عدد مختلط

عدد مختلط عددی به شکل a + ib \, است که a و b اعداد حقیقی‌اند و i یکهٔ موهومی با خصوصیت i2 = -1 است. عدد a قسمت حقیقی و عدد b قسمت موهومی نامیده و نوشته می‌شود:

    I_mz=b
    R_ez=a

اعداد حقیقی را می‌توان به عنوان اعداد مختلط با قسمت موهومی صفر در نظر گرفت، یعنی عدد حقیقی a معادل است با عدد مختلط a+0i.

مجموعهٔ اعداد مختلط را بصورت C=\left \{a+ib|a, b\in R, i^2=-1\right \} تعریف می‌کنیم.

محتویات

    ۱ تعاریف
        ۱.۱ برابری
        ۱.۲ نمادگذاری و اعمال جبری
        ۱.۳ میدان مختلط
    ۲ ریشه nام اعداد مختلط
    ۳ صفحه مختلط
    ۴ جستارهای وابسته

تعاریف
برابری

دو عدد مختلط برابرند اگر و تنها اگر بخش‌های حقیقی و موهومی آنها دو به دو با یکدیگر برابر باشند. یعنی a + bi = c + di اگر و تنها اگر a = c و b = d. به عبارت دیگر دو عدد مختلط فقط زمانی برابر هستند که نمایش هندسی آن ها یک نقطه واحد باشد
نمادگذاری و اعمال جبری

مجموعه اعداد مختلط معمولاً با \mathbb{C} نشان داده می‌شود. اعداد مختلط نیز می‌توانند جمع، تفریق، و ضرب شوند با در نظر گرفتن معادلهٔ i 2 = −1

    \,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
    \,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
    \,(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i

تقسیم اعداد مختلط را نیز می‌توان تعریف کرد (پایین را ببینید). بنابراین مجموعه اعداد مختلط یک میدان تشکیل می‌دهد که، در مقایسه با اعداد حقیقی، به طور جبری بسته است.
میدان مختلط

اعداد مختلط را می‌توان به صورت زوج‌های مرتب (a, b) از اعداد حقیقی نیز تعریف کرد. با اعمال:

    (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d) \,
    (a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd,bc + ad). \,

بنابراین اعداد مختلط تشکیل یک میدان می‌دهند، میدان مختلط، که با C نشان داده می‌شود. از آنجایی که عدد مختلط a + bi به طور منحصربه‌فرد با یک زوج مرتب (a, b) نمایش داده می‌شود، پس اعداد مختلط یک تناظر یک به یک با نقاط در صفحه دارند. به آن صفحه مختلط گفته می‌شود. عدد حقیقی a را با عدد مختلط (a, 0) نشان می‌دهیم و در این حالت میدان اعداد حقیقی R یک زیرمیدان از C می‌شود. واحد موهومی i عدد مختلط (0, 1) است. منظور از تقسیم دو عدد مختلط یعنی \frac{a + ib}{c + id} یافتن عددی است مثل x + iy که در تساوی

    a +ib = (c +id ).(x +iy)

صدق نماید، پس از محاسبه رابطه بالا داریم

    a +ib = (cx -dy)+i(dx +cy)

پس کافی است اعداد x و y را چنان پیدا کنیم که در روابط

    dx + cy = b, cx - dy = a صدق کنند. این دستگاه معادلات یک جواب یکتای زیر را دارد:

x = \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}} y = \frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}} مگر آنکه c = d = 0 بنابراین \frac{a + ib}{c + id} = \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}} + i\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}} البته همین نتیجه را می‌توانستیم از ضرب صورت و مخرج کسر \frac{a + ib}{c + id} در c - id نیز بدست آوریم
ریشه nام اعداد مختلط

فرض کنید n یک عدد طبیعی باشد، عدد مختلط Z را ریشهٔ n ام عدد مختلط داده شدهٔ Z0 می خوانند، هرگاه

z = z_0^{1/n}