاندارد برای قدر مطلق ۱۰ پارسک یا ۳۲٫۶ سال نوری‌ست.
فرمول قدر و فاصله

بین قدر مطلق، قدر ظاهری و فاصله رابطه‌ای وجود دارد که بیشتر به مدول فاصله معروف است. این رابطه به این صورت می‌باشد:

    M = m - 5 ((\log_{10}{D}) - 1)\!

که در این رابطه M قدر مطلق، m قدر ظاهری و D فاصله بر حسب پارسک می‌باشد.[۲] مثال: ستارهٔ پای شکارچی دارای قدر ظاهری ۰٫۱۲ و فاصلهٔ ۸۶۰ سال نوری‌ست. در نتیجه قدر مطلق آن:

    M_V = 0.12 - 5 \cdot (\log_{10} \frac{860}{3.2616} - 1) = -7.02.

اجرام منظومه شمسی، قدر مطلق (H)

برای اجرام منظومه خورشیدی تعریف متفاوتی برای قدر مطلق وجود دارد. در این حالت قدر مطلق عبارت است از قدر ظاهری جرم آسنانی در صورتی که در فاصلهٔ یک واحد نجومی هم از خورشید و هم از ناظر قرار داشته باشد. از آنجا که جرم آسمانی نور خود را از خورشید دریافت می‌کند، قدر مطلق تابعی از زاویه فاز جرم آسمانی‌ست. برای تبدیل قدر مطلق ستارگان یا کهکشان‌ها به قدر مطلق سیاره‌ها، باید عدد ۳۱٫۵۷ را از مقدار آنها کم کرد.

انرژی تاریک

در کیهان‌شناسی، انرژی تاریک نوعی انرژی فرضی است که همهٔ فضا را در بر می‌گیرد و سرعت انبساط جهان را می‌افزاید.[۱] انرژی تاریک مقبولترین فرضیه برای توضیح‌دادن مشاهدات اخیر است که می‌گویند جهان با آهنگ رو به افزایشی (با شتاب) منبسط می‌شود. در مدل استاندارد کیهان‌شناسی بنابر هم‌ارزی جرم-انرژی، جهان شامل حدود ۲۶٫۸٪ ماده تاریک،۶۸٫۳٪ انرژی تاریک (در مجموع ۹۵٫۱٪) و ۴٫۹٪ مادهٔ معمولی است.[۲][۳][۴][۵] باز هم بر اساس هم‌ارزی جرم-انرژی، چگالی انرژی تاریک بسیار کم است. در منظومه شمسی، تقریبا فقط ۶ تن انرژی تاریک درون شعاع مدار پلوتو یافت می‌شود. با این حال، انرژی تاریک بیشتر جرم-انرژی جهان را تشکیل می‌دهد، زیرا به طور یکنواخت در فضا پخش شده است.[۶]

دو شکل برای انرژی تاریک ارائه شده است. یکی ثابت کیهان شناسی، یک چگالی انرژی ثابت که بطور همگن جهان را پر می‌کند،[۷] و دیگری میدانهای اسکالر، کمیت‌هایی دینامیکی که چگالی انرژی آنها می‌تواند در فضا و زمان تغییر کند. بخشهایی از میدانهای اسکالر که در فضا ثابت هستند هم معمولا در ثابت کیهان شناسی شمرده می‌شوند. ثابت کیهانشناسی می‌تواند به گونه‌ای فرمول بندی شود که انرژی خلا باشد. میدانهای اسکالری که در فضا تغییر می‌کنند به سختی می‌توانند از ثابت کیهان شناسی بازشناخته شوند، زیرا تغییرات ممکن است فوق‌العاده آهسته باشد.

اندازه‌گیری‌های دقیقی از انبساط جهان برای فهمیدن اینکه نرخ انبساط چگونه در طول زمان تغییر می‌کند، لازم است. در نسبیت عام، سیر تکاملی انبساط جهان بوسیلهٔ معادلهٔ حالت کیهانی (رابطهٔ بین دما، فشار و ترکیب ماده، انرژی و چگالی انرژی خلا در هر ناحیه از فضا) فرمول بندی می‌شود. امروزه، اندازه‌گیری معادلهٔ حالت انرژی تاریک یکی از بزرگترین تلاشهای کیهان شناسی رصدی است.

افزودن ثابت کیهان شناسی بهمتریک رابرتسون-واکر منجر به مدل لامبدا-سی دی ام می‌شود؛ که بخاطر تطابق دقیق آن با مشاهدات از آن به عنوان "مدل استاندارد" کیهانشناسی یاد می‌کنند. انرژی تاریک به عنوان یک جزء حیاتی در تلاش‌های اخیر برای تدوین مدل جهان چرخه‌ای (به انگلیسی: cyclic model) استفاده شده است.[۸]

محتویات

    ۱ طبیعت انرژی تاریک
    ۲ شواهد مبنی بر وجود
    ۳ منابع
    ۴ پیوند به بیرون

طبیعت انرژی تاریک

چیزهای بسیاری دربارهٔ طبیعت انرژی تاریک جای تعمق دارند. شواهد انرژی تاریک غیر مستقیم هستند اما از سه منبع مستقل می‌آیند:

        اندازه‌گیری‌های فاصله و رابطهٔ آنها با قرمزگرایی، که می‌گوید جهان در نیمهٔ اخیر عمرش بیشتر منبسط شده است.[۹]
        نیاز نظری به نوعی انرژی اضافی که نه ماده و نه ماده تاریک است برای تشکیل جهان تخت مشاهده شده (نبود هیچ انحنای جهانی قابلِ یافت).
        می‌تواند از اندازه گیریهای الگوهای موجی جرم در مقیاس بزرگ استنتاج شود.

انرژی تاریک بسیار همگن در نظر گرفته می‌شود، خیلی چگال نیست و معلوم نیست با کدام یک از نیروهای بنیادی بجز گرانش برهم کنش می‌کند. هم چنین به علت رقیق بودن، در آزمایشهای آزمایشگاهی قابل شناسایی نیست. انرژی تاریک، با تشکیل ۶۸٪ چگالی جهان، می‌تواند تاثیر عمیقی بر جهان بگذارد؛ فقط به این خاطر که بطور یکنواخت جایی را پر می‌کند که در غیر اینصورت فضای خالی محسوب می‌شد. دو مدل راهنما، ثابت کیهان شناسی و کوینتسنس (به انگلیسی: quintessence) هستند. هر دو مدل این ویژگی مشترک را دارند که انرژی تاریک باید دارای فشار منفی باشد.

تاثیر انرژی تاریک: فشار کوچک، ثابت و منفی خلأ

مستقل از طبیعت واقعی اش، انرژی تاریک باید یک فشار قوی منفی (که بصورت دافعه عمل کند) داشته باشد، تا بتواند شتاب مشاهده شدهٔ انبساط جهان را توضیح دهد. بر اساس نسبیت عام، فشاری که در میان ماده است، درست مانند چگالی جرمی در جاذبهٔ گرانشی آن ماده بر سایر اجسام سهیم است. دلیل این اتفاق این است که کمیت فیزیکی که باعث ایجاد تاثیرات گرانشی می‌شود، تانسور ضربه-انرژی است که هم چگالی انرژی (یا جرم) ماده و هم فشار و گرانروی آن را شامل می‌شود.
در متریک رابرتسون واکر، می‌توان نشان داد که یک فشار ثابت، قوی و منفی در تمام جهان، در صورتی که جهان اکنون در حال انبساط باشد، باعث شتاب افزایشی انبساط، و اگر جهان در حال انقباض باشد، باعث شتاب کاهشی انقباض می‌شود. به طور دقیقتر، اگر معادلهٔ حالت جهان به گونه‌ای باشد که \! w<-1/3، مشتق دوم فاکتور مقیاس جهان، \ddot{a}، مثبت است. (معادلات فریدمان را ببینید)
این تاثیر انبساط تند شونده گاهی «دافعهٔ گرانشی» خوانده می‌شود، که یک عبارت رنگارنگ اما احتمالا گیج کننده است. در حقیقت، یک فشار منفی تاثیری بر برهم کنش گرانشی میان اجرام - که جاذبه باقی می‌ماند- ندارد؛ ولی در عوض، سیر تکاملی جهان در مقیاس کیهانشناسی را تغییر می‌دهد که با وجود جاذبه در میان اجرام حاضر در جهان، موجب انبساط تندشوندهٔ جهان می‌شود.
شتاب، به سادگی تابعی از چگالی انرژی تاریک است. انرژی تاریک پایا است: چگالی اش ثابت می‌ماند (به طور تجربی، بین فاکتور۱:۱۰). یعنی با انبساط جهان، انرژی تاریک رقیقتر نمی‌شود.
شواهد مبنی بر وجود

ابرنواختر
در سال ۱۹۹۸، رصدهای منتشر شده از ابرنواختر نوع Ia توسط گروه جستجوی ابرنواختر در قرمزگرایی زیاد[۱۰] که در سال ۱۹۹۹ بوسیله پروژه کیهانشناسی ابرنواختری[۱۱] دنبال شد، پیشنهاد داد که انبساط جهان تندشونده است.[۱۲] جایزه نوبل فیزیک در سال ۲۰۱۱ برای این کار به سال پرلموتر، برایان اشمیت و آدم ریس اهدا شد.[۱۳][۱۴]
از آن زمان، این مشاهدات توسط چندین منبع مستقل تایید شده است. اندازه‌گیری‌های تابش زمینه کیهانی، لنز گرانشی و ساختار بزرگ مقیاس کیهان به همراه اندازه گیریهای پیشرفته ابرنواخترها با مدل لامبدا-سی دی ام سازگار بوده‌اند.[۱۵] برخی افراد می‌گویند تنها شواهد وجود انرژی تاریک مشاهداتی از اندازه‌گیری‌های دوردست و قرمزگرایی مربوطه است. ناهمسانگردی‌های تابش پس زمینهٔ کیهانی و نوسانات آکوستیک مواد باریونی تنها مشاهداتی هستند که قرمزگرایی‌ها از آنچه با مدل جهان «غباری» فریدمان و ثابت هابل اندازه‌گیری شدهٔ محلی انتظار می‌رفت، بزرگترند.[۱۶]
ابرنواخترها برای کیهان شناسی مفیدند، زیرا آنها شمع استانداردهای بسیار خوبی در فواصل کیهانی هستند. آنها باعث می‌شوند تاریخ انبساط جهان بتواند با نگاه به رابطهٔ فاصله تا یک شی و قرمزگرایی آن، که می‌گوید دارد با چه سرعتی از ما دور می‌شود، اندازه‌گیری شود. این رابطه، بنابر قانون هابل خطی است. اندازه‌گیری قرمزگرایی نسبتا آسان است، اما پیدا کردن فاصله تا یک شی کار دشوارتری است. معمولا اخترشناسان از شمع‌های استاندارد استفاده می‌کنند: اشیایی که روشنایی ذاتی آنها، قدر مطلق آنها، معلوم است. این موضوع اندازه‌گیری فاصله تا شی را از روی روشنایی مشاهده شده آن، قدر ظاهری، امکان‌پذیر می‌سازد. ابرنواخترهای نوع Ia بخاطر روشنایی زیادشان، بهترین شمع‌های استاندارد شناخته شده در فواصل کیهانی هستند.
رصدهای اخیر از ابرنواخترها سازگار با جهانی ساخته شده از ۷۱٫۳٪ انرژی تاریک و ۲۷٫۴٪ ترکیب ماده تاریک و ماده باریونی هستند.

نسبیت عام

نسبیت عام به انگلیسی (General relativity) نظریه‌ای هندسی برای گرانش است که در سال ۱۹۱۶[۱] توسط اینشتین منتشر شد و توصیف کنونی گرانش در فیزیک نوین است. این نظریه تعمیمی بر نظریه نسبیت خاص و قانون جهانی گرانش نیوتون است که توصیف یکپارچه‌ای از گرانش به عنوان یک ویژگی هندسی فضا و زمان یا فضا–زمان ارائه می‌دهد.

این نظریه، گرانش را به عنوان یک عامل هندسی و نه یک نیرو بررسی می‌کند. در این نظریه فضا–زمان توسط هندسه ریمانی بررسی می‌شود. خمش فضازمان مستقیماً با انرژی و تکانه کل ماده و تابش موجود متناسب است. این رابطه توسط سیستمی از معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای به نام معادلات میدان اینشتین نمایش داده می‌شوند. پایهٔ نظری گرانش در کیهان‌شناسی، این نظریه و تعمیم‌های آن است.

نظریهٔ اینشتین جنبه‌های اخترفیزیکی مهمی دارد. مثلاً این نظریه وجود سیاهچاله‌ها را به عنوان وضعیت پایانی ستاره‌های بزرگ پیش‌بینی می‌کند. شواهد گسترده‌ای موجود است که تابش بسیار شدید منتشر شده از برخی انواع اجسام اخترفیزیکی ناشی از وجود سیاهچاله‌ها است. مثلاً ریزاختروش‌ها و هستهٔ کهکشانی فعال، به ترتیب نتیجه وجود سیاهچاله‌های ستاره‌وار و سیاه‌چاله‌های کلان‌جرم هستند. خم شدن نور بر اثر گرانش می‌تواند منجر به پدیدهٔ همگرایی گرانشی شود که در اثر آن چندین تصویر از یک جسم اخترفیزیکی دوردست در آسمان دیده می‌شود. نسبیت عام همچنین وجود امواج گرانشی را پیش‌بینی می‌کند که تاکنون تنها به‌طور غیرمستقیم مشاهده شده‌اند. (در ۱۷ مارس ۲۰۱۴ دانشمندان در مرکز اخترفیزیک هاروارد-اسمیتسونین طی مشاهداتی به نتایجی که تایید کننده نتایج گرانش کوانتومی، مه‌بانگ و انبساط کیهان از طریق امواج گرانشی بود دست یافتند،[۲] اما نتیجه این آزمایش نیز مشاهده‌ی مستقیم ـ به معنای اندازه‌گیری یک نوسان در فضازمان ـ به حساب نمی‌آید.[۳]) پروژه‌هایی همچون لیگو و پروژهٔ لیسا ی ناسا با هدف مشاهدهٔ مستقیم این امواج گرانشی راه‌اندازی شده‌اند. افزون بر این، نسبیت عام پایهٔ مدل‌های رایج کنونی کیهان‌شناسی، که بر مبنای جهانِ در حال انبساط هستند، را تشکیل می‌دهد.

برخی از پیش‌بینی‌های نسبیت عام به میزان قابل‌توجهی با پیش‌بینی‌های فیزیک کلاسیک تفاوت دارند؛ به ویژه آن‌هایی که مرتبط با گذر زمان، هندسهٔ فضا، حرکت اجسام در سقوط آزاد و انتشار نور هستند. پدیده‌هایی چون اتساع زمان گرانشی، انتقال به سرخ گرانشی نور و تاخیر زمانی گرانشی که ناشی از کندتربودن گذر زمان در نزدیکی میدان‌های گرانشی قوی است، همگرایی گرانشی که به خمیده‌شدن نور در یک میدان گرانشی قوی اشاره دارد و حرکت تقدیمی مدار سیارات نمونه‌هایی از این تفاوت‌ها هستند. همچنین تعریف جرم در نسبیت عام به سادگی فیزیک کلاسیک و حتی نسبیت خاص نیست، در واقع در نسبیت عام نمی‌توان تعریفی کلی برای جرم یک سامانه ارائه داد و تعریف‌های گوناگونی همچون جرم اِی‌دی‌اِم، جرم کُمار و جرم بوندی پدید آمده‌اند.

محدودیت سرعت اجسام مادی به سرعت نور در نسبیت عام، پیامدهایی در مورد ساختار سببی فضازمان دربردارد، زیرا تأثیر رویدادها و در نتیجه علّیت نیز محدود به سرعت نور می‌باشند. این محدودیت در نسبیت عام به تعریف افق‌ها می‌انجامد که مرزبندی‌هایی در فضازمان هستند. از جملهٔ افق‌ها می‌توان به افق ذره و افق رویداد اشاره‌کرد که به ترتیب برخی نواحی از گذشته و آینده را غیر قابل دسترسی می‌نمایند.

یکی از ویژگی‌های ابهام‌آمیز نسبیت عام تکینگی‌ها هستند که در آن‌ها هندسهٔ فضازمان تعریف نشده‌است. برخی از پاسخ‌های معادلات میدان اینشتین، مانند پاسخ شوارتزشیلد و پاسخ کر تکینگی‌های آینده (تکینگی‌های سیاهچاله‌ها) و برخی دیگر مانند پاسخ فریدمان–لومتر–رابرتسون–واکر تکینگی‌های گذشته (تکینگی مهبانگ) را مشخص می‌کنند. ماهیت تکینگی‌ها همچنان در هالهٔ ابهام قرار دارد، هرچند که تلاش‌هایی در زمینه توصیف ساختار آنها صورت گرفته‌است.

پیش‌بینی‌های نسبیت عام در تمام مشاهدات و آزمایش‌هایی که تا به امروز انجام گرفته‌است، تأیید شده‌اند. نسبیت عام تنها نظریهٔ نسبیتی موجود برای گرانش نیست، بلکه ساده‌ترین نظریه‌ای است که با داده‌های تجربی همخوانی دارد. هرچند که پرسش‌هایی هستند که هنوز بی‌پاسخ مانده‌اند و شاید پایه‌ای‌ترین آن‌ها این باشد که چگونه می‌توان نسبیت عام را با قوانین فیزیک کوانتومی آشتی داد تا بتوان به نظریه‌ای کامل و خودسازگار برای گرانش کوانتومی دست یافت.

محتویات

    ۱ تاریخچه
    ۲ از مکانیک کلاسیک تا نسبیت عام
        ۲.۱ هندسه گرانش نیوتنی
        ۲.۲ تعمیم نسبیتی
        ۲.۳ معادلات میدان اینشتین
    ۳ تعریف و کاربردهای پایه‌ای
        ۳.۱ تعریف و ویژگی‌های پایه‌ای
        ۳.۲ مدل‌سازی
    ۴ پیامدهای نظریه اینشتین
        ۴.۱ اتساع زمان گرانشی و انتقال بسامد
        ۴.۲ شکست نور و تاخیر زمانی گرانشی
        ۴.۳ امواج گرانشی
        ۴.۴ تاثیرات مداری و نسبیت جهت
            ۴.۴.۱ حرکت تقدیمی نقاط حضیض
            ۴.۴.۲ افت مداری
            ۴.۴.۳ حرکت تقدیمی ژئودتیک و کشش چارچوب
    ۵ کاربردهای اخترفیزیکی
        ۵.۱ همگرایی گرانشی
        ۵.۲ اخترشناسی امواج گرانشی
        ۵.۳ سیاهچاله‌ها و سایر اجسام پرجرم
        ۵.۴ کیهان‌شناسی
    ۶ مفاهیم پیشرفته
        ۶.۱ ساختار سببی و هندسه سراسری
        ۶.۲ افق‌ها
        ۶.۳ تکینگی‌ها
        ۶.۴ معادلات تکامل
        ۶.۵ کمیت‌های شبه محلی و سراسری
    ۷ رابطه با نظریه کوانتومی
        ۷.۱ نظریه میدان کوانتومی در فضازمان خمیده
        ۷.۲ گرانش کوانتومی
    ۸ وضعیت کنونی
    ۹ جستارهای وابسته
    ۱۰ یادداشت‌ها
    ۱۱ پانویس
    ۱۲ منابع
    ۱۳ مطالعه بیشتر
    ۱۴ پیوند به بیرون

تاریخچه

اندکی پس از انتشار نظریه نسبیت خاص در سال ۱۹۰۵، اینشتین در این اندیشه بود که چگونه می‌تواند گرانش را در چارچوب نسبیتی جدیدش جای دهد. در سال ۱۹۰۷ با شروع از یک آزمایش فکری شامل یک مشاهده‌گر در سقوط آزاد، جستجویی هشت ساله برای دستیابی به نظریه‌ای نسبیتی برای گرانش را آغاز کرد. پس از اشتباهات و انحرافات متعدد سرانجام کار او در قالب آنچه امروزه معادلات میدان اینشتین می‌خوانیم، حاصل داد و در نوامبر ۱۹۱۵ به آکادمی علوم پروشن ارائه شد. این معادلات بیان می‌کنند که چگونه هندسهٔ فضا و زمان از کل ماده و تابش موجود تأثیر می‌پذیرد و هسته نسبیت عام اینشتین را تشکیل می‌دهند.[۴]

معادلات میدان اینشتین غیرخطی هستند و از این رو یافتن پاسخ برای آنها بسیار دشوار است. در حل مسائل مربوط به اولین پیش‌بینی‌های نظریه اش، اینشتین از روشهای تقریبی استفاده نمود. اما دیری نپایید که در سال ۱۹۱۶ اخترفیزیکدانی به نام کارل شوارتزشیلد نخستین پاسخ غیربدیهی برای معادلات اینشتین را پیدا کرد که با نام متریک شوارتزشیلد شناخته می‌شود. این پاسخ امکان توصیف مراحل نهایی رمبش گرانشی و تشکیل اجسامی که امروزه به نام سیاهچاله می‌شناسیم، را فراهم نمود. در همان سال نخستین گام‌ها برای تعمیم پاسخ شوارتزشیلد به اجسام باردار آغاز شد. نتیجه این تلاش‌ها متریک رایسنر–نوردشتروم بود که امروزه با سیاهچاله‌های دارای بار الکتریکی مرتبط است.[۵] در سال ۱۹۱۷ اینشتین نظریه‌اش را در مورد جهان به عنوان یک کل به کارگرفت و شاخه کیهان‌شناسی نسبیتی را پایه‌گذاری نمود. در آن زمان اینشتین در راستای اندیشه غالب عصر خود جهان را ایستا می‌پنداشت و به همین دلیل پارامتر جدیدی– ثابت کیهانی – را به معادلات اولیه خود افزود تا بتواند آن مشاهده را در نظریه‌اش تکرار نماید.[۶] اما تا سال ۱۹۲۹ در نتیجهٔ کار هابل و سایرین مشخص شده بود که جهان ما در حال انبساط است. انبساط جهان به خوبی توسط بسط جواب‌های کیهانی که توسط الکساندر فریدمان در سال ۱۹۲۲ ارائه شد و نیازی به ثابت کیهانی ندارند، قابل توضیح است. با استفاده از این جوابها لومتر اولین نسخه از نظریه مهبانگ را فرمول‌بندی کرد که در آن جهان از یک حالت بی نهایت داغ و چگال اولیه بوجود آمده است.[۷] بعدها اینشتین ثابت کیهانی را بزرگترین اشتباه زندگی خود خواند.[۸]

در خلال آن دوران، نسبیت عام کنجکاوی بسیاری از فیزیک‌دانان نظری را برانگیخته بود. این نظریه به وضوح از گرانش نیوتن برتر بود زیرا با نسبیت خاص سازگار بود و از عهده توضیح بسیاری از پدیده‌هایی بر می‌آمد که نظریه نیوتنی از توضیح آنها ناتوان بود. خود اینشتین در سال ۱۹۱۵ نشان داد که چگونه نظریه‌اش حرکت تقدیمی غیر عادی حضیض خورشیدی سیاره تیر را بدون استفاده از هیچ‌گونه پارامتر اختیاری توجیه می‌کند.[۹] به طور مشابهی در سال ۱۹۱۹، طی اکتشافی که توسط ادینگتون صورت گرفت، پیش بینی نسبیت عام در مورد انحراف نور ستاره‌ها در طی خورشیدگرفتگی ۲۹ مه ۱۹۱۹، تأیید گردید.[۱۰] و باعث شهرت فوری اینشتین شد.[۱۱] اما تنها با گسترش‌هایی که بین سالهای ۱۹۶۰ تا ۱۹۷۵ صورت گرفت این نظریه وارد جریان اصلی فیزیک نظری و اخترفیزیک شد و از این رو، این دوره را عصر طلایی نسبیت عام می‌خوانند.[۱۲] به تدریج فیزیکدانان مفهوم سیاهچاله را درک نمودند و اختروش‌ها را به عنوان نمونه‌ای از تجلی اخترفیزیکی این مفهوم شناسایی کردند.[۱۳] آزمایش‌هایی دقیق‌تر از همیشه بر روی منظومه شمسی قدرت پیش‌بینی نظریه را تأیید کردند[notes ۱] و گرایش‌هایی برای استفاده از کیهان‌شناسی نسبیتی برای هدایت آزمایش‌های مشاهده‌ای به‌وجود آمد.[notes ۲]
از مکانیک کلاسیک تا نسبیت عام

نسبیت عام را می‌توان با بررسی شباهت‌ها و تفاوت‌هایش با فیزیک کلاسیک درک نمود. نخستین گام این است که متوجه شویم که مکانیک کلاسیک و قانون گرانش نیوتن به طور ضمنی یک توصیف هندسی را می‌پذیرند. با ترکیب این توصیف با قوانین نسبیت خاص به نسبیت عام می‌رسیم.[notes ۳]
هندسه گرانش نیوتنی
بنا بر نسبیت عام، اجسام در یک میدان گرانشی همانند اجسام در یک محفظه بسته شتاب‌دار رفتار می‌کنند. مثلا اگر شتاب موشک به اندازه‌ای باشد که همان نیروی نسبی گرانش زمین را داشته باشد، افتادن یک توپ در درون یک موشک (چپ) همانند افتادن یک توپ در نقطه‌ای روی زمین (راست) خواهد بود.

بنیان فیزیک کلاسیک بر این مفهوم استوار است که حرکت یک جسم را می‌توان ترکیبی از حرکت آزاد جسم (یا حرکت لخت) و انحراف‌هایی از این حرکت لخت دانست. این انحراف‌ها ناشی از نیروهای خارجی است که بر جسم وارد می‌شوند و بر طبق قانون حرکت دوم نیوتن عمل می‌کنند. قانون دوم نیوتن بیان می‌کند که نیروی خالص وارد بر یک جسم برابر با جرم (لختی) آن ضرب در شتاب جسم است.[۱۴] نوع حرکت لخت جسم با هندسه فضا و زمان مرتبط است: در چارچوب‌های مرجع استاندارد فیزیک کلاسیک حرکت لَخت اجسام در خط مستقیم و با سرعت ثابت انجام می‌شود. در ادبیات فیزیک مدرن مسیرهای حرکت لَخت اجسام ژئودزیک نامیده می‌شوند که تعمیمی از مفهوم خط راست در هندسهٔ فیزیک کلاسیک هستند، خط‌های جهانی مستقیم در فضازمان خمیده.[۱۵]

در روندی معکوس ممکن است این انتظار وجود داشته باشد که با مشخص کردن حرکت لخت اجسام از طریق مشاهدهٔ حرکت واقعی و حذف انحراف‌های مربوط به نیروهای خارجی (مانند الکترومغناطیس و اصطکاک)، می‌توان هندسهٔ فضا و همچنین مختصات زمان را تعریف کرد، اما وقتی پای گرانش به میان می‌آید این موضوع کمی ابهام‌آمیز می‌شود. بر طبق قانون گرانش نیوتن و تأیید آزمایش‌های مستقلی مانند آزمایش لورند اوتوو و سایرین، سقوط آزاد جهان‌شمول است (این قانون همچنین با نام اصل ضعیف هم‌ارزی و یا قانون جهانی برابری جرم لختی و جرم غیر فعال گرانشی شناخته می‌شود): مسیر حرکت ذره آزمون در سقوط آزاد تنها به مکان و سرعت اولیه اش بستگی دارد و به هیچ‌یک از ویژگی‌های مادی‌اش وابسته نیست.[۱۶] نسخه‌ای ساده شده از این مفهوم را می‌توان در آزمایش آسانسور انیشتین یافت که در تصویر سمت چپ دیده می‌شود: ناظری که در یک اتاق بسته کوچک قرار گرفته غیر ممکن است که تنها با بررسی مسیر سقوط آزاد جسمی مانند یک توپ بتواند بفهمد که آیا محفظه، در حال سکون و در یک میدان گرانشی قرار دارد یا اینکه در فضای آزاد سوار بر موشکی شتاب‌دار است که نیرویی به اندازه گرانش ایجاد می‌کند.[۱۷]

با توجه به جهان‌شمول بودن گرانش، تمایز قابل مشاهده‌ای بین حرکت لخت و حرکت ناشی از نیروی گرانشی وجود ندارد. این موضوع ما را بر آن می‌دارد که کلاس جدیدی از حرکت لخت برای اجسام در حال سقوط آزاد تحت تأثیر نیروی گرانش تعریف کنیم. این کلاس جدید نیز، به نوبه خود، هندسه‌ای از فضا و زمان به زبان ریاضی تعریف می‌کند که عبارت است از حرکت ژئودزیک متناظر با یک اتصال خاص که به گرادیان پتانسیل گرانشی بستگی دارد. در اینجا فضا هنوز هندسه اقلیدسی معمولی دارد. اما فضا–زمان، به عنوان یک کل، پیچیده تر است. همان‌طور که می‌توان با آزمایش‌های فکری ساده در مورد مسیرهای سقوط آزاد ذرات آزمون مختلف نشان داد، نتیجه جابجایی بردارهای فضازمان که بیانگر سرعت ذره هستند به مسیر ذره بستگی دارد؛ به زبان ریاضی، می‌توان گفت که اتصال نیوتنی انتگرال‌پذیر نیست. از این می‌توان نتیجه گرفت که فضا–زمان خمیده است. نتیجه، یک فرمول‌بندی هندسی از گرانش نیوتنی تنها با استفاده از مفاهیم هموردا است؛ یعنی توصیفی که در هر دستگاه مختصاتی معتبر است.[۱۸] در این توصیف هندسی اثرات کشندی – شتاب نسبی اجسام در سقوط آزاد – با مشتق اتصال مرتبط است که نشان می‌دهد چگونه تغییر شکل هندسی، برآمده از وجود جرم است.[۱۹]
تعمیم نسبیتی
مخروط نوری

بیان هندسی گرانش نیوتنی هرچند هم که جذاب باشد، اساس آن مکانیک کلاسیک، یعنی تنها حالتی حدی از مکانیک نسبیتی است.[notes ۴] به زبان تقارن: در جایی‌که بتوان گرانش را نادیده گرفت فیزیک دارای ناوردایی لورنتز است، مانند نسبیت خاص در مقایسه با مکانیک کلاسیک که دارای ناوردایی گالیله‌ای است (تقارن تعریف‌شده در نسبیت خاص گروه پوانکاره است که انتقال و چرخش را نیز شامل می‌شود). تفاوت این دو هنگامی اهمیت می‌یابد که با سرعت‌های بالا و نزدیک به سرعت نور و پدیده‌های پرانرژی سروکار داریم.[notes ۵]

ساختارهای دیگری نیز با تقارن لورنتز به میان می‌آیند. این ساختارها توسط تعدادی مخروط نور تعریف می‌گردند. مخروط‌های نور ساختاری علیتی را تعریف می‌کنند: به ازای هر رویداد A، مجموعه‌ای از رویدادها وجود دارند که می‌توانند از طریق سیگنال‌ها و برهم‌کنش‌هایی که نیاز به سرعت بیشتر از نور ندارند، روی A تأثیر گذاشته یا از آن تأثیر بگیرند (مانند B) و مجموعه رویدادهایی که این نوع برهم‌کنش با A (با سرعت پایین تر ازسرعت نور) برایشان امکان‌پذیر نیست (مانند C). این مجموعه‌ها مستقل از ناظر هستند.[۲۰] در ارتباط با خطوط جهانی ذرات در حال سقوط آزاد، مخروط‌های نوری را می‌توان برای بازسازی متریک شبه‌ریمانی فضازمان استفاده نمود. به زبان ریاضی این یک ساختار همدیس است.[۲۱]

نسبیت خاص در غیاب گرانش تعریف می‌شود و به همین دلیل در کاربردهایی عملی در مواردی که بتوان گرانش را نادیده گرفت، مدل مناسبی خواهد بود. با ورود گرانش به صحنه و با فرض اصل هم‌ارزی ضعیف، می‌توان استدلالی مانند بخش پیشین ارائه داد: چارچوب مرجع لَخت جهانی وجود ندارد. به جای آن چارچوب‌های تقریباً لختی وجود دارند که در راستای ذرات در حال سقوط آزاد حرکت می‌کنند. به زبان فضازمان: خطوط زمان‌واره مستقیمی که یک چارچوب لخت بدون گرانش را تعریف می‌کنند، تغییر شکل داده و نسبت به یکدیگر خمیدگی پیدا می‌کنند و ما را به سوی این پندار رهنمون می‌سازد که افزودن گرانش نیاز به تغییر در هندسه فضازمان دارد.[۲۲]

از پیش مشخص نیست که این چارچوب‌های جدید در حال سقوط آزاد همان چارچوب‌های مرجعی باشند که نسبیت خاص در آنها حکم‌فرماست. اما با استفاده از پنداشت‌های متفاوت در مورد چارچوب‌های نسبیت خاص می‌توان به پیش‌بینی‌های متفاوتی در مورد پدیده انتقال به سرخ گرانشی، یعنی چگونگی تغییر بسامد نور در میدان گرانشی رسید. اندازه‌گیری‌های واقعی نشان داده‌اند که نور در چارچوب‌های در حال سقوط آزاد نیز مانند چارچوب‌های نسبیت خاص منتشر می‌گردد.[۲۳] تعمیم این عبارت اصل هم‌ارزی خوانده می‌شود: قوانین نسبیت خاص با تقریب خوبی در چارچوب‌های مرجع در حال سقوط آزاد (غیرچرخان) برقرارند. این اصل یک اصل هدایت‌گر مهم برای گسترش نسبیت خاص با در نظرگرفتن گرانش است.[۲۴]

همین داده‌های تجربی گواهی می‌دهند که زمانی که توسط ساعت‌های قرار گرفته در یک میدان گرانشی اندازه‌گیری می‌شود – اصطلاح تخصصی آن زمان ویژه است –، از قوانین نسبیت خاص پیروی نمی‌کند و یا به بیان هندسه فضازمان، با متریک مینکوفسکی قابل اندازه‌گیری نمی‌باشند. همان‌گونه که در مورد مکانیک نیوتنی اتفاق افتاد در اینجا نیز نیازمنده هندسه کلی‌تری هستیم. در مقیاس‌های کوچک، تمام چارچوب‌های مرجع درحال سقوط آزاد هم‌ارز و تقریباً مینکوفسکی وار هستند. متعاقباً ما با تعمیمی خمیده از فضای مینکوفسکی روبه‌رو هستیم. تانسور متریک که هندسه را تعریف می‌کند – به بیان دقیق‌تر چگونگی اندازه‌گیری طول‌ها و زاویه ها–، متریک مینکوفسکی نسبیت خاص نیست؛ بلکه تعمیم یافته آن است که به نام متریک شبه–ریمانی شناخته می‌شود. همچنین هر متریک ریمانی به طور طبیعی با یک نوع خاص اتصال به نام اتصال لوی–چیویتا مرتبط است و این اتصال درواقع اتصالی است که اصل هم‌ارزی را ارضا کرده و فضا را به طور محلی، مینکوفسکی‌وار می‌سازد (یعنی در چارچوب‌های محلی لخت مناسب، متریک، میکنوفسکی وار است و مشتقات جزئی مرتبه اول آن و نیز ضرایب اتصال صفر هستند).[۲۵]
معادلات میدان اینشتین
نوشتارهای اصلی: معادلات میدان اینشتین و ریاضیات نسبیت عام

با وجود فرمول‌بندی نسخه نسبیتی و هندسی آثار گرانش، پرسش درباره سرچشمه گرانش همچنان پابرجاست. در گرانش نیوتنی سرچشمه گرانش، جرم است. در نسبیت خاص، جرم پاره‌ای از کمیتی بزرگتر به نام تانسور انرژی–تکانه است که شامل چگالی‌های انرژی و تکانه و تنش (که عبارت است از فشار و برش) می‌شود.[۲۶] با استفاده از اصل هم ارزی می‌توان این تانسور را به فضازمان خمیده تعمیم داد. چنانچه با گرانش هندسی نیوتنی مقایسه کنیم، طبیعی خواهد بود که بپنداریم معادله میدان گرانش، این تانسور را به تانسور ریچی مرتبط سازد. تانسور ریچی رده ویژه‌ای ازاثرات کشندی را توصیف می‌کند: تغییر در حجم ابرهای کوچکی از ذرات آزمون که ابتدا ساکن هستند و سپس سقوط آزاد می‌کنند. در نسبیت خاص پایستگی انرژی–تکانه متناظر با این عبارت است که تانسور انرژی–تکانه بدون واگرایی است. این فرمول را نیز می‌توان با جایگزینی مشتقات پاره‌ای با خَمینه‌های همتایشان یعنی مشتقات هَموَردای هندسه دیفرانسیل، به سادگی به فضازمان خمیده تعمیم داد. با این شرط اضافی – واگرایی هموردای تانسور انرژی–تکانه صفر است و در نتیجه هرآنچه در سوی دیگر معادله است نیز صفر خواهد شد – ساده ترین مجموعه معادلات، معادلاتی هستند که به نام معادلات میدان انیشتین خوانده می‌شوند.

    R_{ab} - {\textstyle 1 \over 2}R\,g_{ab} = {8 \pi G \over c^4} T_{ab}. \,

عبارت سمت چپ تانسور اینشتین است، ترکیب ویژه بدون واگرایی از تانسور ریچی R_{ab} و متریک. به طور خاص:

    R=R_{cd}g^{cd}\,

خمش نرده‌ای است. خود تانسور ریچی نیز با تانسور کلی‌تر خمش ریمان به شکل زیر در ارتباط است

    \quad R_{ab}={R^d}_{adb}. \,

در سمت راست Tab تانسور انرژی–تکانه است. تمام تانسورها در شکل نمادگذاری نمایه انتزاعی نوشته شده‌اند.[۲۷] برای اینکه پیش‌بینی‌های نظریه با نتایج تجربی مشاهدات مدارهای سیاره‌ها، سازگار باشند، ثابت تناسب را می‌توان به شکل κ = ۸πG/c۴ اصلاح نمود که درآن G ثابت گرانش و c سرعت نور است.[۲۸] هرگاه هیچ ماده‌ای موجود نباشد، به گونه‌ای که تانسور انرژی تکانه ناپدید گردد، معادلات خلاء انیشتین به دست می‌آیند:

    R_{ab}=0. \,

نظریه‌های جایگزینی برای نسبیت عام بر پایه پندارهای یکسان شکل گرفته‌اند. این نظریه‌ها شامل قوانین و محدودیت‌های اضافی‌ای هستند که باعث به‌وجود آمدن شکل‌های دیگری از معادلات میدان می‌شوند. برای نمونه می‌توان به نظریه برانس دیکی، دورهمسانی و یا نظریه اینشتین–کارتان اشاره کرد.[۲۹]
تعریف و کاربردهای پایه‌ای

نتیجه‌گیری‌های بخش قبلی همه اطلاعات لازم برای تعریف و توصیف ویژگی‌های کلیدی نسبیت عام را شامل می‌شود و اکنون می‌توان به سراغ چگونگی استفاده از این نظریه برای مدل‌سازی پدیده‌های فیزیکی رفت.
تعریف و ویژگی‌های پایه‌ای

نظریهٔ نسبیت، یک نظریه متریک برای گرانش است. در هسته این نظریه معادلات اینشتین قرار می‌گیرند که رابطه بین هندسه یک خَمینه شبه ریمانی چهاربعدی به عنوان فضازمان و انرژی–تکانه موجود در آن فضازمان را توصیف می‌کنند.[۳۰]

پدیده‌هایی که در مکانیک کلاسیک به عملکرد نیروی گرانش تعبیر می‌شوند (مانند سقوط آزاد، حرکت مداری، مسیرحرکت فضاپیما)، در نسبیت عام به حرکت‌های لخت در هندسه خمیدهٔ فضازمان نسبت داده می‌شوند. در نسبیت عام، گرانش نیرویی نیست که اجسام را از مسیر مستقیم طبیعی‌شان منحرف می‌کند، بلکه تغییری در ویژگی‌های فضا و زمان است که باعث تغییر مستقیم‌ترین مسیرهایی که اجسام به طور طبیعی انتخاب می‌کنند می‌شود.[notes ۶] خمش به نوبه خود توسط انرژی–تکانه ماده به‌وجود می‌آید. جان ویلر این موضوع را این گونه بیان می‌کند که فضازمان به ماده می‌گوید که چه‌طور حرکت کند و ماده نبز به فضازمان می‌گوید که چگونه خمیده شود.[۳۱]

با وجود اینکه نسبیت عام، پتانسیل گرانشی نرده‌ای فیزیک کلاسیک را با یک تانسور مرتبه دو جایگزین می‌کند، در برخی شرایط محدودتر، تانسور به میدان نرده‌ای کاهش می‌یابد. برای میدان‌های گرانشی ضعیف و سرعت‌های پایین (نسبت به سرعت نور)، پیش‌بینی‌های این نظریه به پیش‌بینی‌های قانون جهانی گرانش نیوتن همگرا می‌شوند.[۳۲]

از آنجایی‌که نسبیت عام برپایه تانسورها بنا شده است، هموردایی عام را به نمایش می‌گذارد: یعنی قوانین آن – و دیگر قوانینی که در چارچوب نسبیت عام فرمول‌بندی می‌شوند – در همه دستگاه‌های مختصات یک شکل خواهند داشت.[۳۳] علاوه براین، نظریه شامل هیچ ساختار پس زمینه‌ای هندسی ناوردایی نیست، یعنی مستقل از پس زمینه است. از این رو از اصل قوی تری به نام اصل نسبیت عام پیروی می‌نماید؛ این اصل بیان می‌کند که قوانین فیزیکی برای همه ناظرها یکسان هستند.[notes ۷] در مورد ساختارهای محلی، همان‌گونه که در اصل هم‌ارزی اشاره شد، فضازمان مینکوفسکی‌وار است و قوانین فیزیکی دارای ناوردایی محلی لورنتس هستند.[۳۴]
مدل‌سازی

هدف اصلی در مدل‌سازی با استفاده از نسبیت عام، یافتن پاسخی برای معادلات میدان اینشتین می‌باشد. با داشتن معادلات اینشتین و همچنین معادلات مناسب دیگر برای توصیف ویژگی‌های ماده، پاسخ معادلات یک خمینه شبه ریمانی (که معمولاً با استفاده از یک متریک در یک مختصات خاص تعریف می‌شود) به همراه میدان‌های ماده‌ی خاصی روی آن خمینه خواهد بود. ماده و هندسه باید در معادلات انیشتین صدق کنند، پس به طور خاص تانسور انرژی–تکانه باید بدون واگرایی باشد. البته ماده باید در معادلات دیگری که از طریق ویژگی‌هایش تحمیل می‌شوند نیز صدق کند. در مجموع چنین پاسخی برای این معادلات در حقیقت مدلی از جهان را نمایش خواهد داد که نسبیت عام و قوانین محتمل دیگری که بر ماده موجود حاکم‌اند را ارضا می‌نماید.[۳۵]

معادلات اینشتین معادلات دیفرانسیل غیرخطی با مشتقات پاره‌ای هستند و به همین سبب یافتن پاسخ دقیق برای این معادلات دشوار است.[notes ۸] با این حال چند پاسخ دقیق برای این معادلات پیدا شده است؛ اگر چه که تنها برخی از این پاسخ‌ها کاربرد مستقیم فیزیکی دارند.[notes ۹] بهترین پاسخ‌های دقیق کشف شده که از دیدگاه فیزیکی نیز جالب‌ترند، عبارتند از: پاسخ شوارتزشیلد، پاسخ رایسنر–نوردشتروم و متریک کِر که هرکدام با یک نوع خاص سیاه‌چاله در جهانی که تنها شامل این سیاه‌چاله است، در تناظر هستند،[۳۶] و متریک فریدمان–لومتر–رابرتسون–واکر و جهان دو سیتر که هر دو جهان در حال انبساط را توصیف می‌کنند.[۳۷] پاسخ‌هایی که اهمیت نظری دارند عبارتند از متریک گودل (که احتمال سفر در زمان در فضازمان خمیده را مطرح می‌کند)، پاسخ تاب–نات (مدلی از جهان که همگن است اما همسانگرد نیست) و فضای پاد–دوسیتر (که به تازگی در زمینه حدس مالداسنا مورد توجه قرار گرفته است).[notes ۱۰]

به دلیل دشواری یافتن پاسخ‌های دقیق، معادلات میدان اینشتین را اغلب با استفاده از انتگرال‌گیری عددی به کمک رایانه و یا با استفاده از روش‌های اختلالی با ایجاد انحرافات کوچک از جواب اصلی حل می‌کنند. در شاخه «نسبیت عددی»، رایانه‌های توانمندی به خدمت گرفته می‌شوند تا معادلات اینشتین را برای شرایط خاصی مثل برخورد سیاه‌چاله‌ها حل کنند.[۳۸] در اصل، چنین روش‌هایی را با در دست داشتن توان پردازشی کافی می‌توان برای هر سامانه‌ای به‌کار برد و به دنبال پاسخ برای پرسش‌هایی بنیادی همچون تکینگی‌های برهنه بود. جواب‌های تقریبی را همچنین می‌توان از طریق نظریه‌های اختلال یافت، مانند گرانش خطی‌شده[۳۹] و تعمیم آن، بسط پسانیوتنی که هردو توسط اینشتین به‌وجود آمده‌اند. بسط پسانیوتنی روش حلی سیستماتیک برای فضازمانی ارائه می‌کند که شامل توزیعی از ماده در حال حرکت با سرعتی کم نسبت به سرعت نور می‌باشد. این بسط شامل یک سری از جملات است که جمله اول نماینده گرانش نیوتنی است و جمله‌های بعدی نماینده اصلاحاتی هستند که به واسطه نسبیت عام بر گرانش نیوتنی وارد می‌شوند که مقدارشان در جملات متوالی کاهش می‌یابد.[۴۰] نسخه گسترش‌یافته این بسط، صورت‌گرایی پسا-نیوتنی پارامتری است که امکان مقایسه کمّی بین پیش‌بینی‌های نسبیت عام و نظریه‌های جایگزین را به‌وجود می‌آورد.[۴۱]
پیامدهای نظریه اینشتین

نسبیت عام پیامدهای فیزیکی چندی را به دنبال دارد. برخی از آنها مستقیما از اصول نظریه ناشی می‌شوند در حالیکه سایر آنها تنها در طول نود سال پژوهشی که به دنبال انتشار نخستین نظریه توسط اینشتین آغاز شد، مشخص گشته‌اند.
اتساع زمان گرانشی و انتقال بسامد
نوشتار اصلی: اتساع زمان گرانشی
نمایش شماتیک انتقال به سرخ یک موج نور که از سطح یک جسم بسیار پرجرم می‌گریزد.

بافرض درستی اصل هم ارزی،[۴۲] گرانش بر گذر زمان اثر می‌گذارد. نوری که به درون یک چاه گرانش فرستاده می‌شود، منتقل به آبی می‌گردد. در حالی‌که نوری که در جهت مخالف فرستاده می‌شود؛ یعنی از چاه گرانش بالا می‌آید منتقل به سرخ می‌گردد. این پدیده‌ها را انتقال بسامد گرانشی می‌نامند. به طور کلی، فرایندهایی که در نزدیکی یک جسم پرجرم صورت می‌گیرند کندتر از فرایندهایی که در فواصل دورتر قرار دارند پیش می‌روند. این پدیده را اتساع زمان گرانشی می گویند.[۴۳]

انتقال به سرخ گرانشی در آزمایشگاه[notes ۱۱] و با بهره‌گیری از مشاهدات اخترفیزیکی[۴۴] اندازه‌گیری شده است. اتساع زمان گرانشی در میدان گرانشی زمین دفعات زیادی با بهره گیری از ساعت‌های اتمی بررسی شده است.[notes ۱۲] و به عنوان کاربردی جانبی برای پروژه سامانه موقعیت‌یاب جهانی (GPS) این نتایج پیوسته در حال ارزیابی هستند.[۴۵] آزمونی در میدان گرانشی قوی‌تر را می‌توان با استفاده از مشاهدات تپ‌اخترهای دوتایی انجام داد.[۴۶] تمام نتایج با نسبیت عام همخوانی دارند[notes ۱۳] اما در سطح دقت کنونی این آزمایش‌ها نمی‌توانند بین نسبیت عام و سایر نظریه‌هایی که در آنها اصل هم ارزی معتبر است تمایزی قائل شوند.[۴۷]
شکست نور و تاخیر زمانی گرانشی
نوشتارهای اصلی: همگرایی گرانشی و تاخیر شاپیرو
شکست نور (فرستاده شده از مکان آبی رنگ) نزدیک یک جسم فشرده (به رنگ خاکستری)

نسبیت عام پیش بینی می‌کند که مسیر نور در میدان گرانشی خم می‌شود. نوری که از نزدیکی یک جسم پرجرم می‌گذرد به سوی آن جسم خمیده می‌شود. این اثر با مشاهده نور ستارگان دور و اختروش‌ها که با گذر از کنار خورشید خمیده می‌شود، تایید شده است.[notes ۱۴]

این پیش بینی و پیش‌بینی‌های مرتبط از این واقعیت پیروی می‌کنند که نور مسیری را که به آن نورواره (نور–مانند) یا ژئودزیک پوچ (که تعمیمی بر خطوط مستقیمی در فیزیک کلاسیک هستند که نور در راستای آنها منتشر می‌شود) می گویند، دنبال می‌کند. چنان ژئودزیک‌هایی در واقع تعمیم ناوردایی سرعت نور در نسبیت خاص هستند.[notes ۱۵] چنانچه مدلهای فضازمان را بررسی کنیم (چه مدل خارجی جواب شوارتزشیلد، چه مدلهایی که بیش از یک جرم دارند مثل بسط پسانیوتنی)[۴۸] آثار متعددی از گرانش بر نور جلوه خواهند نمود. اگرچه می‌توان خمش نور را از تعمیم جهانشمول بودن سقوط آزاد به نور نتیجه گرفت،[۴۹] زاویه شکستی که از نتیجه چنین محاسباتی به دست می‌آید تنها نیمی از مقداری است که از نسبیت عام به دست می‌آید.[۵۰]

تاخیر زمانی گرانشی (یا تاخیر شاپیرو) ارتباط تنگاتنگی با شکست گرانشی نور دارد. تاخیر زمانی گرانشی به پدیده‌ای اشاره دارد که طی آن گذر نور در یک میدان گرانشی مدت زمان بیشتری از گذر نور در غیاب آن میدان به طول می‌انجامد. آزمون‌های موفق بی‌شماری برای این پیش بینی انجام شده‌اند.[notes ۱۶] در صورت‌گرایی پارامتری پسانیوتنی (PPN)، اندازه‌گیری هر دو پدیده شکست نور و تاخیر زمانی گرانشی پارامتری به نام γ را مشخص می‌سازد، که تاثیر گرانش بر هندسه فضازمان در آن به رمز در آمده است. [۵۱]
امواج گرانشی
نوشتار اصلی: موج گرانشی
حلقه ذرات آزمون تحت تاثیر گرانش

یکی از تشابه‌های متعدد میدان گرانشی ضعیف و میدان الکترومغناطیس این است که همانند امواج الکترومغناطیسی، امواج گرانشی نیز وجود دارند: امواجی در متریک فضازمان که با سرعت نور منتشر می‌شوند.[notes ۱۷] ساده‌ترین نوع چنین موجی را می‌توان با عمل آن بر روی حلقه‌ای از ذرات که آزادانه شناورند نمایش داد. موج سینوسی که از درون چنین حلقه‌ای به سمت خواننده منتشر می‌شود به صورت ریتمیک حلقه را دچار اعوجاج می‌نماید (شکل سمت چپ را ببینید).[notes ۱۸] از آنجا که معادلات اینشتین غیرخطی هستند، امواج گرانشی که به اندازه کافی قوی باشند، از اصل برهم‌نهی پیروی نمی کندد و این باعث دشواری توصیف آنها می‌شود؛ درحالیکه برای میدان‌های ضعیف می‌توان از یک تقریب خطی استفاده نمود. اینگونه امواج گرانشی خطی شده از دقت کافی برای توصیف امواج گرانشی بسیار ضعیفی را که انتظار می‌رود از رویدادهای کیهانی بسیار دور به ما برسد، برخوردار هستند. در روشهای تحلیل داده‌های مربوط به این امواج، استفاده‌های فراوانی از این واقعیت می‌شود که می‌توان امواج گرانشی خطی شده را با استفاده از سری فوریه بسط داد.[۵۲]

برخی از پاسخ‌های دقیق معادلات اینشتین امواج گرانشی را بدون هیچ تقریبی توصیف می‌کنند، مثلا قطار موجی که در فضای خالی سفر می‌کند[۵۳] یا آنچه به نام جهانهای گودی شناخته می‌شود که نسخه‌های مختلفی از یک کیهان در حال انبساط پر شده با امواج گرانشی است.[۵۴]اما برای امواج گرانشی که در موارد مربوط به اخترفیزیک، مانند ادغام دو سیاه‌چاله تولید می‌شوند، تنها راه ساخت مدل‌های مناسب در حال حاضر روشهای عددی هستند.[۵۵]
تاثیرات مداری و نسبیت جهت

نسبیت عام و مکانیک کلاسیک در شماری از پیش بینی‌هایشان در مورد اجسام در حرکت مداری، با یکدیگر تفاوت دارند. نسبیت عام یک چرخش کلی (حرکت تقدیمی) مدار سیارات، کاهش یافتن مدار در نتیجه‌ی منتشر کردن امواج گرانشی و نیز آثار مربوط به نسبیت جهت را در مورد این مدارها پیش‌بینی می‌کند.
حرکت تقدیمی نقاط حضیض
مدار نیوتنی (قرمز) در مقابل مدار اینشتینی (آبی) یک سیاره تنها که به دور ستاره‌ای می‌گردد

در نسبیت عام، نقطه حضیض هر مدار (یعنی نقطه‌ای که در آن، جسم در حرکت مداری نزدیکترین فاصله را با گرانیگاه شامانه دارد) حرکتی تقدیمی خواهد داشت – همانطور که در شکل مشخص است، شکل مدار بیضی نیست بلکه شبیه به بیضی است که روی کانونش می‌چرخد و یک منحنی رز پدید می‌آورد –. اینشتین برای نخستین بار این نتیجه را با استفاده از یک متریک تقریبی به عنوان نماینده حد نیوتنی و یک ذره آزمون به عنوان جسم در حرکت مداری استنتاج نمود. برای او دانستن این واقعیت که نظریه‌اش توضیح مستقیمی درباره حرکت تقدیمی حضیض خورشیدی سیاره تیر – که در سال ۱۸۵۹ توسط اوربن لاوریه کشف شده بود – ارائه می‌کند، گواه مهمی بود بر اینکه او شکل درستی از معادلات میدان گرانشی را یافته‌است.[۵۶]

این اثر را می‌توان با استفاده از متریک دقیق شوارتزشیلد (که فضازمان اطراف یک جسم کروی را توصیف می‌کند).[۵۷] و یا صورت‌گرایی پسا–نیوتنی نیز استنتاج نمود.[۵۸] این پدیده ناشی از تاثیر گرانش بر هندسه فضا و نقش خود–انرژی در گرانش یک جسم (که نمود آن را در غیرخطی بودن معادلات انیشتین می‌توان دید) می‌باشد.[notes ۱۹] حرکت تقدیمی نسبیتی برای تمام سیاراتی که می‌توان در آنها به دقت حرکت تقدیمی را اندازه گرفت(تیر، ناهید و زمین)، مشاهده شده‌اند.[notes ۲۰] حرکت تقدیمی در تپ‌اخترهای دوتایی نیز اندازه‌گیری شده است که مقدار آن به اندازه پنچ مرتبه بزرگی بیشتر است.[۵۹]
افت مداری
افت مداری برای پی‌اس‌آر بی۱۹۱۳+۱۶: تغییر زمان برحسب ثانیه که در طول سه دهه ردگیری شده است.[notes ۲۱]

بنابر نظریه نسبیت عام یک منظومه دوتایی امواج گرانشی منتشر می‌کند و از این رو انرژی از دست خواهد داد. در نتیجه این کاهش انرژی فاصله بین دو جسم در حال چرخش کاهش می یابد. و بنابراین دوره تناوب چرخش آنها نیز کاهش می‌یابد. در درون منظومه شمسی یا برای جفت ستاره‌های معمولی این اثر آنقدر کوچک است که قابل مشاهده نیست. اما برای یک تپ‌اختر دوتایی که در فاصله نزدیکی قرار دارد، وضعیت این‌گونه نیست. یک تپ‌اختر دوتایی از دو ستاره نوترونی در حرکت مداری هستند تشکیل شده است که یکی از آن‌ها تپ‌اختر است. ناظرین روی زمین، سری منظمی از پالس‌های رادیویی از یک تپ‌اختر دریافت می‌کنند که می‌توان از آنها به عنوان یک ساعت بسیار دقیق استفاده نمود و بدین وسیله دوره تناوب مداری را اندازه گرفت. از آنجا که ستاره‌های نوترونی بسیار فشرده هستند انرژی قابل توجهی از آنها به صورت تابش گرانشی منتشر می‌شود.[۶۰]

اولین مشاهده کاهش در دوره تناوب مداری بر اثر انتشار امواج گرانشی توسط هالس و تیلور، با استفاده از تپ‌اختر دوتایی پی‌اس‌آر بی۱۹۱۳+۱۶ که در سال ۱۹۷۴ کشف کرده بودند، انجام شد. این نخستین آشکارسازی امواج گرانشی بود که البته غیرمستقیم بود. آن‌ها به خاطر این مشاهده در سال ۱۹۹۳ موفق به کسب جایزه نوبل فیزیک شدند.[۶۱] ازآن زمان به بعد تپ‌اخترهای دوتایی متعددی مانند پی‌اس‌آر جی۰۷۳۷–۳۰۳۹ کشف شده‌اند که در ان هردوستاره تپ‌اختر هستند.[۶۲]
حرکت تقدیمی ژئودتیک و کشش چارچوب
نوشتارهای اصلی: کشش چارچوب و اثر ژئودزیکی

شماری از آثار نسبیتی مستقیما به نسبیت جهت مربوط می‌شوند.[۶۳] یکی از آنها حرکت تقدیمی ژئودتیک است: محور جهت یک ژیروسکوپ در حال سقوط آزاد در فضازمان خمیده، وقتی که مثلا با جهت نور دریافت شده از ستاره‌های دوردست مقایسه می‌شود تغییر می‌کند–حتی با اینکه در اینجا ژیروسکوپ در واقع به عنوان نماینده روشی برای ثابت نگه داشتن جهت(انتقال موازی) درنظر گرفته شده است.[۶۴] برای سیستم ماه–زمین، این اثر با کمک محدوده بندی لیزری قمری اندازه‌گیری شده است.[۶۵] به تازگی برای جرم‌های آزمون سوار بر ماهواره حسگر گرانش بی با دقتی بهتر از۰٫۳٪ اندازه‌گیری شده است.[۶۶][notes ۲۲]

در نزدیکی یک جسم چرخنده آثاری که به نام گرانش مغناطیسی یا کشش چارچوب نامیده می‌شوند، وجود دارند. یک ناظر دور خواهد دید که اجسام نزدیک به جرم چرخنده کشیده می‌شوند. این اثر در مورد سیاهچاله‌های چرخان پررنگ تر است زیرا در آنها برای هرجسمی که وارد ناحیه‌ای به نام ارگوسفر می‌شود، چرخش اجتناب ناپذیر است.[۶۷] چنین آثاری را می‌توان با تاثیرشان بر جهت گیری ژیروسکوپ در حال سقوط، آزمود.[۶۸] آزمونهای تاحدودی بحث انگیز نیز توسط ماهواره‌های ژئودینامیک لیزری نیز پیش‌بینی‌های نسبیت را تایید می‌کنند.[۶۹] همچنین کاوش‌های نقشه‌بردار سراسر مریخ در اطراف مریخ نیز مورد استفاده قرارگرفته‌اند.[۷۰][۷۱]
کاربردهای اخترفیزیکی
همگرایی گرانشی
نوشتار اصلی: همگرایی گرانشی
صلیب اینشتین: چهار تصویر از یک جسم نجومی که بر اثر همگرایی گرانشی بوجود آمده‌اند.

شکست نور توسط گرانش مسبب رده جدیدی ازپدیده‌های اخترفیزیکی است. اگر یک جسم پرجرم بین اخترشناس و یک شی هدف در دوردست با جرم و فاصله نسبی مناسب قرار کیرد، اخترشناس چندین تصویر معوج از آن را می‌بیند. چنین آثاری را همگرایی گرانشی می‌خوانند.[notes ۲۳] بسته به پیکربندی، مقیاس و توزیع جرم، ممکن است دو تصویر یا بیشتر، یک حلقه روشن به نام حلقه اینشتین و یا چندین حلقه جزئی به نام کمان دیده شوند.[notes ۲۴] اولین نمونه همگرایی گرانشی اختروش دوقلو بود که در سال ۱۹۷۹ کشف شد.[۷۲] از آن پس بیش از صد مورد همگرایی گرانشی مشاهده شده است.[notes ۲۵] حتی اگر تصاویر ایجاد شده آنقدر به هم نزدیک باشند که قابل تشخیص نباشند نیز می‌توان این تاثیر را اندازه گرفت، مثلا روشن شدن کلی جسم دور؛ چندین نمونه از این ریزهمگرایی‌های گرانشی نیز مشاهده شده‌اند.[۷۳]

همگرایی گرانشی به صورت ابزاری برای ستاره‌شناسی رصدی درآمده است. از همگرایی گرانشی در آشکارسازی حضور و توزیع ماده تاریک، به عنوان "تلسکوپ طبیعی" برای مشاهده کهکشانهای دور و به دست آوردن تخمین مستقلی از ثابت هابل استفاده می‌کنند. ارزیابی آماری داده‌های همگرایی، بینش‌های ارزشمندی در مورد تکامل ساختاری کهکشانها عرضه می‌دارد.[۷۴]
اخترشناسی امواج گرانشی
نوشتار اصلی: امواج گرانشی
تصویر هنری از آشکارساز موج گرانشی فضایی لیسا

مشاهدات تپ‌اخترهای دوتایی شواهد غیرمستقیم محکمی برای وجود امواج گرانشی به دست می‌دهند، اما امواج گرانشی که از ژرفای کیهان به ما می‌رسند، هنوز به صورت مستقیم ردیابی نشده‌اند که البته این هدف اصلی پژوهش‌های نسبیتی کنونی است.[۷۵] تعداد زیادی از آشکارسازهای موج گرانشی واقع بر روی زمین، هم اکنون در حال کار هستند که مهمترین آنها آشکارسازهای تداخل سنجی ژئو۶۰۰، لیگو (۳ آشکارساز)، تاما ۳۰۰ و ویرگو هستند.[۷۶] آرایه‌های زمان‌سنجی تپ‌اختر مختلفی با بهره گیری از تپ‌اخترهای میلی‌ثانیه‌ای برای آشکار سازی امواج گرانشی در طیف −۹۱۰ تا ۱۰−۶ هرتز (که از سیاهچاله‌های پرجرم دوتایی سرچشمه می‌گیرند) ساخته شده‌اند.[۷۷] آشکارساز فضایی اروپایی، الیسا / ان جی اُ هم اکنون در حال ساخت است[۷۸] و یک ماموریت آزمایشی (رهیاب لیسا) برای این پروژه نیز قرار است در سال ۲۰۱۵ به فضا پرتاب شود.[۷۹]

مشاهدات امواج گرانشی نویدبخش تکمیل مشاهدات مربوط به طیف الکترومغناطیسی هستند.[۸۰] انتظار می‌رود این مشاهدات بتوانند در مورد سیاهچاله‌ها و سایر اجسام چگال مانند ستاره‌های نوترونی و کوتوله‌های سفید، انواع خاصی از انفجارهای اَبَرنواختری و همچنین فرایندهایی در جهان بسیار جوان اولیه مانند امضاهای انواع خاصی از رشته‌های کیهانی فرضی، اطلاعاتی به ما بدهند.[۸۱]
سیاهچاله‌ها و سایر اجسام پرجرم
نوشتار اصلی: سیاهچاله

هرگاه نسبت جرم یک جسم به شعاعش به اندازه کافی بزرگ شود، بنا بر پیش بینی نسبیت عام، یک سیاهچاله تشکیل می‌شود. منطقه‌ای از فضا که هیچ چیز، حتی نور نمی‌تواند ازآن بگریزد. در مدل‌های پذیرفته شده کنونی تکامل ستارگان، گمان می‌رود که حالت پایانی تکامل ستارگان بزرگ، ستاره‌های نوترونی با جرمی در حدود ۱٫۴ جرم خورشیدی و یا سیاهچاله‌های ستاره‌ای با جرمی بین چند تا چند دوجین جرم خورشیدی هستند.[۸۲] معمولاهر کهکشان در مرکز خود یک سیاهچاله پرجرم با جرمی از چند میلیون تا چند میلیارد جرم خورشیدی دارد[۸۳] و گمان می‌رود که حضور آنها نقش مهمی در شکل گیری کهکشانها و ساختارهای کیهانی بزرگ تر داشته است.[۸۴]
شبیه سازی برپایه معادلات نسبیت عام: یک ستاره در حالی که امواج گرانشی منتشر می‌کند فرو می‌ریزد (رمبش گرانشی) و به سیاهچاله تبدیل می‌شود

از دید اخترشناسی مهمترین ویژگی اجسام فشرده این است که مکانیزم بسیار کارایی برای تبدیل انرژی گرانشی به تابش الکترومغناطیسی ارائه می‌دهند.[۸۵] گمان می‌رود که برافزایش ماده، یعنی افتادن غبار یا مواد گازی به درون سیاهچاله‌های ستاره‌ای و یا سیاهچاله‌های پرجرم؛ مسبب پیدایش اجسام فوق العاده درخشنده نجومی مانند هسته‌های کهکشانی فعال در مقیاس کهکشانی و اجسام در مقیاس ستاره‌ای مانند ریزاختروش‌ها، هستند.[۸۶] به طور خاص، برافزایش ماده می‌تواند منجر به پیدایش پدیده فواره‌های نسبیتی شود؛ پرتوهای بسیار پرانرژی از ذرات با سرعت‌هایی تقریبا برابر با سرعت نور به فضا پرتاب می‌شوند.[۸۷] نسبیت عام نقشی محوری در مدلسازی این پدیده‌ها دارد[۸۸] و مشاهدات تجربی نیز مدارک مستحکمی برای وجود سیاهچاله‌ها با خصوصیات پیش بینی شده در نسبیت عام، ارائه می‌کنند.[۸۹]

سیاهچاله‌ها یکی از اهدافی هستند که در کنکاش برای آشکارسازی امواج گرانشی مورد جستجو قرار می‌گیرند. ادغام سیاهچاله‌های دوتایی می‌بایست منجر به تولید امواج گرانشی بسیار قوی شود که توسط آشکارسازها در زمین قابل دریافت باشند و از فازی که دقیقا پیش از ادغام رخ می‌دهد نیز می‌توان به عنوان یک شمع استاندارد استفاده نمود تا فاصله با محل رویداد ادغام به‌دست‌آید و بدین ترتیب می‌توان انبساط کیهانی را در فواصل بزرگ سنجید.[۹۰] امواج گرانشی تولید شده در هنگام فرو رفتن یک سیاهچاله ستاره‌ای در یک سیاهچاله پرجرم، می‌تواننداطلاعات مستقیمی در باره هندسه سیاهچاله‌های پرجرم ارائه دهند.[۹۱]
کیهان‌شناسی
این نعل اسب آبی رنگ، یک کهکشان دور است که توسط کشش گرانشی بسیار قوی کهکشان قرمز درخشان زمینه بزرگ‌نمایی شده و به صورت یک حلقه تقریبا کامل در آمده است.

مدل‌های کنونی کیهان‌شناسی برپایه‌ی آن دسته از معادلات میدان اینشتین که شامل ثابت کیهانی Λ هستند، بنا می‌شوند؛ زیرا ثابت کیهانی اثر مهمی در دینامیک بزرگ‌مقیاس کیهان دارد.

    R_{ab} - {\textstyle 1 \over 2}R\,g_{ab} + \Lambda\ g_{ab} = \kappa\, T_{ab}

که در آن gab متریک فضازمان است.[۹۲] پاسخ‌های همگن و همسانگرد این معادلات بهبودیافته (متریک فریدمان–لومتر–رابرتسون–واکر) به فیزیکدان‌ها اجازه می‌دهد که جهانی را مدل کنند که در طول ۱۴ میلیارد سال گذشته از یک حالت بسیار داغ و چگال اولیه طی مرحله مهبانگ پدید آمده و تکامل یافته‌است.[۹۳] هرگاه اندکی از پارامترها را (مثلا میانگین چگالی ماده در جهان) با استفاده از داده‌های مشاهدات اخترشناسی[notes ۲۶] ثابت نگه داریم، می‌توان از دیگر داده‌های مشاهداتی برای آزمودن مدل‌ها بهره بجوییم.[notes ۲۷] پیش‌بینی‌هایی که همه درست از آب درآمده‌اند عبارتند از: فراوانی اولیه عناصر شیمیایی که در جریان هسته زایی نخستین به‌وجود آمده‌اند،[۹۴]ساختار بزرگ‌مقیاس جهان[۹۵] و وجود ویژگی‌های یک "اکوی گرمایی" از کیهان اولیه به نام تابش زمینه کیهانی.[۹۶]

مشاهدات نجومی مربوط به نرخ انبساط کیهانی اجازه می‌دهند که کل مقدار ماده موجود در جهان را به دست آوریم، البته ماهیت این ماده تا حدودی اسرارآمیز است. به نظر می‌رسد که در حدود ۹۰٪ از کل ماده، از آنچه ماده تاریک خوانده می‌شود تشکیل شده است که جرم (یا هم ارز آن، تاثیر گرانشی) دارد اما برهمکنش الکترومغناطیسی ندارد و از این روی نمی‌توان آن را مستقیماً مشاهده نمود.[notes ۲۸] در چارچوب فیزیک ذرات و یا هرشاخه دیگری، هیچ توصیفی از این نوع جدید ماده که مورد پذیرش عموم باشد، وجود ندارد.[۹۷][notes ۲۹] علاوه بر این، شواهد تجربی از انتقال به سرخ‌های ابرنواخترهای دوردست و اندازه‌گیریهای تابش زمینه کیهانی نشان می‌دهند که تکامل جهان ما به میزان قابل توجهی متاثر از یک ثابت کیهانی است که باعث شتاب‌دار بودن انبساط کیهان می‌شود. ویا به طور معادل می‌توان گفت که تکامل جهان متاثر از شکلی از انرژی با معادله حالت غیر معمول به نام انرژی تاریک است که ماهیت آن نامعلوم است.[۹۸]

در سال ۱۹۸۰ فرضیه‌ای به نام تورم کیهانی مطرح گردید که یک دوره انبساط بسیار پرشتاب در زمان کیهانی حدود 10^{-33} ثانیه را برای جهان در نظر می‌گرفت.[۹۹]این فرضیه به این دلیل ارائه شد که توجیه کننده بسیاری از مشاهدات گیج کننده‌ای باشد که توسط مدل‌های کیهان‌شناسی کلاسیک قابل توضیح نبودند؛ مانند همگنی کامل تابش زمینه کیهانی.[notes ۳۰]اندازه‌گیری‌های جدید تابش زمینه کیهانی اولین مدرک برای این سناریو است.[۱۰۰] هرچند که تعداد بسیار متنوعی از سناریوهای تورمی ممکن موجود است که نمی‌توان بر مبنای مشاهدات کنونی آنها را محدود نمود.[۱۰۱] فیزیک جهان اولیه پیش از فاز تورمی و نزدیک به زمانی که بنا بر پیش‌بینی‌های مدلهای کلاسیک، در آن با تکینگی گرانشی مهبانگ روبه رو می‌شویم، خود پرسش بزرگتری است. یافتن یک جواب قطعی در گرو وجود یک نظریه کامل گرانش کوانتومی است که هنوز ایجاد نشده است.[۱۰۲]
مفاهیم پیشرفته
ساختار سببی و هندسه سراسری
نوشتار اصلی: ساختار سببی
دیاگرام پنروز–کارتر جهان مینکوفسکی بی نهایت.

در نسبیت عام هیچ جسم مادی نمی‌تواند به سرعت نور برسد یا از آن پیشی بگیرد. از طرفی هیچ تاثیری از رویداد A نمی‌تواند به هیچ مکان X دیگری برسد، مگر آنکه قبلا نوری از A به X رفته باشد. در نتیجه این امر، بررسی خطوط جهانی نور (ژئودزیک‌های پوچ) اطلاعات کلیدی را در مورد ساختار سببی فضازمان در اختیارمان قرار می‌دهد. این ساختار را با نمودارهای پنروز–کارتر نمایش می‌دهند که در آن نواحی بینهایت بزرگ و بازه‌های زمانی بینهایت فشرده می‌شوند تا در یک نقشه متناهی جای گیرند. اما نور همانند نمودارهای استاندارد فضازمان، در راستای قطرها حرکت می‌کند.[۱۰۳]

با آگاهی از اهمیت ساختار سببی، راجر پنروز و دیگران آنچه را که امروز هندسه سراسری خوانده می‌شود بنا نهادند. در هندسه سراسری موضوع مطالعه یک پاسخ یا خانواده‌ای از پاسخ‌ها برای معادلات اینشتین نیست بلکه یافتن روابطی است که برای تمام ژئودزیک‌ها صادق اند، مانند معادله ریچادوری؛ و فرضیات غیر مشخص اضافی در باره ماهیت ماده (معمولا در شکل آنچه شرایط انرژی خوانده می‌شود) برای تولید نتایج مورد استفاده قرار می‌گیرند.[۱۰۴]
افق‌ها
نوشتارهای اصلی: ترمودینامیک سیاهچاله، نظریه بدون مو، و افق (نسبیت عام)


با استفاده از هندسه سراسری می‌توان نشان داد که برخی از فضازمانها شامل افق هستند که یک ناحیه را از بقیه فضازمان جدا می‌کند. بهترین مثال شناخته شده سیاهچاله‌ها هستند: اگر جرم در ناحیه‌ای از فضا به اندازه کافی فشرده شود (آن گونه که در حدس حلقه مشخص شده است، مقیاس طول مرتبط، شعاع شوارتزشیلد است[۱۰۵]) هیچ نوری از داخل نمی‌تواند به بیرون بگریزد و چون هیچ جسمی نمی‌تواند از یک پالس نوری سبقت بگیرد تمام ماده داخل افق نیز در آن محبوس اند. گذر از بیرون به درون هنوز امکانپذیر است که نشان می‌دهد افق سیاهچاله یک مانع فیزیکی نیست.[۱۰۶]
کارکره یک سیاهچاله چرخان

مطالعات اولیه در زمینه سیاهچاله‌ها بر پاسخهای کامل معادلات اینشتین تکیه داشتند. مثلا می‌توان به پاسخ متقارن کروی شوارتزشیلد (برای توصیف یک سیاهچاله ایستا) و پاسخ متقارن محوری کر (برای توصیف سیاهچاله‌های ثابت چرخان و معرفی ویژگی‌های جالبی مانند کارکره) اشاره نمود. مطالعات بعدی با بهره گیری از هندسه سراسری، ویژگی‌های عمومی تری از سیاهچاله‌ها را آشکار ساخت. در دراز مدت آنها اجسام نسبتا ساده‌ای هستند که می‌توان آنها را با یازده پارامتر که مشخص کننده انرژی، تکانه خطی، تکانه زاویه‌ای، مکان در زمان مشخص شده و بار الکتریکی هستند تعریف می‌گردند. نظریه بدون مو بیان می‌کند که "سیاهچاله‌ها مو ندارند"، این عبارت کنایه از این دارد که یک سیاهچاله هیچ علامت مشخصه‌ای مانند مدل مو در انسان ندارد. با وجود پیچیدگی رمبش گرانشی یک جسم که منجر به تشکیل سیاهچاله می‌شود، سیاهچاله ایجاد شده جسم بسیار ساده‌ای است.[۱۰۷]

مجموعه عمومی از قوانین به نام مکانیک سیاهچاله‌ها موجودند که مشابه قوانین ترمودینامیک هستند. مثلا بنا بر قانون دوم مکانیک سیاهچاله‌ها، مساحت افق رویداد هرگز با زمان کاهش نمی‌یابد که قابل مقایسه با انتروپی یک سیستم ترمودینامیکی است. این موضوع میزان انرژی را که می‌توان با روشهای کلاسیک از یک سیاهچاله چرخان استخراج نمود (مثلا از راه فرایند پنروز) محدود می‌سازد.[۱۰۸] شواهد قوی در دسترس است که قوانین مکانیک سیاهچاله‌ها در حقیقت زیرمجموعه‌ای از قوانین ترمودینامیک هستند و مساحت سیاهچاله با انتروپی اش مرتبط است.[۱۰۹] این منجر به تغییراتی در قوانین اصلی مکانیک سیاهچاله‌ها می‌شود: مثلا چنانکه قانون دوم مکانیک سیاهچاله‌ها بخشی از قانون دوم ترمودینامیک می‌شود، مساحت سیاهچاله می‌تواند کاهش یابد به شرط آنکه فرایندهای دیگری اطمینان حاصل کنند که انتروپی کل افزایش می‌یابد. مانند تمام اجسام ترمودینامیکی که دمای غیر صفر دارند، سیاهچاله‌ها نیز باید تابش گرمایی داشته باشند. محاسبات نیمه‌کلاسیک نشان می‌دهند که در حقیقت سیاهچاله‌ها تابش دارند و گرانش سطحی نقش دما را در قانون پلانک به عهده دارد. این تابش را به نام تابش هاوکینگ می‌خوانند.[۱۱۰]

انواع دیگری از افق‌ها نیز موجودند. در یک جهان در حال انبساط یک ناظر ممکن است نواحی از گذشته را غیرقابل مشاهده بیابد ("افق ذره")، و همچنین بعضی از نواحی آینده را نیز نمی‌توان تحت تاثیر قرارداد (افق رویداد)[۱۱۱] حتی در فضای تخت مینکوفسکی، وقتی که از دید ناظر شتابداری توصیف شود (فضای ریندلر)، افقهایی وجود خواهند داشت که با یک تابش نیمه‌کلاسیک به نام تابش اونروه مرتبط اند.[۱۱۲]
تکینگی‌ها
نوشتار اصلی: تکینگی گرانشی

یکی از ویژگی‌های عمومی نسبیت عام پیدایش مرزهایی در فضازمان به نام تکینگی است. فضازمان را می‌توان با دنبال کردن ژئودزیک‌های زمان‌واره و نورواره اکتشاف کرد– تمام مسیرهای ممکن که نور و ذرات در سقوط آزاد می‌توانند بپیمایند. اما برخی از پاسخهای معادلات اینشتین "لبه‌های پاره پاره" دارند – نواحی‌ای که به نام تکینگی‌های فضازمان شناخته می‌شوند و در آنها مسیرهای نور و ذرات در حال سقوط به طور ناگهانی به پایان می‌رسد و هندسه تعریف نشده است. در موارد جالبتر این تکینگی‌ها، "تکینگی‌های خمش" هستند که در آنها کمیتهای هندسی که ویژگی‌های خمش فضازمان را توصیف می‌کنند (مانند کمیت نرده‌ای ریچی) مقدار بی نهایت می‌گیرند.[۱۱۳] مثال‌های شناخته شده از فضازمان‌های دارای تکینگی آینده – که در آن خطوط جهانی به پایان می‌رسند – عبارتند از پاسخ شوارتزشیلد که یک تکینگی را در درون یک سیاهچاله ایستا توصیف می‌کند،[۱۱۴] و یا پاسخ کِر که یک تکینگی حلقوی را در درون یک سیاهچاله چرخان توصیف می‌کند.[۱۱۵] پاسخ فریدمان–لومتر–رابرتسون–واکر و سایر فضازمان‌هایی که جهان‌ها را توصیف می‌کنند، تکینگی‌های گذشته دارند که در آنها خطوط جهانی آغاز می‌شوند مانند تکینگی مه بانگ. برخی تکینگی‌های آینده نیز دارند (مانند مه‌رمب).[۱۱۶]

با دانستن اینکه این مثال‌ها همه بسیار متقارن هستند کاملا وسوسه برانگیز است که نتیجه بگیریم که تکینگی مصنوع ایده‌آل گرایی است، اما نظریه‌های مشهور تکینگی که با استفاده از روشهای هندسه سراسری ثابت می‌شوند نظر دیگری دارند: تکینگی‌ها ویژگی عمومی نسبیت عام هستند و در مواردی که رمبش اجسام با ویژگی‌های مادی واقعی از حدی فراتر رود[۱۱۷] و یا در ابتدای بسیاری از جهان‌های در حال انبساط[۱۱۸] اجتناب ناپذیر هستند. اما این نظریه‌ها چیز زیادی در مورد ویژگی تکینگی‌ها بیان نمی‌کنند و بسیاری از پژوهش‌های کنونی به مشخص کردن ساختار عمومی تکینگی‌ها اختصاص یافته‌است (مانند فرضیه تکینگی بی کی ال)[۱۱۹] فرضیه سانسور کیهانی بیان می‌کند که تکینگی‌های آینده پشت یک افق پنهان شده‌اند و از دیدرس ناظر دوردست مخفی هستند. در حالی‌که هیچ اثبات رسمی برای آن اعلام نشده است شبیه سازی‌های عددی پیشنهاد بر درستی آن می‌دهند.[۱۲۰]
معادلات تکامل

هر پاسخ به معادلات اینشتین دربرگیرنده تاریخ کامل یک جهان است و حالت ماده و هندسه را در هر جایی و هر زمانی در آن جهان توصیف می‌کند. نظریه اینشتین به دلیل هموردایی عام آن، به تنهایی برای مشخص کردن تکامل زمانی تانسور متریک کافی نیست بلکه باید با یک شرط مختصات (که قابل مقایسه با تثبیت پیمانه در سایر نظریه‌های میدان است) ترکیب شود.[۱۲۱]

برای کمک در فهمیدن معادلات اینشتین به عنوان معادلات دیفرانسیل پاره‌های می‌توان آنها را به گونه‌ای فرمول‌بندی کرد که تکامل جهان در طول زمان را نشان دهند. این کار را به روش فرمول‌بندی که به نام "۳+۱" شناخته می‌شود انجام می‌دهند که در آن سه بعد فضا و یک بعد زمان وجود دارد. بهترین مثال شناخته شده صورت‌گرایی ای دی ام است.[۱۲۲] این تجزیه‌ها نشان می‌دهد که معادلات تکامل فضازمان در نسبیت عام به درستی رفتار می‌کنند: پاسخ‌ها همواره موجودند و اگر شرایط اولیه مشخص شوند به گونه منحصربه فردی تعریف می‌شوند.[۱۲۳] این‌طور فرمول‌بندی‌های معادلات اینشتین اساس نسبیت عددی را تشکیل می‌دهند.[۱۲۴]
کمیت‌های شبه محلی و سراسری

مفهوم معادلات تکامل با یکی دیگر از جنبه‌های نسبیت عام گره خورده است. در نظریه اینشتین مشخص می‌گردد که غیر ممکن است که بتوان یک تعریف عمومی برای ویژگی ظاهرا ساده‌ای مانند جرم (انرژی) کل یک سیستم ارائه داد. دلیل این امر آن است که میدان گرانشی – مانند هر میدان فیزیکی دیگری– باید به یک انرژی خاص نسبت داده شود اما ثابت شده که اساساً غیر ممکن است که بتوان آن انرژی را محلی کرد.[۱۲۵]

با این وجود هنوز راه‌هایی برای تعریف جرم کل یک سیستم وجود دارد، مثلا از طریق یک ناظر فرضی بی نهایت دور (جرم ای دی ام) و یا از طریق تقارن‌های مناسب (جرم کُمار).[۱۲۶] اگر انرژی که از طریق امواج گرانشی به بی‌نهایت منتقل می‌شود را از جرم کل سیستم کم کنیم، حاصل آن جرم بوندی در بی‌نهایت پوچ نامیده می‌شود.[۱۲۷] همانند فیزیک کلاسیک می‌توان نشان داد که این جرم‌ها مثبت هستند.[۱۲۸] تعاریف عمومی متناظری نیز برای تکانه و تکانه زاویه‌ای وجود دارند.[۱۲۹] همچنین تلاش‌هایی در زمینه تعریف کمیتهای شبه محلی صورت گرفته است، مثلا جرم یک سیستم منزوی، تنها با استفاده از کمیتهایی که در یک ناحیه متناهی از فضای دربرگیرنده آن سیستم تعریف می‌شود، فرمول‌بندی می‌گردد. امید آن می‌رود که کمیتی به‌دست‌آید که برای بیان گزاره‌های عمومی در مورد سیستمهای منزوی سودمند باشد، مانند یک فرمول‌بندی دقیقتر برای حدس حلقه[notes ۳۱]
رابطه با نظریه کوانتومی

اگر نسبیت عام را به عنوان یکی از دو ستون فیزیک نوین بدانیم، ستون دیگر نظریه کوانتومی است که پایهٔ فهمیدن ماده، از ذرات بنیادی تا فیزیک جامدات است.[notes ۳۲] اما اینکه چگونه می‌توان مفاهیم فیزیک کوانتومی را با نسبیت عام سازش داد، پرسشی است که هنوز بی پاسخ مانده است.
نظریه میدان کوانتومی در فضازمان خمیده

نظریه‌های میدان‌های کوانتومی معمولی، که پایه فیزیک ذرات بنیادی مدرن را تشکیل می‌دهند همگی در فضای تخت مینکوفسکی تعریف می‌شوند که تقریب بسیار مناسبی برای موردی است که بخواهیم رفتار ذرات میکروسکوپی را در میدان‌های گرانش ضعیف مانند میدانهای موجود در روی زمین مطالعه کنیم.[۱۳۰] برای توصیف شرایطی که در آن گرانش به اندازه‌ای نیرومند هست که بر ماده تأثیر داشته باشد اما نه تا اندازه‌ای که خود نیاز به کوانتایی سازی داشته باشد، فیزیکدانان نظریه‌های میدان کوانتومی برای فضازمان خمیده را پیشنهاد داده‌اند. این نظریه‌ها با بهره گیری از نسبیت عام، یک فضای پس زمینه خمیده را توصیف می‌کنند و نظریه میدان کوانتومی تعمیم یافته‌ای را تعریف می‌کنند که رفتار ماده کوانتومی را در آن فضازمان بررسی می‌کند.[۱۳۱] با بهره گیری از این صورت‌گرایی[notes ۳۳] می‌توان نشان داد که سیاهچاله‌ها یک طیف جسم سیاه از ذرات منتشر می‌کنند که تابش هاوکینگ نامیده می‌شود و به تبخیر سیاهچاله در گذر زمان می‌انجامد.[notes ۳۴] همانطور که به اختصار در بالا اشاره شد، این تبخیر نقش مهمی در ترمودینامیک سیاهچاله‌ها بازی می‌کند.[۱۳۲]
گرانش کوانتومی

نیاز به سازگاری بین یک توصیف کوانتومی از ماده و یک توصیف هندسی از فضا،[notes ۳۵] و همچنین بروز تکینگی‌ها (در جاهایی‌که مقیاس طول خمش میکروسکوپیک می‌شود)، از جمله دلایل نیاز به وجود یک نظریه کامل گرانش کوانتومی هستند: برای توضیح کافی در مورد ساختار داخلی سیاه‌چاله‌ها و جهان بسیار جوان نخستین، یک نظریه مورد نیاز است که در آن گرانش و هندسه فضازمان مرتبط با آن به زبان فیزیک کوانتومی بیان گردند.[۱۳۳] با وجود تلاش‌های فراوان، هنوز هیچ نظریه کامل و سازگاری برای گرانش کوانتومی به دست نیامده است. اگرچه چند نامزد بالقوه برای چنین نظریه‌ای موجود است.[۱۳۴]
تصویرسازی از یک خمینه کالابی–یائو، یکی از راه‌های فشرده سازی ابعاد اضافی که توسط نظریه ریسمان عرضه می‌شود.

تلاش‌ها برای تعمیم نظریه‌های میدان کوانتومی معمولی – که برای توصیف برهمکنش‌های بنیادی در فیزیک بنیادی کاربرد دارند –، از طریق گنجاندن گرانش در این نظریه‌ها با مشکلات جدی روبه رو شده‌اند. در انرزی‌های پایین این دیدگاه موفق است و این نظریه‌ها در این شرایط نظریه‌های میدانی موثری برای گرانش هستند.[۱۳۵] اما در انرژی‌های بالا نتایج دستیافته، مدل‌هایی هستند که فاقد هرگونه قدرت پیش بینی می‌باشند("غیرقابل بازبه‌هنجارسازی").[notes ۳۶]
گونه‌ای از شبکه اسپین ساده که در گرانش کوانتومی حلقه استفاده می‌شود.

یکی از تلاش‌ها برای غلبه بر این محدودیت‌ها نظریه ریسمان است، یک نظریه کوانتومی که در باره ذرات نقطه‌ای نیست بلکه از اجسام یک بعدی دراز بسیار ریز سخن می‌گوید.[notes ۳۷] این نظریه نوید آن را می‌دهد که می‌تواند یک توصیف یکپارچه برای همه ذرات و برهمکنش‌ها (از جمله گرانش) باشد.[notes ۳۸] بهایی که باید در این راه پرداخت شود، پذیرش ویژگی‌های غیرمعمولی مانند شش بعد اضافی برای فضا در کنار سه بعد موجود است.[۱۳۶] درخلال دوران انقلاب دوم اَبَرریسمان گمان برآن رفت که نظریه ریسمان و یک نظریه درباره یکپارچه‌سازی نسبیت عام و اَبَرتقارن به نام اَبَرگرانش،[۱۳۷] هردو بخشی از یک مدل پیشنهادی یازده–بعدی به نام نظریه اِم هستند که سرانجام یک نظریه سازگار و از نظر تعریفی یکتا از گرانش کوانتومی را ارائه خواهد داد.[۱۳۸]

دیدگاه دیگری نیز وجود دارد که از روش‌های کوانتیزه کردن کانونیک نظریه کوانتومی آغاز می‌شود. با استفاده از فرمول‌بندی مقدار اولیه نسبیت عام (به معادلات تکامل در بالا مراجعه کنید) معادله ویلر–دوئیت (نظیر معادله شرودینگر) حاصل می‌شود که متاسفانه مشخص شده که به درستی تعریف نشده است.[۱۳۹]اما با معرفی آنچه امروز به نام متغیر اَشتِکار شناخته می‌شود،[۱۴۰] این معادله به مدلی نویدبخش به نام گرانش کوانتومی حلقه منجر می‌شود. فضا با ساختاری تارعنکبوت مانند به نام شبکه اسپین نمایش داده می‌شود که در گام‌های گسسته با گذر زمان تکامل می‌یابد.[۱۴۱]

با اختلاف در اینکه کدام یک از ویژگی‌های نسبیت عام و نظریه کوانتومی بدون تغییر پذیرفته شوند و اینکه تغییرات در چه سطحی اعمال شوند، تلاش‌های متعدد مختلفی برای رسیدن که یک نظریه قابل قبول گرانش کوانتومی صورت گرفته‌اند که برخی نمونه‌های آنها مثلثی سازی دینامیکی،[۱۴۲] مجموعه‌های سببی،[۱۴۳] مدلهای توئیستر[۱۴۴] یا مدلهای کیهان‌شناسی‌های کوانتومی بر پایه انتگرال مسیر هستند.[۱۴۵]

تمام نظریه‌های نامزد همچنان مشکلات صوری و مفهومی دارند که باید برآن فایق آیند. این نظریه‌ها از این مشکل عمومی نیز برخوردارند که هنوز هیچ راهی برای آزمودن پیش‌بینی‌های گرانش کوانتومی وجود ندارد، هرچند که امید است این امر با داده‌های آینده درباره مشاهدات کیهان‌شناسی و آزمایش‌های فیزیک ذرات میسر شود.[۱۴۶]
وضعیت کنونی

نسبیت عام به عنوان نظریه‌ای بسیار موفق پدیدار شده و آزمون‌های مشخص آزمایشگاهی و مشاهداتی بسیاری را پشت سر گذارده است، اما شواهد محکمی نیز حاکی از آنند که این نظریه کامل نیست.[۱۴۷] مسئله گرانش کوانتومی و واقعیت تکینگی‌های فضازمان هنوز بدون پاسخ مانده‌اند.[notes ۳۹] شواهدی در داده‌های مشاهداتی که به عنوان گواهی برای وجود انرژی تاریک و ماده تاریک در نظر گرفته می‌شوند ممکن است در حقیقت شواهدی برای نیاز به دانشی جدید در فیزیک باشند.[notes ۴۰] حتی اگر نسبیت را همان‌گونه که هست بپذیریم، این نظریه پر از احتمالات اکتشاف بیشتر است. پژوهشگران نسبیت ریاضیاتی در جستجوی فهم ماهیت تکینگی‌ها و ویژگی‌های اصلی معادلات اینشتین هستند.[۱۴۸] و شبیه سازی‌های رایانه‌ای با قدرت روزافزون (مانند آنهایی که ادغام سیاهچاله‌ها را شبیه سازی می‌کنند) در حال اجرا هستند.[۱۴۹] رقابت‌ها برای اولین آشکارسازی مستقیم امواج گرانشی در جریان است[notes ۴۱] تا امکان آزمودن نظریه در میدان‌های گرانشی بسیار قوی تر فراهم آید.[notes ۴۲] با وجود گذشت بیش از نود سال از انتشار، نسبیت عام هنوز به عنوان زمینه‌ای فعال در پژوهش به شمار می‌رود.

هندسه نااقلیدسی

هندسه‌های نااقلیدسی از مطالعهٔ عمیق‌تر موضوع توازی در هندسهٔ اقلیدسی پیدا شده‌اند. دو نیم‌خط موازی عمود بر پاره خط PQ را در نمودار شماره ۱ در نظر بگیرد. در هندسهٔ اقلیدسی فاصلهٔ (عمودی) بین دو نیم‌خط هنگامی که به سمت راست حرکت می‌کنیم فاصلهٔ p تا Q باقی می‌مانند؛ ولی در اوایل سدهٔ نوزدهم دو هندسهٔ دیگر پیشنهاد شد. یکی هندسهٔ هذلولوی (از کلمهٔ یونانی هیپربالئین به معنی «افزایش یافتن») که در آن فاصلهٔ میان نیم‌خط‌ها افزایش می‌یابد و دیگری هندسهٔ بیضوی که در آن فاصله رفته‌رفته کم می‌شود و سرانجام نیم‌خط‌ها هم‌دیگر را می‌برند. این هندسهٔ نااقلیدسی بعدها توسط گاوس و ریمان در قالب هندسهٔ کلّی‌تری بسط داده شدند. (همین هندسهٔ کلی‌تر است که در نگرهٔ نسبیت عام اینشتاین مورد استفاده قرار گرفته‌است.)

اصل موضوع

اصل یا بُنداشت، در فلسفه، ریاضیات، منطق و فیزیک، گزاره‌ای است که بدونِ اثبات و به شکل پیش‌فرض پذیرفته می‌شود و از رویِ آن سایر گزاره‌ها استخراج می‌شوند. اصولِ موضوعه می‌توانند بدیهی نباشد، اما به‌هرحال نقطهٔ آغازِ کار است و به همین دلیل نمی‌توان آن‌ها را از هیچ گزارهٔ دیگری استخراج کرد. گزاره‌ای که از یک یا چند اصلِ دیگر استنتاج شود قضیه (theorem) نام دارد.

اصولِ موضوعه ممکن است بدیهی نباشد. اصولِ موضوعهٔ نسبیتِ خاص معمولاً به عنوانِ مثالِ اصلِ غیرِ بدیهی آورده می‌شود. در سنتِ ایرانی معمولاً اصولِ موضوعه را از اصولِ متعارفه -که بدیهی به نظر می‌آیند و ادعا می‌شود هرکس آن‌ها را می‌پذیرد- جدا می‌کنند. اگر بخواهیم این کاربرد را در انگلیسی داشته باشیم باید برایِ اصولِ موضوعه و متعارفه به ترتیب postulate و axiom را به کار ببریم.

معمولاً هنگامی که نظریه‌ای (معمولاً در فیزیک یا ریاضیات) داریم اصلِ موضوعه‌بندیِ آن بسیار لذت‌بخش و زیبا خواهد بود. این کار نشان می‌دهد که تمامِ گزاره‌هایِ آن نظریه را می‌توان با پذیرفتنِ تعدادِ بسیار اندکی اصلِ موضوع به دست آورد.

محتویات

    ۱ تاریخچه
    ۲ اصول هندسه اقلیدسی
    ۳ قانون فلسفی
    ۴ جستارهای وابسته
    ۵ پانویس
    ۶ منابع

تاریخچه

اصل‌ها و قضیه‌ها را برای نخستین بار، دانشمندان یونانی وارد دانش کردند. ارشمیدس (سده سوم پیش از میلاد) در کتاب‌های خود، بارها از «اصل» و «قضیه» استفاده کرده است. تا سرانجام اقلیدس (سده سوم پیش از میلاد) در کتابِ اصولِ خود در سیزده کتاب، اصل‌ها و قضیه‌های هندسی را منظم کرده است.

شماری از اصل‌ها را، اقلیدس پوستلا (postulate ~ خواست) نامیده است. برای نمونه، نخستین پوستلا در اصولِ اقلیدس، به این ترتیب تنظیم شده است: «کوتاه ترین فاصله بین دو نقطه خط راستی است که آنها را به هم وصل میکند.»
اصول هندسه اقلیدسی

تمامِ هندسهٔ اقلیدسی (تمامِ قضیه‌هایی که در دبیرستان می‌خوانیم، قضیهٔ فیثاغورس و غیره) از پنج اصلِ زیر استخراج می‌شوند:

    اصل اول: هر دو نقطه یک خطِ منحصربه‌فرد را مشخص می‌سازد.[۱]
    اصل دوم: هر پاره‌خط را می‌توان تا بینهایت رویِ خطِ راست امتداد داد.
    اصل سوم: با یک نقطه به عنوانِ مرکز و یک پاره‌خط به عنوانِ شعاع می‌توان یک دایره رسم نمود.
    اصل چهارم: همهٔ زوایایِ قائمه با یک دیگر قابل انطباق‌اند.[۲]
    اصل پنجم:به ازای هر خط l و نقطهٔ p غیر واقع بر آن تنها یک خط مانند m وجود دارد چنانچه از p می‌گذرد و با l موازی است.[۳]

برایِ بیانِ این اصولِ موضوعه به مفاهیمی مانندِ نقطه و خط نیاز داریم. همان‌طور که باید چند گزاره را بدونِ اثبات بپذیریم تا بقیهٔ گزاره‌ها استخراج شوند لازم است چند مفهوم را نیز بدونِ تعریف بپذیریم. به این مفاهیم «تعریف‌نشده‌ها» می‌گویند. همان‌طور که دیده می‌شود اصولِ هندسهٔ اقلیدسی، به جز اصلِ پنجم، بسیار ساده و بدیهی به نظر می‌نمایند.
قانون فلسفی

قانون گزاره‌ای منطقی است که در دستگاه فلسفی مشخصی بدیهی فرض شده است یا درستی آن اثبات شده باشد و مبنای دیگر قضایای آن دستگاه فلسفی خواهد شد.

مثلآقانون اول نیوتون می‌گوید اجسام به وضعیت حرکت یا سکون خود ادامه می‌دهند مگر اینکه به آنها نیرویی وارد شود.این بیان قانون است در دستگاه فلسفی نیوتون و مثلآ در دستگاه فلسفی ارسطو گزاره‌ای نادرست است.پس قوانین فیزیک وابستگی شدید به دستگاه فلسفی تعریف شده دارند.

در هندسه نیز قوانین هندسه نااقلیدسی با هندسه اقلیدسی در تضاد است .

امید ریاضی

در نظریه احتمالات امید ریاضی، میانگین، مقدار مورد انتظار یا ارزش مورد انتظار یک متغیر تصادفی گسسته برابر است با مجموع حاصل‌ضرب احتمال وقوع هر یک از حالات ممکن در مقدار آن حالت. در نتیجه میانگین برابر است با مقداری که بطور متوسط از یک فرایند تصادفی با بی‌نهایت تکرار انتظار می‌رود. بطور مثال برای تاس داریم:

    \mathbb{E}[X] = \frac{1}{6}\times 1 + \frac{1}{6}\times 2 + \frac{1}{6}\times 3 + \frac{1}{6}\times 4 + \frac{1}{6}\times 5 + \frac{1}{6}\times 6 = 3.5

یعنی اگر بی‌نهایت بار تاس را پرت کنیم، مقدار میانگین بدست آمده به سمت عدد ۳٫۵ میل خواهد کرد.

محتویات

    ۱ تعریف ریاضی
    ۲ ویژگی‌ها
        ۲.۱ ثابت‌ها
        ۲.۲ یکنوایی
        ۲.۳ خطی بودن
        ۲.۴ میانگین احتمال شرطی
        ۲.۵ نامساوی
    ۳ منابع

تعریف ریاضی

امید ریاضی یک متغیر تصادفی به صورت زیر تعریف می‌شود:

\mathbb{E}[X] = \int{xf_X(x)dx}

که در آن f_X(x) تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی X است. برای متغیرهای تصادفی گسسته تعریف بالا به صورت زیر بازنویسی می‌شود:

\mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^{n}{x_ip_X(x_i)}
ویژگی‌ها
ثابت‌ها

امید ریاضی یک عدد ثابت برابر با همان عدد ثابت است؛ یعنی اگر c عددی ثابت باشد، آنگاه: \operatorname{E}(c)=c .
یکنوایی

اگر برای دو متغیر تصادفی X و Y داشته باشیم X \le Y ، آنگاه با احتمال قریب به یقین داریم: \operatorname{E}(X) \le \operatorname{E}(Y).
خطی بودن

عملگر امید ریاضی خطی است یعنی برای هر دو متغیر تصادفی X و Y و هر عدد حقیقی a و b و c داریم :

    \operatorname{E}(X + c)= \operatorname{E}(X) + c\,
    \operatorname{E}(X + Y)= \operatorname{E}(X) + \operatorname{E}(Y)\,
    \operatorname{E}(aX)= a \operatorname{E}(X)\,

و یا:

    \operatorname{E}(aX + b)= a \operatorname{E}(X) + b\,
    \operatorname{E}(a X + b Y) = a \operatorname{E}(X) + b \operatorname{E}(Y)\,

میانگین احتمال شرطی
نامساوی

اگر متغیر تصادفی X همواره کوچکتر یا مساوی متغیر تصادفی Y باشد، امید ریاضی X کوچکتر یا مساوی امید ریاضی Y خواهد بود:

اگر X≤Y آنگاه [E[X]≤E[Y

در یک حالت خاص اگر Y را با |X| مقایسه کنیم، میدانیم که X≤Y و X≤Y-. پس میتوان نتیجه گرفت که [E[X] ≤ E[Y و [E[-X] ≤ E[Y. بنا به خاصیت خطی امیدریاضی داریم [E[X] ≤ E[Y-.

در نتیجه قدر مطلق امیدریاضی یک متغیر تصادفی، کوچکتر یا مساوی امیدریاضی قدر مطلق متغیر تصادفی است.

    |\operatorname{E}(X)| \leq \operatorname{E}(|X|)

تعریف متغیر تصادفی گسسته،حالت متناهی فرض کنید که متغیر تصادفی X بتواند مقدار x1با احتمال p1, مقدار x2با احتمال p2, و غیره تا مقدار xk با احتمال pk را بگیرد. پس امید انی متغیر تصادفی X به صورت زیر تعریف می شود:

    \operatorname{E}[X] = x_1p_1 + x_2p_2 + \ldots + x_kp_k \;.

چون جمع همۀ احتمالات pi برابر یک است p1 + p2 + ... + pk = 1 ( بنابر این می توان مقدار مورد انتظار را به صورت میانگین وزن دار به همراه pi’sهایی که وزن هستند دید:

    \operatorname{E}[X] = \frac{x_1p_1 + x_2p_2 + \ldots + x_kp_k}{p_1 + p_2 + \ldots + p_k} \;.

اگر همۀ جواب های xi دارای احتمال یکسان باشند (یعنی p1 = p2 = ... = pk), پس میانگین وزن دار به میانگین ساده تبدیل می شود. این شهودی است: مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی میانگین همۀ مقادیری است که می توان گرفت؛ بنابراین، این مقدار مورد انتظار، مقداری است که شما انتظار دارید روی میانگین اتفاق بیفتد. اگر جواب های xi هم احتمال نباشند، بنابراین ممکن است میانگین ساده جایگزین میانگین وزن دار (که بعضی از جواب های محتمل تر از بقیه را در نظر می گیرد) شود. ولی با این حال این شهود و کشف به همین صورت باقی می ماند: مقدار مورد انتظار X، مقداری است که انتظار می رود روی میانگین اتفاق بیفتد. مثال 1- فرض کنید X جواب یک تاس شش گوشه را نشان دهد. Xتعداد خال های روی وجه بالایی تاس بعد از پرتاب است می باشد. مقادیر ممکن برای X، 1، 2، 3، 4، 5و6 (که همگی دارای احتمال برابر 1/6 هستند) می باشند. امید Xبرابر است با:

    \operatorname{E}[X] = 1\cdot\frac16 + 2\cdot\frac16 + 3\cdot\frac16 + 4\cdot\frac16 + 5\cdot\frac16 + 6\cdot\frac16 = 3.5.

اگر تاس n بار پرتاب شود و میانگین نتایج محاسبه شوند پس با افزایش n ، میانگین به مقدار مورد انتظار همگرا خواهد بود. به این موضوع قانون قوی مقادیر بزرگ می گویند. برای مثال دنبالۀ ده تاس به صورت 2, 3, 1, 2, 5, 6, 2, 2, 2, 6 است که میانگین آنها برابر 3.1 با فاصلۀ 0.4 از مقدار مورد انتظار 3.5 می باشند.همگرایی نسبتاً پائین است. احتمالی که میانگین در بین محدودۀ 3.5 ± 0.1 افت می کند برای ده پرتاب 21.6% و برای هزار پرتاب 93.7% است. شکل که برای توضیح میانگین های دنباله های طولانی تر پرتاب ها نشان داده شده را ببینید و توجه کنید که چطور آنها به مقدار مورد انتظار 3.5 همگرا می شوند. عموماً نسبت همگرایی را می توان از طریق مثلاً نامساوی چبیشف و نظریۀ بری-اسن (Berry-Esseen theorem) به سختی کمی کرد. مثال 2- بازی رولت شامل یک توپ کوچک و یک چرخ با 38 پاکت شماره گذاری شده در اطراف لبۀ آن است. همانطور که این چرخ می چرخد، توپ به طور تصادفی به چرخش در می آید تا در یکی از این پاکت ها متوقف شود. فرض کنید متغیر تصادفی X جواب یک شرط بندی 1دلاری ( شرط مستقیم) رانشان دهد. اگر این شرط برنده شود (که با احتمال 1/38 اتفاق می افتد)، حاصل 35 دلار می شود. در غیر اینصورت بازیکن شرط را می بازد. سود مورد انتظار از این چنین شرطی به صورت زیر خواهد بود:

    \operatorname{E}[\,\text{gain from }$1\text{ bet}\,] = -$1 \cdot \frac{37}{38}\ +\ $35 \cdot \frac{1}{38} = -$0.0526.

متغیر تصادفی گسسته، حالت قابل شمارش فرض کنیدXیک متغیر تصادفی گسسته ای باشد که مقادیر x
1, x
2, ... به ترتیب با احتمالات ,p
1, p
2, ... را در خود می گیرد. پس مقدار مورد انتظار این متغیر تصادفی جمع متناهی زیر می باشد:

    \operatorname{E}[X] = \sum_{i=1}^\infty x_i\, p_i,

مشروط بر اینکه این سری مطلقاً همگرا است (که این جمع باید در صورتی متناهی باشد که ما همۀ x
i's را با مقادیر قدرمطلقشان جایگزین کنیم). اگر این سری مطقاً همگرا نباشد می گوئیم که مقدار مورد انتظار X وجود ندارد. برای مثال فرض کنید که متغیر تصادفی X شامل مقادیر 1, −2, 3, −4, ... به ترتیب با احتمالات c12, c22, c32, c42, ...,باشد که c = 6π2 یک ثابت نرمالیزه است که مطمئن می سازد که مجموع احتمالات برابر یک است. پس جمع متناهی زیر همگرا است و جمعش برابر ln(2) ≃ 0.69315. می باشد:

    \sum_{i=1}^\infty x_i\,p_i = c\,\bigg( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots \bigg)

با این حال صحیح نیست که ادعا کنیم مقدار مورد انتظار X با این مقدار برابر است در حقیقت E[X] وجود ندارد جون این سری مطلقاً همگرا نیست (سری های هارمونیک را ببیند).

متغیر تصادفی پیوسته یک متغیره اگر توزیع احتمال X در یک تابع چگالی احتمال f(x), صدق کند پس می توان مقدار مورد انتظار را به صورت زیر محاسبه کرد:

    \operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, \operatorname{d}x .

تعریف عمومی عموماً اگر Xیک متغیر تصادفی تعریف شده روی یک فضای احتمال (Ω, Σ, P), باشد پس مقدار مورد انتظار X (که به صورت E[X], <X>, X or E[X], مشخص می شود) به صورت انتگرال لبسگو تعریف می شود:

    \operatorname{E}[X] = \int_\Omega X\, \operatorname{d}P = \int_\Omega X(\omega)\, P(\operatorname{d}\omega)

وقتی که این انتگرال وجود داشته باشد، پس به صورت امید X تعریف می شود. توجه کنید که هیچ متغیر تصادفی اصلاً مقدار مورد انتظار متناهی ندارد چون ممکن نیست که این انتگرال مطلقاً همگرا باشد؛ بعلاوه برای بعضی این اصلاً تعریف نشده است (مثلاً توزیع کوشی). دو متغیر با توزیع احتمال یکسان، مقدار مورد انتظار یکسانی خواهند داشت در صورتی که این انتگرال تعریف شده باشد این موضوع مستقیماً از تعریف حالت گسسته پیروی می کند که اگر Xیک متغیر تصادفی ثابت باشد (یعنی X = b برای چند تا مقدار حقیقی ثابت b) پس مقدار مورد انتظارX نیز bخواهد بود. مقدار مورد انتظار یک تابع دلخواه X, g(X), نسبت به تابع چگالی احتمال ƒ(x) از طریق ضرب داخلی ƒ و g بدست می آید.

    \operatorname{E}(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty g(x) f(x)\, \operatorname{d}x .

بعضی مواقع به این قانون آماری ناخودآگاه می گویند. بااستفاده از نمایش ها به صورت انتگرال ریمان – استیلتجس و انتگرالگیری جزئی می توان این فرمول را به صورت زیر دوباره بیان کرد:

    \operatorname{E}(g(X)) = \int_a^\infty g(x) \, \mathrm{d} \operatorname{P}(X \le x)= g(a)+ \int_a^\infty g'(x)\operatorname{P}(X> x) \, \mathrm{d} x if \operatorname{P}(g(X) \ge g(a))=1,
    \operatorname{E}(g(X)) = \int_{-\infty}^a g(x) \, \mathrm{d} \operatorname{P}(X \le x)= g(a)- \int_{-\infty}^a g'(x)\operatorname{P}(X \le x) \, \mathrm{d} x if \operatorname{P}(g(X) \le g(a))=1.

چون در این حالت ویژه، α یک عدد حقیقی مثبت را نشان می دهد پس:

    \operatorname{E}(\left|X \right|^\alpha) = \alpha \int_{0}^{\infty} t^{\alpha -1}\operatorname{P}(\left|X \right|>t) \, \operatorname{d}t.

به ویژه برای α = 1 این به شکل زیر کاهش می یابد در صورتی که Pr[X ≥ 0] = 1, باشد (که F تابع توزیع تجمعی X است). اصطلاحات متداول

    وقتی که شخصی از قیمت مورد انتظار، ارتفاع مورد انتظار و غیره صحبت می کند یعنی اینکه مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی آن یک قیمت یا یک ارتفاع و غیره است.
    وقتی که شخصی از تعداد مورد انتظار تلاش های مورد نیاز برای موفق شدن صحبت می کند، ممکن است شخص به طور محافظه کارانه آن را به صورت نسبت معکوس احتمال موفقیت برای اینچنین تلاشی تقریب بزند(یعنی مقدار مورد انتظار توزیع هندسی).

ویژگی ها ثابت ها مقدار مورد انتظار یک ثابت مساوی باخود ثابت است یعنی اگر cیک ثابت است پس E[c] = c.

است.

یکنوایی اگر X وY متغیر های تصادفی هستند به طوریکه X ≤ Y است، پس E[X] ≤ E[Y].

خطی بودن عملگر مقدار مورد انتظار (یا عملگر امید ریاضی) E در مورد زیر خطی است:

    \operatorname{E}(X + c)= \operatorname{E}(X) + c\,
    \operatorname{E}(X + Y)= \operatorname{E}(X) + \operatorname{E}(Y)\,
    \operatorname{E}(aX)= a \operatorname{E}(X)\,

توجه داشته باشید که نتیجۀ دوم حتی اگر X از لحاظ آماری مستقل از Y نباشد، معتبر و دست است. با ترکیب نتایج حاصل از سه معادلۀ قبلی، ما می توانیم به نتیجۀ زیر برسیم:

    \operatorname{E}(aX + b)= a \operatorname{E}(X) + b\,
    \operatorname{E}(a X + b Y) = a \operatorname{E}(X) + b \operatorname{E}(Y)\,

برای هر کدام از متغیر های تصادفی Xو Y (که باید در همان فضای احتمال تعریف شوند) و هر عدد aو bنتیجۀ بالا در نظر گرفته می شود. امید ریاضی مکرر امید ریاضی برای متغیر های تصادفی گسسته برای هر کدام از متغیر های تصافی گسستۀ X, Y ما ممکن است امید ریاضی شرطی را تعریف کنیم:

    \operatorname{E}(X|Y)(y) = \operatorname{E}(X|Y=y) = \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y).

که بدین معنی است E[X|Y](y) یک تابعY است. پس امید ریاضی x در معادلۀ زیر صدق می کند:

    \operatorname{E}_Y\left[ \operatorname{E}_{X|Y=y}(x) \right]=

            =\operatorname{E} \left( \operatorname{E}(X|Y) \right)= \sum\limits_y \operatorname{E}(X|Y=y) \cdot \operatorname{P}(Y=y) \,

            =\sum\limits_y \left( \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y) \right) \cdot \operatorname{P}(Y=y)\,

            =\sum\limits_y \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y) \cdot \operatorname{P}(Y=y)\,

            =\sum\limits_y \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(Y=y|X=x) \cdot \operatorname{P}(X=x) \,

            =\sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x) \cdot \left( \sum\limits_y \operatorname{P}(Y=y|X=x) \right) \,

            =\sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x) \,

            =\operatorname{E}(X)

            =\operatorname{E}_X(x).

بنابر این معادلۀ زیر برقرار است: Sheldon M Ross. "§3.4: Computing expectations by conditioning". cited work. p. 105 ff. ISBN 0125980620. </ref>

    \operatorname{E}(X) = \operatorname{E} \left( \operatorname{E}(X|Y) \right).

یعنی:

    \operatorname{E}_X(x) = \operatorname{E}_Y\left[ \operatorname{E}_{X|Y=y}(x) \right].

طرف راست معادله به امید ریاضی مکرر اشاره دارد و گاهی اوقات قانون برج یا احتمال برج نامیده شده است. این پیش فرض در قانون کل امید ریاضی مورد توجه قرار گرفته است. امید مکرر برای متغیر های تصادفی پیوسته در مورد متغیر های پیوسته، نتایج ما کاملاً قابل قیاس هستند. تعریف امید ریاضی شرطی از نابرابری ها، تابع های چگالی و انتگرال ها استفاده می کند تا با نابرابری ها، تابع های جزئی و مجموع ها به ترتیب جایگزین کند. اما نتیجۀ اصلی هنوز برقرار است:

    \operatorname{E}(X) = \operatorname{E} \left( \operatorname{E}(X|Y) \right).

نابرابری ها اگر یک متغیر تصادفی x همیشه کمتر یا مساوی با متغیر تصادفی دیگری Y باشد، پس امید ریاضی (یامقدار مورد انتظار) کمتر یا مساوی با مقدار مورد انتظار Y است. اگر X ≤ Y, است، پس E[X] ≤ E[Y]. است. به ویژه، اگر y را با |X| منطبق کنیم، می دانیم X ≤ Yو−X ≤ Y. است. از اینرو ما می دانیم E[X] ≤ E[Y] و E[-X] ≤ E[Y]. با توجه به خطی بودن امید ریاضی ما می دانیم -E[X] ≤ E[Y] است. از اینرو، مقدار مطلق امید ریاضی یک متغیر تصادفی کمتر یا مساوی با مقدار مطلق آن است:

    |\operatorname{E}(X)| \leq \operatorname{E}(|X|)

غیر ضربی اگر تابع چگالی احتمال مشترک (یا توأم) x و y را در نظر بگیریم (مثلاً j(x,y)) پس امید ریاضی xy بدین صورت است:

    \operatorname{E}(XY)=\int\int xy \, j(x,y)\,dx\,dy.

به طور کلی، عملگر مقدار مورد انتظار ضربی نیست، یعنی E[XY] لزوماً با E[X]·E[Y] مساوی نیست. در حقیقت، مقداری که نمی‌تواند ضرب شود، را کوواریانس می نامند:

    \operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{E}(XY)-\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y).

از اینرو، این ضرب هنگامیکه Cov(X, Y) = 0 است، برقرار است، در آن کوواریانس، XوY گفته می شود نا همبسته هستند (متغیر های مستقل یک مورد مهم متغیر های نا همبسته هستند). حالا اگر X و Y مستقل هستند، پس با توجه به تعریف j(x,y) = ƒ(x)g(y) در اینجا f و g در واقع PDF های حاشیه ای برای X و Yهستند. پس:

    \begin{align} \operatorname{E}(XY) & = \int \int xy \,j(x,y)\,dx\,dy= \int\int x y f(x) g(y)\,dy\,dx \\ & = \left[\int x f(x)\,dx\right]\left[\int y g(y)\,dy\right]=\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y) \end{align}

and Cov(X, Y) = 0. مشاهده کنید که استقلال X و Y مورد نیاز است تا این معادله نوشته شود: j(x,y) = ƒ(x)g(y), و این باید دومین تساوی بالا را ثابت کند. تساوی سوم از یک کاربرد اولیه و اصلی تئوری نوبینی-تونلی پیروی می کند. ناوردایی تابعی به طور کلی، عملگر امید ریاضی و تابع های متغیر های تصادفی تبدیل نیم شوند یعنی:

    \operatorname{E}(g(X)) = \int_{\Omega} g(X)\, \operatorname{d}P \neq g(\operatorname{E}(X)),

یک نا تساوی مهم برای این موضوع نا تساوی جنسن است، که شامل مقدار های مورد انتطار تابع های محدب می شود. استفاده ها و کاربرد ها مقدار های مورد انتظار توان های Xگشتاور های Xمی نامند؛ گشتاور ها نزدیک به میانگین X در واقع مقدار های مورد انتظار توان های X − E[X] هستند. گشتاور های بعضی از متغیر های تصادفی می توانند برای تعیین توزیع هایشان از طریق تابع تولیدی گشتاوریشان استفاده شوند. برای تخمین تجربی مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی، ما به طور پیوسته مشاهدات متغیر را اندازه گیری می کنیم و میانگین حسابی نتایج را محاسبه می کنیم. اگر مقدار مورد انتظار وجود دارد، این فرایند مقدار مورد انتظار حقیقی را با یک شیوۀ غیر تعصبی و غیر طرفدارانه را تخمین می زند و ویژگی به حداقل رساندن مجموع مربع های باقی‌مانده ها دارد (جمع تفاضل های مربع بین مشاهدات و تخمین) قانون اعداد بزرگ نشان داد که تحت شرایط نسبتاً مناسب، هنگامیکه اندازۀ نمونه بزرگتر می شود واریانس این تخمین کوچکتر می شود. این ویژگی در بسیار از مصارف استفاده می شود مانند: مسائل کلی تخمین آماری و آموزش ماشین، بریا تخمین مقدار های (احتمالی) سود از طریق متود ها/روش های مونت کارلو، زیرا اکثر مقدار های (کمیت های) سود می تواند از لحاظ امید ریاضی نوشته شوند یعنی ، در اینجا تابع شاخصی برای مجموعۀ است . در مکانیک کلاسیک، مرکز جرم یک مفهوم مشابه امید ریاضی است. برای مثال، فرض کنید X یک متغیر تصادفی گسسته با مقدار های xi و احتمالات مرتبط pi است، حالا یک میلۀ بدون وزن که بر روی آن وزن ها در موقعیت های xi در طول میله قرار گرفته اند و جرم آنها pi است (که مجموع آنها یک است) نقطه که در آن میله متعادل E[X] است. مقدار های مورد انتظار می توانند همچنین برای محاسبۀ واریانس به وسیلۀ فرمول های محساباتی واریانس استفاده شوند.

    \operatorname{Var}(X)= \operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2.

یک کاربرد بسیار مهم مقدار مورد انتظار در زمینۀ مکانیک کوانتوم است. مقدار مرود انتظار یک عملگر (یا اپراتور) مکانیکی کوانتوم \hat{A} که در بردار حالت کوانتوم |\psi\rangle کار می کند، به این صورت نوشته می شود:\langle\hat{A}\rangle = \langle\psi|A|\psi\rangle. . ابهام در \hat{A} می تواند با استفاده از (\Delta A)^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2 محاسبه شود. امید ماتریس ها اگر X یک ماتریس m \times n ماتریس, باشد پس مقدار مورد انتظار ماتریس به صورت ماتریس مقادیر مورد انتظار تعریف می شود:

    \operatorname{E}(X) = \operatorname{E} \begin{pmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,n} \\ x_{2,1} & x_{2,2} & \cdots & x_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{m,1} & x_{m,2} & \cdots & x_{m,n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{E}(x_{1,1}) & \operatorname{E}(x_{1,2}) & \cdots & \operatorname{E}(x_{1,n}) \\ \operatorname{E}(x_{2,1}) & \operatorname{E}(x_{2,2}) & \cdots & \operatorname{E}(x_{2,n}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \operatorname{E}(x_{m,1}) & \operatorname{E}(x_{m,2}) & \cdots & \operatorname{E}(x_{m,n}) \end{pmatrix}.

از این در ماتریس های کوواریانس استفاده می شود فرمول ها برای حالت های ویژه توزیع گسسته ای که فقط مقادیر صحیح غیر منفی را می گیرد وقتی که یک مقدار تصادفی فقط مقادیر داخل \{0,1,2,3,...\}را می گیرد پس می توانیم از فرمول زیر برای محاسبۀ امیدش (حتی وقتی که این امید نا متناهی باشد) استفاده کنیم:

    \operatorname{E}(X)=\sum\limits_{i=1}^\infty P(X\geq i).

اثبات:

    \begin{align} \sum\limits_{i=1}^\infty P(X\geq i)&=\sum\limits_{i=1}^\infty \sum\limits_{j=i}^\infty P(X = j) \end{align}

با مبادلۀ توان مجموع همانطور که ادعا می کردیم، داریم:

    \begin{align} \sum\limits_{i=1}^\infty P(X\geq i)&=\sum\limits_{j=1}^\infty \sum\limits_{i=1}^j P(X = j)\\ &=\sum\limits_{j=1}^\infty j\, P(X = j)\\ &=\operatorname{E}(X) \end{align}

این جواب می تواند یک میانبر محاسباتی مفید باشد. برای مثال فرض کنید که ما یک سکه ای را بالا می اندازیم که احتمال عدد آمدن آن pباشد. با چند پرتاب می توان اولین خط ها (نه آنهایی که شامل خود خط هستند) را انتظار داشت؟ فرض کنید X این تعداد را نشان دهد. توجه کنید که ما فقط دنباله ها را میشماریم و خط هایی که آزمایش را پایان می دهند را نمی شماریم. ما می توانیم داشته باشیم که X = 0. امید Xرا می توان از طریق محاسبه کرد. این بدین خاطر است که تعداد پرتاب های سکه حداقل دقیقاً i هستند (در زمانی که اولین پرتاب های i دنباله ها را بدست آورده است). این امر، امید یک متغیر تصادفی را با یک توزیع نمایی منطبق می سازد. ما از این فرمول برای تصاعد هندسی استفاده کردیم: \sum_{k=1}^\infty r^k=\frac{r}{1-r}. توزیع پیوسته ای که مقادیر غیر منفی را می گیرد مثل حالت گسسته ای که قبلاً گفته شده وقتی که یک متغیر تصادفی پیوسته ای مثلX فقط مقادیر غیر منفی را می گیرد پس می توانیم از فرمول زیر برای محاسبۀ امیدش استفاده کنیم (حتی وقتی که امید نامتناهی باشد):

    \operatorname{E}(X)=\int_0^\infty P(X \ge x)\; dx

اثبات: ابتدا فرض کنید که X یک چگالی برابر f_X(x) داشته باشد. ما دو تکنیک ارائه می کنیم:

    با استفاده از انتگرال گیری جزئی (حالت ویژه ای از بخش 1.4 بالا):

    \operatorname{E}(X) = \int_0^\infty (-x)(-f_X(x))\;dx = \left[ -x(1 - F(x)) \right]_0^\infty + \int_0^\infty (1 - F(x))\;dx

و کروشۀ آن به صفر می رسد چون 1-F(x) = o(1/x) به طوری که x \to \infty.

    با استفاده از یک مبادله در مرتبۀ انتگرالگیری:

    \int_0^\infty P(X\ge x)\;dx =\int_0^\infty \int_x^\infty f_X(t)\;dt\;dx = \int_0^\infty \int_0^t f_X(t)\;dx\;dt = \int_0^\infty t f_X(t)\;dt = \operatorname{E}(X)

در حالتی که هیچ چگالی وجود نداشته باشد دیده می شود که:

    \begin{align} \operatorname{E}(X) = \int_0^\infty \int_0^x \;dt\; dF(x) = \int_0^\infty \int_t^\infty dF(x) \;dt = \int_0^\infty (1-F(t)) \;dt. \end{align}

تاریخ نظریه ی مقدارمورد انتظاردر اواسط قرن هفدهم از مطالعه مشکل معروف امتیازات منشاء گرفته است.مشکل این بود:چگونه بایدپولهای شرط بندی شده رابه طور عادلانه بین دو بازیکنی که قبل از اینکه بازی کاملاً تمام شود مجبور هستند بازی را تمام کنند،تقسیم شود؟این مشکل قرن ها مورد بحث وبررسی قرار گرفت و راه حلهاو پیشنهادات جنگجال برانگیز زیادی پیشنهاد شدند.این نظریه برای اولین بار توسط یک نجیب زاده ی فرانسوی دو مر( ( de Mere در سال 1654 به بلیز پاسکال ارائه شد. دو مر اظهار نظر کرد که این مشکل نمی‌تواند حل شود و این نشان می دهد ریاضی نمی‌تواند در دنیای واقعی استفاده شودوکمبود دارد. پاسکال ،یک ریاضیدان است،برانگیخته شد و تصمیم گرفت این مشکل را برای همیشه حل کند. اولین موضوع را از طریق نامه های معروفی با پیر دو فرمات (Pierre de fermat) در میان گذاشت. بعد زا مدت زمان کوتاهی هر دو آنها به دو راه حل مجزا رسیدند. آنها این مشکل را با دو راه حل محاسباتی متفاوت حل کردند، اما نتیجۀ آنها یکسان بود زیرا محاسبات شان بر اساس اصول پایه و اساسی یکسانی بود. این اصل پایه این بود که مقداریک یود آینده باید مستقیماً با شانس بدست آوردن آن مساوی باشد. این اصل به هر دوی آنها کاملاً طبیعی بود. آنها از اینکه به راه حل رسیده بودند بسیار خوشحال بود و از اینرو این باعض شد آنها متقاعد شوند بالاخره انی شکل را توانسته اند حل کنند. با این حال آنها یافته هایشان را منتشر نکردند. آنها تنها به تعدادی از دوستان مشترک محققانشان در پاریس اطلاع دادند. سه سال بعد در سال 1657 یک ریاضی دان آلمانی کریستیان هیگنز، که به پاریس سفر کرده بود،یک مقاله در مورد نظریۀ احتمال با نام (de ratiociniis in ludo ale) چاپ کرد. در آن مقاله هیگنز مسئله امتیازات را در نظر گرفته بود و یک راه حل بر اساس همان اصلی که پاسکال و فرمات دنبال کرده بودند پیشنهاد کرد. او همچنین نظریه امید را با اضافه کردن قوانین مربوط به چگونه محاسبه کردن امید ها در موقعیت های پیچیده تر از مسئلۀ اصلی، گسترش داد. هینگز در مقدمۀ مقاله اش نوشت: باید گفته شود که بریا بعضی مواقع، بعضی از بهترین ریاضی دانان از فرانسه قبلاً به حل آن پرداخته بودند بنابراین هیچ کس نباید افتخار ابداع این نظریه را به من نسبت دهد. این به من تعلق ندارد. اما انی دانشمندان، اگر چه هر دو یکدیگر را از طریق پرسیدن سوالات دشوار از یکدیگر در معرض آزمایش قرار داده بودند ولی روش هایشان را از هم پنهان کرده بودند.از اینرو من از همان اصول اولیه شروع کردم تا به حل این مسئله رسیدم و بدین دلیل غیر ممکن است تأئید کنم که از همان اصول آنها آغاز به کار کردم. اما در نهایت من در بسیاری از موارد بدین نتیجه رسیدم که پاسخ هایم با آنها متفاوت هستند. از اینرو هیگنز در طی سفرش به فرانسه از اظهار نظر دومر در سال 1655 مطلع شد، بعداً در سال 1656 از طریق ارتباط با کارکاوی دریافت که روش او کاملاً مهانند پاسکال است، بنابراین قبل از اینکه مقاله اش برای چاپ برود، او از ارجحیت و پیش قدمی پاسکال در این زمینه آگاه بود. پاسکال و هیگنز هیچکدام کلمۀ امید را با مفهوم امروزی استفاده نکردند. به خصوص شانس یا امید من برای بردن هر چیزی مساوی با به دست نیاوردن آن است... اگر من انتظار دارم a یا b را به دست بیاورم، شانس بدست آوردن هر کدام از آنها مساوی است، مقدار امید من (a+b)/2 است. بیش از صد سال قبل، در سال 1814 پیرسایمون لاپلاس مقالۀ خود را با عنوان "Théorie analytique des probabilités" منتشر کرد، در آنجا مفهوم مقدار مورد انتظار (یا امید ریاضی) به طور واضح توضیح داده شد. استفاده از حرف E به معنی مقدار مورد انتظار است که به نظریۀ انتخاب و شانس دابیلیو.ای وایت ورت بر میگردد این سمبل در زمانی که بریا همۀ نویسندگان انگلیسی، آلمانی و فرانسوی E به معنی انتظار شد.

میانگین همساز

در دانش آمار میانگین همساز[۱] یا میانگین هارمونیک (به انگلیسی: Harmonic mean) یا میانگین توافقی نوعی سنجش گرایش به مرکز است، و معمولاً هنگامی کاربرد دارد که محاسبهٔ میانگین نرخ‌ها اهمیت داشته باشد. این مقدار عبارت است از تعداد مقادیر بر مجموع معکوس مقادیر موجود در یک مجموعه داده‌ها.

    H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n 1/x_i}, \qquad x_i > 0 \text{ for all} i.

محتویات

    ۱ رابطه با دیگر میانگین‌ها
    ۲ کاربرد میانگین هارمونیک در فیزیک
    ۳ میانگین هارمونیک دو عدد
    ۴ رابطه میانگین و تصاعد
    ۵ جستار وابسته
    ۶ لینک‌های مرتبط
    ۷ منابع

رابطه با دیگر میانگین‌ها

میانگین هارمونیک یکی از سه میانگین فیثاغورثی است. برای تمام مجموعه‌هایی که شامل حداقل یک جفت مقدار نامساوی هستند، میانگین هارمونیک همیشه حداقل آن سه میانگین است، در حالی که میانگین حسابی همیشه بیشترین آن سه و میانگین هندسی همیشه بین آن سه‌است.
کاربرد میانگین هارمونیک در فیزیک

در موارد خاص، بخصوص مواردی که شامل نرخ‌ها و نسبت‌ها است، میانگین هارمونیک صحیح‌ترین مقدار میانگین را به ما می‌دهد. برای مثال ：اگر یک وسیله فاصلهٔ مشخصی را با سرعت x (مثلا 60 کیلومتر بر ساعت) طی کند و سپس همان فاصله را دوباره با سرعت y (مثلا 40 کیلومتر بر ساعت) طی کند، مقدار سرعت متوسط، میانگین هارمونیک x , y است (یعنی 48 کیلومتر بر ساعت)
میانگین هارمونیک دو عدد

در موارد خاص که فقط دو عدد و وجود دارند، میانگین هارمونیک می‌تواند مانند زیر نوشته شود:

    H = \frac{2 x_1 x_2}{x_1 + x_2}.


رابطه میانگین و تصاعد

مفهوم میانگین با مفهوم تصاعد بستگی نزدیک دارد.. در تصاعد حسابی ، هر جمله (به جز جمله اول و جمله آخر) میانگین حسابی دو جمله مجاور خود است. همچنین ، در تصاعد هندسی ، هر جمله (به جز جمله‌های اول و آخر) میانگین هندسی دو جمله مجاور خود است. به همین ترتیب می‌توان تصاعد همساز (یا تصاعد توافقی) را تعریف کرد. هر جمله تصاعد همساز (به جز دو جمله اول و آخر) ، میانگین همساز دو جمله مجاور خود است.

میانگین هندسی

میانگین هندسی در ریاضیات، برابر است با ریشه nاُم از حاصلضرب n متغیر. بطور مثال میانگین هندسی دو عدد ۲ و ۸ برابر است با:\sqrt{2 \cdot 8}=4

میانگین هندسی با استفاده از رابطه زیر محاسبه می‌شود.:

\bigg(\prod_{i=1}^n a_i \bigg)^{1/n} = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n}
خواص میانگین هندسی

    اگر داده‌های آماری درعددی ضرب شود میانگین هندسی هم در آن عدد ضرب می‌شود.
    میانگین هندسی داده‌های برابر خود مقدار صفت است.

از میانگین هندسی هنگامی استفاده می‌شود که هر آیتم و مورد دارای ویژگی چندگانه و متعدد است و هرکدام طیف‌های گوناگون عددی را دارا باشند. مانند نرخ رشد در حالت کلی و مانند نرخ رشد تولید، نرخ رشد جمعیت و یا نرخ رشد سود.[۱]

اگر اعداد به صورت درصد باشد یا به صورت نسبت باشد آنگاه از میانگین هندسی استفاده می‌کنیم. مثلاً اگراز نظر میزان تولید٬ سیب قرمز در استان‌های کشور به ترتیب ۲٪ و ۲۸٪ و ۴۸٪ باشد آنگاه برآورد میانگین هندسی آنها برابر ۱۳٫۳ درصد خواهد بود.

اصل عدم قطعیت

اصل عدم قطعیت (به انگلیسی: Uncertainty principle) در مکانیک کوانتومی را ورنر هایزنبرگ، فیزیکدان آلمانی، در سال ۱۹۲۶ فرمول‌بندی کرد.

در فیزیک کوانتومی، اصل عدم قطعیت هایزنبرگ، اظهار می‌دارد که جفت‌های مشخصی از خواص فیزیکی، مانند مکان و تکانه، نمی‌تواند با دقتی دلخواه معلوم گردد. به عبارت دیگر، افزایش دقت در کمیت یکی از آن خواص مترادف با کاهش دقت در کمیت خاصیت دیگر است. این عبارت به دو روش گوناگون تفسیر شده‌است. بنا بر دیدگاه هایزنبرگ، غیر ممکن است که همزمان سرعت و مکان الکترون یا هر ذرهٔ دیگری با دقت یا قطعیت دلخواه معین شود. بنا بر دیدگاه گروه دوم، که افرادی چون بالنتین در آن قرار دارند، این عبارت راجع به محدودیت دانشمندان در اندازه‌گیری کمیت‌های خاصی از سیستم نیست، بلکه امری است راجع به طبیعت و ذات خود سیستم چنان که معادلات مکانیک کوانتومی شرح می‌دهد. در مکانیک کوانتوم، یک ذره به وسیلهٔ بستهٔ موج شرح داده می‌شود. اگر اندازه‌گیری مکان ذره مد نظر باشد، طبق معادلات، ذره می‌تواند در هر مکانی که دامنهٔ موج صفر نیست، وجود داشته باشد و این به معنی عدم قطعیت مکان ذره است. برای به دست آوردن مکان دقیق ذره، این بستهٔ موج باید تا حد ممکن «فشرده» شود، که یعنی، ذره باید از تعداد زیادی موج سینوسی که به یکدیگر اضافه شده‌اند (بر روی هم جمع شده‌اند) ساخته شود. از طرف دیگر، تکانهٔ ذره متناسب با طول موج یکی از این امواج سینوسی است، اما می‌تواند هر کدام از آن‌ها باشد. بنا بر این هر چقدر که مکان ذره –به واسطهٔ جمع شدن تعداد بیشتری موج- با دقت بیشتری اندازه‌گیری شود، تکانه با دقت کمتری معین می‌شود (و بر عکس). تنها ذره‌ای که مکان دقیق دارد، ذرهٔ متمرکز در یک نقطه است، که چنین موجی طول موج نامعین دارد (و بنا بر این تکانهٔ نامعین دارد). از طرف دیگر تنها موجی که طول موج معین دارد، نوسان منظم تناوبی بی‌پایان در فضا است که هیچ مکان معینی ندارد. در نتیجه در مکانیک کوانتومی، حالتی نمی‌تواند وجود داشته باشد که ذره را با مکان و تکانه معین شرح دهد. اصل عدم قطعیت را می‌توان بر حسب عمل اندازه‌گیری، که شامل فروپاشی تابع موج نیز می‌شود، بازگویی کرد. هنگامی که مکان اندازه‌گیری می‌شود، تابع موج به یک برامدگی با پهنای بسیار کم فروپاشیده می‌شود، و تکانهٔ تابع موج کاملاً پخش می‌شود. تکانهٔ ذره به مقداری متناسب با دقتِ اندازه‌گیری مکان، در عدم قطعیت باقی می‌ماند. مقداری باقی‌ماندهٔ عدم قطعیت نمی‌تواند از حدی که اصل عدم قطعیت مشخص کرده است، کمتر شود، و مهم نیست که فرایند و تکنیک اندازه‌گیری چیست. این بدین معنی است که اصل عدم قطعیت مربوط به اثر مشاهده‌گر است. اصل عدم قطعیت کمترین مقدار ممکن در آشفتگی تکانه، در حین اندازه‌گیری مکان، و بر عکس، را معین می‌کند. بیان ریاضی اصل عدم قطعیت این است که هر حالت کوانتومی این خاصیت را دارد که ریشه متوسط مربعِ (RMS) انحرافات از مقدار متوسط مکان (موقعیت) (انحراف استاندارد توزیع X):

    \Delta X = \sqrt{\langle(X - \langle X\rangle)^2\rangle} \,

ضرب در RMS انحرافات تکانه از مقدار متوسطش (انحراف استاندارد P):

    \Delta P = \sqrt{\langle(P - \langle P \rangle)^2\rangle} \,

هیچگاه نمی‌تواند از کسر ثابتی از ثابت پلانک کوچکتر باشد:

    \Delta X \Delta P \ge {\hbar \over 2}.

هر عمل اندازه‌گیری با دقت \scriptstyle \Delta X حالت کوانتومی را تقلیل داده و منجر به افزایش انحراف استاندارد تکانه \scriptstyle \Delta P به مقداری بزرگتر از \scriptstyle \hbar/2\Delta x می‌شود.

محتویات

    ۱ تاریخچه
    ۲ اصل عدم قطعیت و اثر مشاهده‌گر
    ۳ میکروسکوپ هایزنبرگ
    ۴ واکنش‌های انتقادی
    ۵ استخراج فرمالیسم
    ۶ تعبیر فیزیکی
    ۷ منابع بیشتر
    ۸ منابع
    ۹ کتاب‌شناسی
    ۱۰ جستارهای وابسته
    ۱۱ پیوند به بیرون

تاریخچه
مکانیک کوانتوم
Qm template pic 4.svg
دوگانگی موج و ذره
آشنایی
واژه‌نامه · تاریخچه
پیش‌زمینه[نمایش]
مفاهیم بنیادی[نمایش]
آزمایش‌ها[نمایش]
فرمول‌بندی[نمایش]
معادلات[نمایش]
تفسیرها[نمایش]
عناوین پیشرفته[نمایش]
دانشمندان[نمایش]

    ن
    ب
    و

Heisenberg's Microscope 1.gif

ورنر هایزنبرگ اصل عدم قطعیت را هنگامی که بر روی مبانی ریاضی مکانیک کوانتومی در موسسهٔ نیلز بوهر در کپنهاگ مشغول بود، صورت‌بندی کرد. در سال ۱۹۲۵ میلادی، پس از انجام یک کار پیشروانه به همراه هندریک کرامرز، هایزنبرگ مکانیک ماتریسی را بنیان گذاشت، که سبب جایگزین شدن مکانیک مدرن کوانتومی به جای نظریهٔ کوانتومی قدیمی که فاقد عمومیت بود شد. فرض اصلی این بود که مفهوم حرکت کلاسیک به اندازهٔ کافی در سطح کوانتومی دقیق نیست، و الکترون‌های اتمی آن‌گونه که در فیزیک کلاسیک از مفهوم حرکت برداشت می‌شود، در مدارهای دقیقاً معین حرکت نمی‌کنند. در عوض، حرکت به شکل عجیبی پخش شده‌است: تبدیل فوریهٔ زمان تنها شامل فرکانس‌هایی است که در جهش‌های کوانتومی مشاهده می‌شود. مقاله هایزنبرگ هیچ کمیت مشاهده‌ناپذیری مانند مکان دقیق الکترون در مدار در هر زمان دلخواه را نمی‌پذیرد؛ او به نظریه‌پرداز تنها این اجازه را می‌دهد که دربارهٔ مولفه‌های تبدیل فوریهٔ حرکت حرف بزند. از آنجا که مولفه‌های فوریه در فرکانس‌های کلاسیک تعریف نشده است، نمی‌توان از آن‌ها برای ساخت و تشریح مسیر دقیق حرکت الکترون استفاده کرد؛ در نتیجه فرمالیسم نمی‌تواند پاسخ قطعی به این پرسش‌ها بدهد که الکترون دقیقاً در کجا است و یا دقیقاً چه سرعتی دارد.

برجسته‌ترین خاصیت ماتریس‌های نامتناهی هایزنبرگ برای مکان و تکانه این است که در عمل ضرب جابجایی‌ناپذیر هستند. مقدار انحراف از جابجایی‌پذیری توسط رابطهٔ جابجایی هایزنبرگ مشخص می‌گردد:

            [X,P] = X P - P X = i \hbar \,

این رابطه تعبیر شفاف و مشخصی در ابتدا نداشت. در مارس ۱۹۲۶ میلادی، هنگامی که هایزنبرگ در موسسه بوهر کار می‌کرد، متوجه شد که جابجایی‌ناپذیری اشاره به اصل عدم قطعیت دارد. و این یک تعبیر واضح از عدم جابجایی‌پذیری بود، کع بعدها سنگ بنای تعبیری شد که با نام تعبیر کپنهاگی مکانیک کوانتومی نامیده شد. هایزنبرگ نشان داد که رابطهٔ جابجایی نشان از عدم قطعیت دارد، یا به زیان بوهر حاکی از مکملیت است. هر دو کمیتی که جابجایی‌ناپذیر هستند نمی‌توانند همزمان اندازه‌گیری شوند. هر چقدر که یکی دقیق‌تر اندازه‌گیری شود، دومی نامعین‌تر خواهد بود.

می‌توان مکملیت بین مکان و تکانه را به وسیلهٔ مفهوم دوگانگی موج-ذره‌ای درک کرد. اگر ذره که به وسیلهٔ یک موج صفحه‌ای توصیف می‌شود از میان یک شکاف باریک عبور کند، مانند امواج آب که از یک کانال باریک عبور می‌کنند، ذره پراکنده می‌شود و موج آن با زوایایی مختلفی از شکاف خارج می‌شود (پراشیده می‌شود). هر چقدر که پهنای شکاف کمتر باشد، مقدار پراش بیشتر شده و عدم قطعیت تکانه به تبع آن افزایش می‌یابد.

هایزنبرگ در مقالهٔ مشهور خود در سال ۱۹۲۷ اظهارات خود را با این عبارت بیان کرد: کمترین مقداری غیرقابل اجتنابِ آشفتگی تکانه که علت آن اندازه‌گیری مکان می‌باشد؛ اما در آنجا او تعریف دقیق از عدمقطعیت‌های Δx و Δp نداد و در عوض تخمین‌های قابل قبولی در هر مورد ارائه کرد. او در سخنرانی خود در شیکاگو اصل خود را اندکی جرح و تعدیل کرد:

    (۱)

    \Delta x\Delta p\gtrsim h.
ولی کنراد بود که در سال ۱۹۲۷ اولین بار صورت مدرن رابطه را چنین ارائه کرد:

    (۲)

    \sigma_x\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}\,

که در این رابطه \scriptstyle \hbar=h/2\pi، σx و σp انحراف استاندارد (معیار) مکان و تکانه هستند. توجه شود که \sigma_x و \Delta x یکسان نیستند. در تعریف کنراد, \sigma_x و \sigma_p به وسیلهٔ تکرار اندازه‌گیری مکان ذره و تکانه ذره در سیستم به شکل یک کل و محاسبهٔ انحراف میانگین آن اندازه‌گیری‌ها حاصل می‌شود. و از این رو رابطهٔ کنراد چیزی دربارهٔ اندازه‌گیری همزمان به ما نمی‌گوید.

همچنین در این رابطه \hbar \; ثابت کاهیدهٔ پلانک(یا اچ بار) (یعنی ثابت پلانک تقسیم بر 2 \pi \;) و تقریباً برابر با = 10^{-34} J s \! است. این رابطه نشان می‌دهد که حاصلضرب خطای اندازه‌گیری در اندازه‌گیری همزمان هر یک از این دو کمیت همیشه بزرگ‌تر از یک مقدار مثبت مشخص است و هیچ گاه نمی‌تواند صفر باشد. اصل عدم قطعیت یک محدودیت بنیادی را در میزان اطلاعاتی که می‌توانیم از یک سامانهٔ فیزیکی بگیریم، بیان می‌کند.
اصل عدم قطعیت و اثر مشاهده‌گر
Heisenberg's Microscope 2.gif

اصل عدم قطعیت اغلب اوقات به این صورت بیان می‌شود: اندازه‌گیری مکان ضرورتاً تکانه ذره را آشفته می‌کند، و بر عکس.

این عبارت، اصل عدم قطعیت را به نوعی اثر مشاهده‌گر تبدیل می‌کند.

این تبیین نادرست نیست، و توسط هایزنبرگ و نیلز بوهر استفاده شده‌است. باید توجه داشت که هر دو آن‌ها، کم و بیش در چهارچوب فلسفی پوزیتیویسم منطقی می‌اندیشیدند. در این روشِ نگرش، ذات حقیقی یک سیستم فیزیکی، بدان گونه که وجود دارد، تنها با تن دادن به بهترین اندازه‌گیری ممکن تعریف می‌شود، اندازه‌گیری‌ای که الااصول قابل اجرا باشد. به عبارت دیگر، اگر یک خاصیت سیستم (الااصول) قابل اندازه‌گیری با دقتی بیشتر از یک حد معین نباشد، آنگاه این محدودیت یک محدودیتِ سیستم است و نه محدودیتِ دستگاه‌های اندازه‌گیری. پس هر گاه که آنها از آشفتگی غیرقابل اجتناب در هر اندازه‌گیری قابل تصور حرف می‌زدند، منظورشان آشکارا، عدم قطعیت ذاتی سیستم بود و نه عدم قطعیت ابزارها و وسایل اندازه‌گیری.

امروزه پوزیتویسم منطقی در بسیازی از موارد از رونق افتاده است، و از همین رو تبیین اصل عدم قطعیت بر حسب اثر مشاهده‌گر می‌تواند گمراه‌کننده باشد. برای یک شخص که به پوزیتویسم منطقی اعتقاد ندارد، آشفتگی خاصیت ذاتی یک ذره نیست، بلکه مشخصهٔ فرایند اندازه‌گیری است، نزد چنین فردی ذره به صورت نهانی دارای تکانه و مکان دقیقی است اما ما به دلیل نداشتن ابزارهای مناسب نمی‌توانیم آن کمیت‌ها را به دست بیاوریم. چنین تعبیری قابل قبول در مکانیک کوانتوم استاندارد نیست. در مکانیک کوانتوم، حالت‌هایی که در آن سیستم دارای تکانه و مکان معین باشد، اصلاً وجود ندارد.

تبیین اثر مشاهده‌گر می‌تواند به طریق دیگری هم موجب گمراهی شود، چرا که برخی اوقات خطا در اندازه‌گیری ذره سبب ایجاد آشفتگی می‌شود. مثلاً اگر یک فیلم عکاسی بی عیب و نقص که یک سوراخ ریز در وسط آن قرار دارد را برای آشکارسازی فوتون استفاده کنیم، و فوتون تصادفاً از درون آن سوراخ عبور کند، با اینکه هیچ مشاهدهٔ مستقیمی از مکان ذره انجام نشده است، اما تکانه آن نامعین خواهد شد. که این استدلال از دیدگاه کپنهاگی نادرست است، چرا که عبور ذره از میان سوراخ، سبب تعین مکان شده و طبق اصل عدم قطعیت در آن هنگام تکانه نامتعین است. همچنین ممکن است استدلال شود که، پس از عبور فوتون از سوراخ اگر تکانه را اندازه بگیریم، می‌توانیم به تکانه ذره هنگام عبور از سوراخ پی ببریم، و در این حالت هم تکانه و هم مکان ذره را با دقت نامحدود اندازه گرفته ایم. پاسخ صریح هایزنبرگ به چنین استدلالی این است که در اگر تکانه دقیقاً در لحظه عبور از سوراخ اندازه‌گیری نشود، اصلاً تعین نداشته است، و اندازه‌گیری در آینده چیزی از واقعیتی که گذشته‌است را معین نمی‌کند. تبیین مذکور به طریق دیگری هم می‌تواند موجب گمراهی شود. به دلیل سرشت ناموضعِ حالت‌های کوانتومی، دو ذره که در هم تنیده شده‌اند را می‌تواند از هم جدا کرد و اندازه‌گیری را در فقط بر روی یکی از آن دو انجام داد. این اندازه‌گیری هیچ آشفتیگی‌ای به معنای کلاسیکی‌اش در ذرهٔ دیگر ایجاد نمی‌کند، اما می‌تواند اطلاعاتی دربارهٔ آن آشکار سازد. و بدین طریق می‌تواند مقدار مکان و تکانه را با دقت نامحدود اندازه‌گیری کرد.

بر خلاف سایر مثال‌ها، اندازه‌گیری به این طریق هرگز سبب تغییر توزیع مقدار مکان یا تکانه کل نمی‌شود. توزیع تنها هنگامی تغییر می‌کند که نتایج اندازه‌گیری از راه دور معلوم شود. اندازه‌گیری از راه دور مخفیانه (به طوری که ذرهٔ دیگر آگاه نشود)، هیچ اثری بر توزیع تکانه یا مکان ندارد. اما اندازه‌گیری از راه دورِ تکانه می‌تواند اطلاعاتی را آشکار کند که سبب فروپاشی تابع موج کل می‌شود. این امر سبب محدود شدن توزیع مکان و تکانه می‌شود، وقتی که اطلاعات کلاسیک (نزد ذرهٔ دیگر) آشکار شده و (به آن) انتقال می‌یابد.

برای مثال اگر دو فوتون در دو راستای مخالف هم بر اثر فروپاشی یک پوزیترون تابیده شوند، تکانه‌های دو فوتون خلاف جهت هم خواهد بود. با اندازه‌گیری تکانهٔ یک ذره، تکانهٔ دیگری معین می‌شود، و سبب می‌شود که توزیع تکانهٔ آن دقیق‌تر شود، و مکان آن را در عدم تعین رها خواهد کرد. اما بر خلاف اندازه‌گیری موضعی (از نزدیک) این فرایند هرگز نمی‌تواند عدم قطعیت بیشتری در مکان ذرهٔ دوم، بیش از آن که قبلاً وجود داشته ایجاد نماید. تنها این امکان وجود دارد که عدم قطعیت را به طرق مختلف محدود کرد، که بستگی به خاصیتی دارد که شما برای اندازه‌گیری ذرهٔ دور انتخاب می‌کنید. با محدود کردن عدم قطعیت در p به مقادیر بسیار کوچک، عدم قطعیتِ باقی‌مانده در x همچنان بزرگ خواهد بود. (به واقع، این مثال پایهٔ بحث آلبرت انیشتین در مقالهٔ پارادکس EPR در سال ۱۹۳۵ بود). هایزنبرگ صرفاً بر ریاضیاتِ مکانیک کوانتوم تمرکز نکرد، و اساساً این دغدغه را داشت که پایه‌گذار این باور باشد که عدم قطعیت یک مشخصهٔ واقعی جهان است. برای این کار، او استدلالات فیزیکی خود را بر اساس وجود کوانتا، و نه کل فرمالیسم مکانیک کوانتومی طرح‌ریزی کرد. او صرفاً به فرمالیسم ریاضی بسنده نکرد و از آن برای توجیه چیزی استفاده نکرد، چرا که این خود فرمالیسم بود که نیاز به توجیه داشت.
میکروسکوپ هایزنبرگ
میکروسکوپ اشعه گامای هایزنبرگ برای تعیین موقعیت الکترون (با رنگ آبی نشان داده شده‌است. اشعه گامای ورودی (به رنگ سبز نشان داده شده‌است) پس از برخورد با الکترون به سمت روزنه دید میکروسکوپ با زاویهٔ θ منحرف می‌شود. اشعه گامای منحرف شده به رنگ قرمز نشان داده شده‌است. بر اساس اپتیک کلاسیک عدم قطعیت در تعین مکان الکترون به زاویهٔ θ و طول موج اشعه گاما λ بستگی دارد.

یکی از روش‌هایی که هایزنبرگ برای اصل عدم قطعیت استدلال کرد طرح یک میکروسکوپ ذهنی بود که به عنوان یک وسیلهٔ اندازه‌گیری از آن استفاده می‌شد. او یک آزمایش را تصور کرد که در آن سعی داشت مکان و تکانه یک الکترون را به وسیلهٔ شلیک یک فوتون به آن اندازه‌گیری نماید. اگر فوتون طول موج کوتاهی داشته باشد، و به همین دلیل تکانه آن بالا باشد، مکان الکترون را می‌توان دقیقاً اندازه‌گیری کرد. اما فوتون پس از برخورد در راستایی تصادفی منحرف خواهد شد و مقدار نامعین و بزرگی تکانه به الکترون منتقل خواهد کرد. اگر فوتون طول موج بزرگی داشته باشد و تکانه آن کم باشد، برخورد نمی‌تواند تکانه الکترون را چندان آشفته نماید، اما با انحراف چنین فوتونی مکان الکترون نیز به دقت معین نخواهد شد.

این رابطهٔ الاکلنگی نشان می‌دهد که مهم نیست طول موج فوتون چقدر باشد، هر چه که باشد حاصل ضرب عدم قطعیت در اندازه‌گیری مکان و تکانه بزرگتر یا برابر با یک حد معین خواهد بود، که برابر کسری از ثابت پلانگ است.
واکنش‌های انتقادی

تعبیر کپنهاگی مکانیک کوانتوم و اصل عدم قطعیت هایزنبرگ در واقع هدف‌های دو قلویی بودند که آماج حملات معتقدان به واقع‌گرایی (رئالیسم) و موجبیت (دترمینیسم) قرار گرفتند. در تعبیر کپنهاگی مکانیک کوانتومی هیچ واقعیت بنبادینی که حالت کوانتومی تشریح کند وجود ندارد، بلکه تنها دستورالعملی است که نتایج تجربی را محاسبه می‌کند. راهی وجود ندارد تا گفته شود حالت بنیادین سیستم چگونه است، تنها می‌توان گفت که نتایج مشاهدات چطور خواهد بود.

آلبرت اینشتین اعتقاد داشت که تصادفی بودن حاصل جهل ما از برخی ویژگی‌های بنیادی واقعیت است، در حال که نیلز بوهر باور داشت که توزیع‌های احتمالی بنیادین و غیرقابل تقلیل بوده و به اندازه‌گیری‌ای که انتخاب می‌کنیم تا انجام دهیم وابسته‌است. اینشتین و بوهر سالها بر سر اصل عدم قطعیت مباحثه و مجادله می‌کردند. در این راستا اینشتین سه آزمایش ذهنی مطرح نمود تا اصل عدم قطعیت را به چالش بکشاند. اولین و دومین آزمایش به ترتیب شکاف و جعبه اینشتین نام گرفتند که توسط نیلز بوهر به سرعت پاسخ داده شد. سومین آزمایش فکری که در مقاله معروف EPR به چاپ رسید، چالش بزرگتری برای نیلز بوهر بود. نیلز بوهر در پاسخ به آزمایش سوم سعی کرد با رد کردن مبانی فکری اینشتین دربارهٔ موضعیت و واقعیت فیزیکی، اصل عدم قطعیت را همچنان حفظ کند. پس از پاسخ نیلز بوهر که انتشار آن حدود شش ماه پس از پارادکس EPR به انجام رسید، عملاً صف‌بندی بین طرفداران تعبیر کپنهاگی و تعبیر واقع‌انگارانه مکانیک کوانتومی آشکار شد. پس از این موضوع، ایدهٔ متغیرهای نهان برای نجات موجبیت و واقعیت فیزیک توسط طرفداران واقع‌انگاری طرح شد. هر چند که مسئله EPR و متغیرهای نهاد به نظر طرفداران تعبیر کپنهاگی، که تعبیر غالب (ارتدکس) بود حل شده بود، اما قضاوت نهایی دربارهٔ مسئله، پس از طرح نامساوی توسط جان بل در سال ۱۹۶۴ و انجام آزمایش‌های مربوطه مقدور گردید.
استخراج فرمالیسم

هنگامی که عملگرهای خطی A و B بر روی یک تابع مانند \psi(x) عمل می‌کنند، عملیات همیشه جابجایی‌پذیر نیست. یک مثال واضح در این مورد وقتی است که عملگر B (تابع را) در x ضرب می‌کند، و عملگر A (از تابع) نسبت به x مشتق می‌گیرد:

        (AB - BA) \psi = {d\over dx} ( x \psi) - x {d\over dx} \psi = \psi

که به زبان عملگرها یعنی:

        {d\over dx} x - x {d\over dx} = 1

این مثال به جهت اینکه نزدیکی زیادی با رابطهٔ جابجایی در مکانیک کوانتومی دارد از اهمیت فراوانی برخوردار است. در آنجا، عملگر مکان تابع موج را در x ضرب کرده، در حالی که عملگر متناظر با تکانه مشتق گرفته و در \scriptstyle -i\hbar ضرب می‌کند، بنا بر این:

        [p,x] = p x - x p = -i\hbar \left( {d\over dx} x - x {d\over dx} \right) = - i \hbar

این جابجاگر غیر صفر است که دلالت بر عدم قطعیت دارد. برای هر عملگری مانند A و B:

        \|A|\psi\rangle\|^2 \|B|\psi\rangle\|^2 = \langle\psi|A^\dagger A|\psi\rangle\langle\psi|B^\dagger B|\psi\rangle \ge |(\langle\psi|A)(B|\psi\rangle)|^2

که بیانی از نابرابری کوشی-شوارتز برای ضرب داخلی دو بردار \scriptstyle A|\psi\rangle و \scriptstyle B|\psi\rangle است. مقدار مورد انتظار از حاصل ضرب AB بزرگتر از اندازهٔ بخش موهومی اش می‌باشد:

        |\langle\psi|AB|\psi\rangle |^2 \ge {\left\vert{1\over 2i} \langle\psi|AB - BA |\psi\rangle\right\vert}^2

و با قرار دادن هر دو نامساوی در عملگر هرمیتاین به رابطهٔ روبرستون-شرویدینگر می‌رسیم:

        \langle A^2 \rangle \langle B^2 \rangle \ge {1\over 4} |\langle [A,B]\rangle|^2

که اصل عدم قطعیت یکی از موارد خاص آن است.
تعبیر فیزیکی

نامساوی بالا تعبیر فیزیکی خود را خواهد داشت:

    \Delta_{\psi} A \, \Delta_{\psi} B \ge \frac{1}{2} \left|\left\langle\left[{A},{B}\right]\right\rangle_\psi\right|

که در آن

    \left\langle X \right\rangle_\psi = \left\langle \psi | X | \psi \right\rangle

برابر متوسط کمیت قابل مشاهدهٔ X در حالت سیستم ψ است و

    \Delta_{\psi} X = \sqrt{\langle {X}^2\rangle_\psi - \langle {X}\rangle_\psi ^2}

انحراف استانداردِ کمیت مشاهده‌پذیر X در حالت سیستم ψ است. با جانشین کردن A - \lang A\rang_\psi به جای A و B - \lang B\rang_\psi به جای B در نامعادلهٔ عمومی عملگر نُرم، از آن‌جا که بخش موهومی ضرب، جابجاگر، با این جانشینی بدون تغییر باقی می‌ماند:

        [A - \lang A\rang, B - \lang B\rang] = [ A , B ].

سمت بزرگ نامعادله برابر حاصل ضرب نرم‌های A-\lang A\rang و B-\lang B\rang است، که در مکانیک کوانتومی انحراف استاندارد A و B می‌باشد. سمت کوچک نامعادله نیز نرمِ جابجاگر است، که برای مکان و تکانه دقیقاً برابر \scriptstyle \hbar می‌باشد.
منابع بیشتر

ویدیوهای آموزشی اصل عدم قطعیت هایزنبرگ در کلاس درس: http://kelasedars.org/?p=1132
منابع
کتاب‌شناسی

    Beller, M. (۱۹۹۹) Quantum Dialogue (Chicago: University of Chicago Press).
    Bohr, N. (۱۹۲۸) ‘The Quantum postulate and the recent development of atomic theory’ Nature (Supplement) ۱۲۱ ۵۸۰-۵۹۰. Also in (Bohr, ۱۹۳۴), (Wheeler and Zurek, ۱۹۸۳), and in (Bohr, ۱۹۸۵).
    Bohr, N. (۱۹۲۹) ‘Introductory survey’ in (Bohr, ۱۹۳۴), pp. ۱-۲۴.
    Bohr, N. (۱۹۳۴) Atomic Theory and the Description of Nature (Cambridge: Cambridge University Press). Reissued in ۱۹۶۱. Appeared also as Volume I of The Philosophical Writings of Niels Bohr (Woodbridge Connecticut: Ox Bow Press, ۱۹۸۷).
    Bohr, N. (۱۹۳۷) ‘Causality and complementarity’ Philosophy of Science ۴ ۲۸۹-۲۹۸.
    Bohr, N. (۱۹۳۹) ‘The causality problem in atomic physics’ in New Theories in Physics (Paris: International Institute of Intellectual Co-operation.
    Bohr, N. (۱۹۳۹) ‘The causality problem in atomic physics’ in New Theories in Physics (Paris: International Institute of Intellectual Co-operation). Also in (Bohr, ۱۹۹۶), pp. ۳۰۳-۳۲۲.
    Bohr, N. (۱۹۴۸) ‘On the notions of causality and complementarity’ Dialectica ۲ ۳۱۲-۳۱۹. Also in (Bohr, ۱۹۹۶) pp. ۳۳۰-۳۳۷.
    Bohr, N. (۱۹۴۹) ‘Discussion with Einstein on epistemological problems in atomic physics’ In Albert Einstein: philosopher-scientist. The library of living philosophers Vol. VII, P.A. Schilpp (ed.), (La Salle: Open Court) pp. ۲۰۱-۲۴۱.
    Bohr, N. (۱۹۸۵) Collected Works Volume ۶, J. Kalckar (ed.) (Amsterdam: North-Holland).
    Bohr, N.(۱۹۹۶) Collected Works Volume ۷, J. Kalckar (ed.) (Amsterdam: North-Holland).
    Condon, E.U. (۱۹۲۹) ‘Remarks on uncertainty principles’ Science ۶۹ ۵۷۳-۵۷۴.
    Eddington, A. (۱۹۲۸) The Nature of the Physical World, (Cambridge: Cambridge University Press).
    Einstein, A. (۱۹۱۹) ‘My Theory’, The London Times, November ۲۸, p. ۱۳. Reprinted as ‘What is the theory of relativity?’ in Ideas and Opinions (New York: Crown Publishers, ۱۹۵۴) pp. ۲۲۷-۲۳۲.
    Heisenberg, W. (۱۹۲۵) ‘Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen’ Zeitschrift für Physik ۳۳ ۸۷۹-۸۹۳.
    Heisenberg, W. (۱۹۲۶) ‘Quantenmechanik’ Die Naturwissenschaften ۱۴ ۸۹۹-۸۹۴.
    Heisenberg, W. (۱۹۲۷) ‘Ueber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik and Mechanik’ Zeitschrift für Physik ۴۳ ۱۷۲-۱۹۸. English translation in (Wheeler and Zurek, ۱۹۸۳), pp. ۶۲-۸۴.
    Heisenberg, W. (۱۹۲۷) ‘Ueber die Grundprincipien der "Quantenmechanik" ‘ Forschungen und Fortschritte ۳ ۸۳.
    Heisenberg, W. (۱۹۲۸) ‘Erkenntnistheoretische Probleme der modernen Physik’ in (Heisenberg, ۱۹۸۴), pp. ۲۲-۲۸.
    Heisenberg W. (۱۹۳۰) Die Physikalischen Prinzipien der Quantenmechanik (Leipzig: Hirzel). English translation The Physical Principles of Quantum Theory (Chicago: University of Chicago Press, ۱۹۳۰).
    Heisenberg, W. (۱۹۳۱) ‘Die Rolle der Unbestimmtheitsrelationen in der modernen Physik’ Monatshefte für Mathematik und Physik ۳۸ ۳۶۵-۳۷۲.
    Heisenberg, W. (۱۹۵۸) Physics and Philosophy (New York: Harper).
    Heisenberg, W. (۱۹۶۹) Der Teil und das Ganze (München : Piper).
    Heisenberg, W. (۱۹۷۵) ‘Bemerkungen über die Entstehung der Unbestimmtheitsrelation’ Physikalische Blätter ۳۱ ۱۹۳-۱۹۶. English translation in (Price and Chissick, ۱۹۷۷).
    Heisenberg W. (۱۹۸۴) Gesammelte Werke Volume C۱, W. Blum, H.-P. Dürr and H. Rechenberg (eds) (München: Piper).
    Hilgevoord, J. and Uffink, J. (۱۹۸۸) ‘The mathematical expression of the uncertainty principle’ in Microphysical Reality and Quantum Description, A. van der Merwe et al. (eds.), (Dordrecht: Kluwer) pp. ۹۱-۱۱۴.
    Jammer, M. (۱۹۷۴) The Philosophy of Quantum Mechanics (New York: Wiley).
    Jordan, P. (۱۹۲۷) ‘Über eine neue Begründung der Quantenmechanik II’ Zeitschrift für Physik ۴۴ ۱-۲۵.
    Kaiser, H., Werner, S.A., and George, E.A. (۱۹۸۳) ‘Direct measurement of the longitudinal coherence length of a thermal neutron beam’ Physical Review Letters ۵۰ ۵۶۰.
    Kennard E.H. (۱۹۲۷) ‘Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen’ Zeitschrift für Physik, ۴۴ ۳۲۶-۳۵۲.
    Miller, A.I. (۱۹۸۲) ‘Redefining Anschaulichkeit’ in: A. Shimony and H.Feshbach (eds) Physics as Natural Philosophy (Cambridge Mass.: MIT Press).
    Murdoch, D. (۱۹۸۷) Niels Bohr's Philosophy of Physics (Cambridge: Cambridge University Press).
    Pauli, W. (۱۹۷۹) Wissentschaftlicher Briefwechsel mit Bohr, Einstein, Heisenberg u.a. Volume ۱ (۱۹۱۹-۱۹۲۹) A. Hermann, K. von Meyenn and V.F. Weiskopf (eds) (Berlin: Springer).
    Popper, K. (۱۹۶۷) ‘Quantum mechanics without "the observer"’ in M. Bunge (ed.) Quantum Theory and Reality (Berlin: Springer).
    Price, W.C. and Chissick, S.S (eds) (۱۹۷۷) The Uncertainty Principle and the Foundations of Quantum Mechanics, (New York: Wiley).
    Robertson, H.P. (۱۹۲۹) ‘The uncertainty principle’ Physical Review ۳۴ ۵۷۳-۵۷۴. Reprinted in Wheeler and Zurek (۱۹۸۳) pp. ۱۲۷-۱۲۸.
    Schrödinger, E. (۱۹۳۰) ‘Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip’ Berliner Berichte ۲۹۶-۳۰۳.
    Wheeler, J.A. and Zurek, W.H. (eds) (۱۹۸۳) Quantum Theory and Measurement (Princeton NJ: Princeton University Press).

نظریه احتمالات

نظریهٔ احتمالات مطالعهٔ رویدادهای احتمالی از دیدگاه ریاضیات است. بعبارت دیگر، نظریه احتمالات به شاخه‌ای از ریاضیات گویند که با تحلیل وقایع تصادفی سروکار دارد.[۱] هسته تئوری احتمالات را متغیرهای تصادفی و فرآیندهای تصادفی و پیشامدها تشکیل می‌دهند. تئوری احتمالات علاوه بر توضیح پدیده‌های تصادفی به بررسی پدیده‌هایی می‌پردازد که لزوما تصادفی نیستند ولی با تکرار زیاد دفعات آزمایش نتایج از الگویی مشخص پیروی می‌کنند، مثلاً در آزمایش پرتاب سکه یا تاس با تکرار آزمایش می‌توانیم احتمال وقوع پدیده‌های مختلف را حدس بزنیم و مورد بررسی قرار دهیم. نتیجه بررسی این الگوها قانون اعداد بزرگ و قضیه حد مرکزی است.[۲]

محتویات

    ۱ پیشینه
    ۲ مفهوم
    ۳ آزمایش تصادفی
    ۴ فضای نمونه
    ۵ کاربرد احتمال در زندگی
    ۶ نقد ها
        ۶.۱ تصمیم گیری یا عدم تصمیم گیری
        ۶.۲ عدم وجود تصادف
    ۷ منبع
    ۸ پانویس
    ۹ جستارهای وابسته
    ۱۰ منابعی برای مطالعهٔ بیشتر
    ۱۱ پیوندهای بیرونی

پیشینه

نخستین کتاب‌ها را دو دانشمند ایتالیایی درباره بازی با تاس نوشتند: جه رولاموکاردان و گالیلئو گالیله. بااین همه باید آغاز بحث دقیق درباره احتمال را سده هفدهم و با کارهای بلز پاسکال و پی‌یر فرما، ریاضیدانان فرانسوی و کریستین هویگنس هلندی دانست. پاسکال و فرما کتابی در این باره ننوشتند و تنها در نامه‌های خود به دیگران درباره کاربرد آنالیز ترکیبی در مساله‌های مربوط به شانس صحبت کرده‌اند، ولی هویگنس کتابی با نام بازی با تاس نوشت که اگر چه با کتاب کاردان هم نام است ولی از نظر تحلیل علمی در سطح بسیار بالاتری است. کار آنان توسط یاکوب برنولی و دموآور در قرن هجدهم میلادی ادامه یافت، برنولی کتاب روش حدس زدن را نوشت و قانون عددهای بزرگ را کشف کرد. مساله معروف سوزن نیز در اواسط همین قرن توسط کنت دو بوفون مطرح و حل شد. در سده هجدهم و ابتدای سده نوزدهم نظریه احتمال در دانش‌های طبیعی و صنعت به طور جدی کاربرد پیدا کرد. در این دوره نخستین قضیه‌های نظریه احتمال یعنی قضایای لاپلاس، پواسون، لژاندر و گاوس ثابت شد. در نیمه دوم سده نوزدهم دانشمندان روسی تاثیر زیادی در پیشرفت نظریه احتمال داشتند، چبیشف و شاگردانش، لیاپونوف و مارکوف یک رشته از مساله‌های کلی نظریه احتمال را حل کردند و قضایای برنولی و لاپلاس را تعمیم دادند. در آغاز قرن بیستم متخصصان کارهای قبلی را منظم نموده و ساختمان اصول موضوعه احتمال را بنا نمودند. در این دوره دانشمندان زیادی روی نظریه احتمال کار کردند: در فرانسه، بورل، له‌وی و فره‌شه؛ در آلمان، میزس؛ در آمریکا، وینر، فه لر و دوب؛ در سوئد، کرامر؛ در شوروی، خین چین، سلوتسکی، رومانوسکی، سمپرنوف، گنه دنکو اما درخشان‌ترین نام در این عرصه کولموگروف روسی است که اصول موضوع احتمال را در کتابی به نام مبانی تئوری احتمال در آلمان منتشر کرد.
مفهوم

مفهوم احتمال در مورد ارتباط یا پیوند دو متغیر به کار می‌رود، به این معنی که ارتباط یا پیوند آنها به صورتی است که حضور، شکل، وسعت و اهمیت هر یک وابسته به حضور، شکل، و اهمیت دیگری است. این مفهوم به صورت محدودتر و در مورد ارتباط دو متغیر کمّی نیز به‌کار برده می‌شود.[۳]

ریاضی‌دانان عددی بین صفر و یک را به عنوان احتمال یک رویداد تصادفی به آن نسبت می‌دهند. رویدادی که حتماً رخ دهد، احتمالش یک است و رویدادی که احتمالش صفر است، در واقع احتمال وقوع ندارد. باید توجه داشت که در تعریف دقیق ریاضی، میان احتمال و امکان تفاوت می‌گذارند. یعنی احتمال وقوع یک امر ممکن می‌تواند صفر باشد. مثلاً احتمال اینکه طول یک پاره‌خط دقیقاً ۳٫۱ سانتیمتر باشد (اندازه‌گیری شده با هر ابزاری با هر میزان دقت) صفر است. چون بین ۳٫۲ و ۳٫۰ بی‌نهایت عدد وجود دارد ولی از لحاظ منطقی ممکن است که طول پاره‌خطی ۳٫۱ سانتیمتر باشد.</ref>. احتمال شیر آوردن در پرتاب یک سکه سالم \frac {1} {2} است، همانطور که احتمال خط آوردن هم \frac {1} {2} است. احتمال این‌که پس از انداختن یک تاس سالم شش بیاوریم \frac {1} {6} است.

به زبان سادهٔ ریاضی احتمال، نسبت تعداد اعضای مجموعهٔ پیشامدهای دلخواه به تعداد اعضای مجموعهٔ تمام پیشامدهای ممکن است. مثلاً در مورد تاس، برای محاسبهٔ احتمال آوردن عددی زوج، مجموعهٔ پیشامدهای ممکن هست: {۱٫۲٫۳٫۴٫۵٫۶} و مجموعهٔ پیشامدهای دلخواه هست: {۲٫۴٫۶}. تعداد اعضای مجموعهٔ دلخواه هست ۳ و تعداد اعضای مجموعهٔ پیشامدهای ممکن هست ۶. پس احتمال هست: \frac {3}{6}=0.5

جمع احتمال رخ دادن یک رویداد با احتمال رخ ندادن رویداد مکمل آن، عدد یک می‌شود. مثلاً در تاس ریختن جمع «احتمال آوردن شش» (که \frac {1} {6} است) با «احتمال نیاوردن شش» (که \frac {5} {6} است) می‌شود یک.
آزمایش تصادفی

به آزمایشی گفته می‌شود که نتیجه آن قبل از انجام آزمایش مشخص نیست و بتوان آن آزمایش را در شرایط یکسان و به دفعات دلخواه انجام داد.[۴]
فضای نمونه
نوشتار اصلی: فضای نمونه

به مجموعه‌ای از تمام نتایج ممکن در یک آزمایش تصادفی فضای نمونه می‌گویند.[۵]
کاربرد احتمال در زندگی

یک تأثیر مهم نظریه احتمال در زندگی روزمره در ارزیابی ریسک پذیری و در تجارت در مورد خرید و فروش اجناس می‌باشد. حکومت‌ها به طور خاص روشهای احتمال را در تنظیم جوامع اعمال می‌کنند که به عنوان «آنالیز خط مشی» نامیده می‌شود و غالباً سطح رفاه را با استفاده از متدهایی که در طبیعت تصادفی اند اندازه می‌گیرند و برنامه‌هایی را انتخاب می‌کنند تا اثر احتمال آن‌ها را روی جمعیت به صورت کلی از نظر آماری ارزیابی کنند. این گفته صحیح نیست که آمار، خود در مدل سازی درگیر هست زیرا که ارزیابی‌های میزان ریسک وابسته به زمان هستند و بنابراین مستلزم مـدل‌های احتمال قوی تر هستند؛ مثلاً «احتمال۹/۱۱ دیگری»؛ قانون اعداد کوچک در جنین مواردی اعمال می‌شود و برداشت اثر چنین انتخاب‌هایی است که روش‌های آماری را به صورت یک موضوع سیاسی در می‌آورد.

یک مثال خوب اثر احتمال قلمداد شده از مجادلات خاورمیانه بر روی قیمت نفت است که دارای اثرات متلاطمی از لحظ آماری روی اقتصاد کلی دارد. یک ارزیابی توسط یک واحد تجاری در مورد این که احتمال وقوع یک جنگ زیاد است یا کم باعث نوسان قیمت‌ها می‌شود و سایر تجار را برای انجام کار مشابه تشویق می‌کند. مطابق با این اصل، احتمالات به طور مستقل ارزیابی نمی‌شوند و ضرورتاً به طور منطقی برخورد صورت نمی‌گیرد. نظریه اعتبارات رفتاری، به وجود آمده‌است تا اثر این تفکرات گروهی را روی قیمت‌ها، سیاست‌ها و روی صلح و مجادله توضیح دهد.

به طور استدلالی می‌توان گفت که کشف روش‌های جدی برای ارزیابی و ترکیب ارزیابی‌های احتمالی دارای اثر شدیدی روی جامعه مدرن داشته‌است. یک مثال خوب کاربرد نظریه بازی‌ها که به طور بنیادین بر پایه احتمال ریخته شده‌است در مورد جنگ سرد و دکترین انهدام با اطمینان بخشی متقابل است. مشابهاً ممکن است برای اغلب شهروندان دارای اهمیت باشد که بفهمند چگونه بخت‌ها و ارزیابی‌های احتمال صورت می‌گیرد و چگونه آن‌ها می‌توانند در تصمیم گیری‌ها به ویژه در زمینه دموکراسی دخالت کنند.

کاربرد مهم دیگر نظریه احتمال در زندگی روزمره، اعتبار است. اغلب تولیدات مصرفی مثل اتومبیل و وسایل الکترونیکی در طراحی آن‌ها از نظریه اعتبار استفاده می‌شود به نحوی که احتمال نقص آن‌ها کاهش یابد. احتمال نقص با مدت ضمانت فرآورده معمولاً ارتباط نزدیک دارد.[۶]
نقد ها
تصمیم گیری یا عدم تصمیم گیری

یکی از نقد هایی که به نظریه ی احتمال وارد است، مبتنی بودن آن بر فراوانی نسبی یک پیشامد به عنوان احتمال رخداد آن است. به دیگر بیان، نظریه احتمال، احتمال رخداد یک پیشامد را معادل با ایمان ما نسبت به رخداد آن پدیده می داند و ایمان به نسبت به رخداد آن پیشامد را معادل فراوانی نسبی آن پدیده در یک آزمایش آماری میداند.[۷]. در این اعتقاد دو ایراد فلسفی وجود دارد: اولا: ایمان ما نسبت به رخداد یک پیشامد برابر با احتمال رخداد پیشامد در نظر گرفته شده است. این به این معناست که ایمان درونی انسان به رخداد یک پیشامد برابر با احتمال حقیقتی است که در بیرون رخ خواهد داد. که این تطابق، فاقد هر گونه توجیه منطقی است. ثانیا: احتمال رخداد را برابر با فراوانی نسبی آن پیشامد در آزمایش آماری در نظر می گیرد که این نیز محل بحث است. به عنوان مثال فرض کنید که شما در بازی قماری شرکت کرده اید که با محاسبه ی احتمال ها بر اساس تئوری موجود، احتمال پیروزی شما 2/3 است. لذا سرمایه گذاری در این قمار در 2/3 اوقات به نفع شماست. فرض کنید که بازی 15 دور است. در این صورت شما باید 10 دور این بازی را احتمالا پیروز شوید. شما بازی را شروع می کنید و تا دور 11_ام شکست می خورید و و دور 12 را می برید و دور 13 و 14 را شکست می خورید و دور 15_ام را می برید. این اتفاق یک اتفاق کاملا "ممکن" است. در این صورت شما 0.36- = 13/15 - 1/2 واحد از سرمایه ی خود را از دست داده اید. توجیهی که احتمال دان ها می آورند این است: "اگر تعداد دور ها به بی نهایت میل می کرد شما در 2/3 حالات برنده بودید." در صورتی که در جهان واقعی هیچ گاه بازی هایی با تعداد دور بی نهایت وجود ندارد." در تصمیم گیری های اجتماعی و سیاسی نیز همین امر برقرار است. ریسک سرمایه گزاری بر اساس این نظریه در نظر گرفتنی است. اما این مساله و شبیه این مساله ها با "نظریه امکان" با دیدگاهی کاملا منطقی قابل بررسی، تحلیل و تصمیم گیری است.
عدم وجود تصادف

باور به تئوری احتمال در تمامی ابعاد مستلزم باور به تصادف است. در حالی که هنوز بشر هیچ پدیده ی تصادفی را اطراف خود ندیده است!!! آن فرآیند هایی که موسوم به فرایند تصادفی هستند به سه دسته عمده تقسیم می شوند:

1- فرآیند هایی که از حیث پیچیدگی مقرون به صرفه ترند که با آنها با دیدگاه تصادفی نگاه کرد. مانند جدا شدن اتم های کربن در فضای آزاد. یا پیشامد فرو ریختن پل در حالتی که بار روی پل استاتیکی می شود.

2- فرآیند هایی که تصادفی بودن آنها صرفا به علت عدم علم و عدم توانایی دسترسی ما به علت دقیق آن پیشامدها است. مانند اصل عدم قطعیت هایزنبرگ

3- فرآیند هایی که تصادفی بودن آنها به علت وجود اراده ی یک موجود مختار است. مانند پرتاب یک سکه. و یا اکثر فرایند های اجتماعی و انسانی.

درصورتی که در هر سه حالت بالا با شرط آگاهی ما از مکانیزم دقیق پیشامد، پسوند "تصادفی" خود به خود حذف می شود. اگر بدانیم که تمام نیرو هایی که بر پل وارد می شوند به چه صورت است، اگر "ببینیم" که حرکت دقیق ذرات بنیادین به چه صورت است، اگر مکانیک پرتاب یک سکه را در هر تعداد مرتبه ی دلخواه به ازای هر مقدار نیرو که پرتاب کننده اراده می کند، فرموله کنیم و قص علی هذا، هیچ فرایند تصادفی وجود نخواهد داشت. چه برسد که این تصادف فرموله شود و بر مبنای نتایج محاسبات آنها، تصمیم گیری شود.